Поверхность (математика)

В математике поверхность — это математическая модель общего понятия поверхности . Она является обобщением плоскости , но, в отличие от плоскости, может быть искривлена ; это аналогично кривой, обобщающей прямую линию .

Существует несколько более точных определений, в зависимости от контекста и математических инструментов, которые используются для исследования. Простейшими математическими поверхностями являются плоскости и сферы в евклидовом 3-пространстве . Точное определение поверхности может зависеть от контекста. Как правило, в алгебраической геометрии поверхность может пересекать сама себя (и может иметь другие особенности ), тогда как в топологии и дифференциальной геометрии это может быть не так.

Поверхность — это топологическое пространство размерности два ; это означает, что движущаяся точка на поверхности может двигаться в двух направлениях (она имеет две степени свободы ). Другими словами, вокруг почти каждой точки есть координатный участок , на котором определена двумерная система координат . Например, поверхность Земли напоминает (в идеале) сферу, а широта и долгота обеспечивают на ней двумерные координаты (за исключением полюсов и вдоль 180-го меридиана ).

Определения

Часто поверхность определяется уравнениями , которым удовлетворяют координаты ее точек. Это случай графика непрерывной функции двух переменных. Множество нулей функции трех переменных является поверхностью, которая называется неявной поверхностью . ^[1] Если определяющая трехмерная функция является полиномом , поверхность является алгебраической поверхностью . Например, единичная сфера является алгебраической поверхностью, поскольку она может быть определена неявным уравнением

x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.

Поверхность также может быть определена как изображение в некотором пространстве размерности не менее 3 непрерывной функции двух переменных (необходимы некоторые дополнительные условия, чтобы гарантировать, что изображение не является кривой ) . В этом случае говорят, что имеется параметрическая поверхность , которая параметризована этими двумя переменными, называемыми параметрами . Например, единичная сфера может быть параметризована углами Эйлера , также называемыми долготой $u$ и широтой $v$ ,

{\begin{aligned}x&=\cos(u)\cos(v)\\y&=\sin(u)\cos(v)\\z&=\sin(v)\,.\end{aligned}}

Параметрические уравнения поверхностей часто нерегулярны в некоторых точках. Например, все, кроме двух точек единичной сферы, являются образом, согласно приведенной выше параметризации, ровно одной пары углов Эйлера ( по модулю $2π$ ). Для оставшихся двух точек ( северного и южного полюсов ) $cos v = 0$ , а долгота $u может принимать любые значения. Кроме того, существуют поверхности$ $,$ для которых не может существовать единой параметризации, покрывающей всю поверхность. Поэтому часто рассматриваются поверхности, параметризованные несколькими параметрическими уравнениями, образы которых покрывают поверхность. Это формализуется понятием многообразия : в контексте многообразий, как правило, в топологии и дифференциальной геометрии , поверхность является многообразием размерности два; это означает, что поверхность является топологическим пространством, таким, что каждая точка имеет окрестность , гомеоморфную открытому подмножеству евклидовой плоскости ( см. Поверхность (топология) и Поверхность (дифференциальная геометрия) ). Это позволяет определять поверхности в пространствах размерности выше трех и даже абстрактные поверхности , которые не содержатся ни в каком другом пространстве. С другой стороны, это исключает поверхности, имеющие особенности , такие как вершина конической поверхности или точки, где поверхность пересекает сама себя.

В классической геометрии поверхность обычно определяется как геометрическое место точки или линии. Например, сфера — это геометрическое место точки, которая находится на заданном расстоянии от фиксированной точки, называемой центром; коническая поверхность — это геометрическое место прямой, проходящей через фиксированную точку и пересекающей кривую ; поверхность вращения — это геометрическое место кривой, вращающейся вокруг прямой. Линейчатая поверхность — это геометрическое место движущейся прямой, удовлетворяющей некоторым ограничениям; в современной терминологии линейчатая поверхность — это поверхность, которая является объединением линий .

Терминология

Существует несколько видов поверхностей, которые рассматриваются в математике. Таким образом, необходима однозначная терминология, чтобы различать их при необходимости. Топологическая поверхность — это поверхность, которая является многообразием размерности два (см. § Топологическая поверхность). Дифференцируемая поверхность — это поверхность, которая является дифференцируемым многообразием (см. § Дифференцируемая поверхность). Каждая дифференцируемая поверхность является топологической поверхностью, но обратное неверно.

«Поверхность» часто неявно предполагается содержащейся в евклидовом пространстве размерности 3, обычно $R 3$ . Поверхность, которая содержится в проективном пространстве, называется проективной поверхностью (см. § Проективная поверхность). Поверхность, которая не должна быть включена в другое пространство, называется абстрактной поверхностью .

Примеры

График непрерывной функции двух переменных, определенной над связным открытым подмножеством R2 $,$ $является$ топологической поверхностью . Если функция дифференцируема , график является дифференцируемой поверхностью .
Плоскость является одновременно алгебраической поверхностью и дифференцируемой поверхностью. Она также является линейчатой поверхностью и поверхностью вращения .
Круговой цилиндр ( то есть геометрическое место линий, пересекающих окружность и параллельных заданному направлению) является алгебраической поверхностью и дифференцируемой поверхностью.
Круговой конус (место точек прямой, пересекающей окружность и проходящей через фиксированную точку, вершину , которая находится вне плоскости окружности) — это алгебраическая поверхность, которая не является дифференцируемой поверхностью. Если удалить вершину, остаток конуса будет объединением двух дифференцируемых поверхностей.
Поверхность многогранника — это топологическая поверхность, которая не является ни дифференцируемой поверхностью, ни алгебраической поверхностью.
Гиперболический параболоид (график функции $z = xy$ ) — дифференцируемая поверхность и алгебраическая поверхность. Он также является линейчатой поверхностью и по этой причине часто используется в архитектуре .
Двуполостный гиперболоид — это алгебраическая поверхность, представляющая собой объединение двух непересекающихся дифференцируемых поверхностей.

Параметрическая поверхность

Параметрическая поверхность — это изображение открытого подмножества евклидовой плоскости (обычно ) непрерывной функцией в топологическом пространстве , как правило, евклидовом пространстве размерности не менее трех. Обычно предполагается, что функция непрерывно дифференцируема , и это всегда будет иметь место в этой статье. $\mathbb {R} ^{2}$

В частности, параметрическая поверхность в задается тремя функциями двух переменных $u$ и $v$ , называемых параметрами $\mathbb {R} ^{3}$

{\begin{aligned}x&=f_{1}(u,v),\\[4pt]y&=f_{2}(u,v),\\[4pt]z&=f_{3}(u,v)\,.\end{aligned}}

Поскольку изображение такой функции может быть кривой (например, если три функции постоянны относительно $v$ ), требуется дополнительное условие, как правило, чтобы для почти всех значений параметров матрица Якоби

{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial v}}\\[6pt]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial v}}\\[6pt]{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial u}}&{\dfrac {\partial f_{3}}{\partial v}}\end{bmatrix}}

имеет ранг два. Здесь «почти все» означает, что значения параметров, где ранг равен двум, содержат плотное открытое подмножество области параметризации. Для поверхностей в пространстве большей размерности условие то же самое, за исключением числа столбцов матрицы Якоби.

Касательная плоскость и нормальный вектор

Точка $p,$ в которой указанная выше матрица Якоби имеет ранг два