Гипотеза Эйлера о сумме степеней

Опровергнутая гипотеза теории чисел

В теории чисел гипотеза Эйлера — это опровергнутая гипотеза , связанная с Великой теоремой Ферма . Он был предложен Леонардом Эйлером в 1769 году. Он гласит, что для всех целых чисел n и k, больших 1, если сумма n многих k -х степеней положительных целых чисел сама является k -й степенью, то n больше или равно k. :

$${\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\dots +a_{n}^{k}=b^{k}\implies n\geq k}$$

Гипотеза представляет собой попытку обобщить Великую теорему Ферма, которая представляет собой частный случай n = 2 : если тогда 2 ≥ k . ${\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}=b^{k},}$

Хотя для случая k = 3 гипотеза справедлива (что следует из Великой теоремы Ферма для третьих степеней), для k = 4 и k = 5 она была опровергнута . Неизвестно, верна ли гипотеза или верна для любого значения k ≥ 6 .

Фон

Эйлер знал о равенстве 59 ⁴ + 158 ⁴ = 133 ⁴ + 134 ⁴ , включающем суммы четырех четвертых степеней; это, однако, не является контрпримером , поскольку ни один член не является изолированным на одной стороне уравнения. Он также предоставил полное решение проблемы четырех кубов, например, числа Платона 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³ или номера такси 1729. ^{[1] [2]} Общее решение уравнения : ${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=x_{3}^{3}+x_{4}^{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\lambda (1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2}))\\[2pt]x_{2}&=\lambda ((a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1)\\[2pt]x_{3}&=\lambda ((a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2})\\[2pt]x_{4}&=\lambda ((a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b))\end{aligned}}}$$

где a , b и – любые рациональные числа. ${\displaystyle {\lambda }}$

Контрпримеры

Гипотеза Эйлера была опровергнута Л. Дж. Ландером и Т. Р. Паркином в 1966 году, когда посредством прямого компьютерного поиска на CDC 6600 они нашли контрпример для k = 5 . ^[3] Это было опубликовано в документе, состоящем всего из двух предложений. ^[3] Всего известны три примитивных (то есть, в которых слагаемые не все имеют общий делитель) контрпримера: (Lander & Parkin, 1966); (Шер и Зайдль, 1996); (Фрай, 2004). $${\displaystyle {\begin{aligned}144^{5}&=27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}\\14132^{5}&=(-220)^{5}+5027^{5}+6237^{5}+14068^{5}\\85359^{5}&=55^{5}+3183^{5}+28969^{5}+85282^{5}\end{aligned}}}$$

В 1988 году Ноам Элкис опубликовал метод построения бесконечной последовательности контрпримеров для случая k = 4 . ^[4] Его наименьшим контрпримером был $${\displaystyle 20615673^{4}=2682440^{4}[phone]^{4}[phone]^{4}.}$$

Частный случай решений Элкиса можно свести к тождеству ^{[5] [6]} где Это эллиптическая кривая с рациональной точкой в ​​точке v ₁ = − $${\displaystyle (85v^{2}+484v-313)^{4}+(68v^{2}-586v+10)^{4}+(2u)^{4}=(357v^{2}-204v+363)^{4},}$$ $${\displaystyle u^{2}=22030+28849v-56158v^{2}+36941v^{3}-31790v^{4}.}$$31/467. Исходя из этой исходной рациональной точки, можно вычислить бесконечное множество других. Подстановка v ₁ в тождество и удаление общих факторов дает численный пример, приведенный выше.

В 1988 году Роджер Фрай нашел наименьший возможный контрпример для k = 4 путем прямого компьютерного поиска с использованием методов, предложенных Элкисом. Это решение является единственным со значениями переменных ниже 1 000 000. ^[7] $${\displaystyle 95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}}$$

Обобщения

Одна из интерпретаций числа Платона: 3³ + 4³ + 5³ = 6³.

В 1967 году Л. Дж. Ландер, Т. Р. Паркин и Джон Селфридж предположили ^[8], что если

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}$,

где a _i ≠ b _j — положительные целые числа для всех 1 ≤ i ≤ n и 1 ≤ j ≤ m , тогда m + n ≥ k . В частном случае m = 1 гипотеза утверждает, что если

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}$

(при указанных выше условиях) тогда n ≥ k − 1 .

Особый случай можно описать как задачу разделения совершенной мощности на несколько подобных степеней. Для k = 4, 5, 7, 8 и n = k или k − 1 существует множество известных решений. Некоторые из них перечислены ниже.

См. OEIS : A347773 для получения дополнительных данных.

к = 3

3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³ ( число Платона 216)

Это случай a = 1 , b = 0 формулы Шринивасы Рамануджана [ ^9]

$${\displaystyle (3a^{2}+5ab-5b^{2})^{3}+(4a^{2}-4ab+6b^{2})^{3}+(5a^{2}-5ab-3b^{2})^{3}=(6a^{2}-4ab+4b^{2})^{3}}$$

Куб как сумма трех кубов также может быть параметризован одним из двух способов: ^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}&=b^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}+a^{3}(a^{3}-2b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}-b^{3})^{3}\\[6pt]a^{3}(a^{3}+2b^{3})^{3}&=a^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}+b^{3})^{3}\end{aligned}}}$$

Число 2 100 000 ³ можно выразить в виде суммы трёх кубов девятью разными способами. ^[9]

к = 4

$${\displaystyle {\begin{aligned}422481^{4}&=95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}\\[4pt]353^{4}&=30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}\end{aligned}}}$$(Р. Фрай, 1988); ^[4] (Р. Норри, самый маленький, 1911 г.). ^[8]

к = 5

$${\displaystyle {\begin{aligned}144^{5}&=27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}\\[2pt]72^{5}&=19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}\\[2pt]94^{5}&=21^{5}+23^{5}+37^{5}+79^{5}+84^{5}\\[2pt]107^{5}&=7^{5}+43^{5}+57^{5}+80^{5}+100^{5}\end{aligned}}}$$

(Ландер и Паркин, 1966); ^{[10] [11] [12]} (Ландер, Паркин, Селфридж, самый маленький, 1967); ^[8] (Ландер, Паркин, Селфридж, второй по размеру, 1967 г.); ^[8] (Састри, 1934, третий по величине). ^[8]

к = 6

По состоянию на 2002 год не существует решений для k = 6 , последний член которых составляет ≤ 730000. ^[13]

к = 7

$${\displaystyle 568^{7}=127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}}$$

(М. Додрилл, 1999). ^[14]

к = 8

$${\displaystyle 1409^{8}=90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8}}$$

(С. Чейз, 2000). ^[15]

Смотрите также

• Уравнение Якоби–Мэддена
• Задача Пруэ–Тэрри–Эскотта
• Гипотеза Била
• Пифагорова четверка
• Обобщенный номер такси
• Суммы степеней , список связанных гипотез и теорем

Рекомендации

1. Данэм, Уильям, изд. (2007). Гений Эйлера: размышления о его жизни и творчестве. МАА. п. 220. ИСБН 978-0-88385-558-4.
2. Титус, III, Пьесас (2005). «Расширенная гипотеза Эйлера».
3. Ландер, ЖЖ; Паркин, Т.Р. (1966). «Контрпример к гипотезе Эйлера о суммах одинаковых степеней». Бык. амер. Математика. Соц . 72 (6): 1079. doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11654-3 .
4. Элкис, Ноам (1988). «На А4+В4+С4=D4» (PDF) . Математика вычислений . 51 (184): 825–835. дои : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . JSTOR  2008781. МР  0930224.
5. «Элкис a4+b4+c4 = d4».
6. Пьесас III, Тито (2010). «Суммы трех четвертых степеней (часть 1)». Коллекция алгебраических тождеств . Проверено 11 апреля 2022 г.
7. Фрай, Роджер Э. (1988), «Нахождение 95800 ⁴ + 217519 ⁴ + 414560 ⁴ = 422481 ⁴ на соединительной машине», Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications , стр. 106–116, doi : 10.1109/SUPERC.1988.74138, S2CID  58501120
8. Lander, LJ; Паркин, ТР; Селфридж, Дж. Л. (1967). «Обзор равных сумм одинаковых степеней». Математика вычислений . 21 (99): 446–459. дои : 10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0 . JSTOR  2003249.
9. «MathWorld: Диофантово уравнение — 3-я степень».
10. Буркард Польстер (24 марта 2018 г.). «Последние теоремы Эйлера и Ферма, Симпсоны и CDC6600». YouTube видео). Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г. Проверено 24 марта 2018 г.
11. "MathWorld: Диофантово уравнение - 5-я степень" .
12. «Таблица пятых степеней, равная суммам пяти пятых степеней» .
13. Джованни Реста и Жан-Шарль Мейриньяк (2002). Наименьшие решения диофантового уравнения a 6 + b 6 + c 6 + d 6 + e 6 = x 6 + y 6 {\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^ {6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}} , Математика вычислений, т. 72, с. 1054 (см. раздел «Дальнейшие работы» ).
14. "MathWorld: Диофантово уравнение - 7-я степень" .
15. "MathWorld: Диофантово уравнение - 8-я степень" .

Внешние ссылки

• Тито Пьесас III, Коллекция алгебраических тождеств, заархивированная 1 октября 2011 г. в Wayback Machine.
• Ярослав Вроблевский, Равные суммы одинаковых степеней.
• Эд Пегг-младший, Математические игры, Степенные суммы
• Джеймс Уолдби, Таблица пятых степеней, равных пятой степени (2009)
• Р. Гербич, Ж.-К. Мейриньяк, У. Беккерт, Все решения диофантова уравнения a6 + b6 = c6 + d6 + e6 + f6 + g6 для a, b, c, d, e, f, g < 250000, найденные с помощью распределенного проекта Боинка
• EulerNet: вычисление минимальных равных сумм одинаковых степеней
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Эйлера о сумме степеней». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотеза Эйлера о четвертой степени». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Диофантово уравнение - четвертые степени». Математический мир .
• Гипотеза Эйлера на Library.thinkquest.org
• Простое объяснение гипотезы Эйлера на уроке математики полезно для вас!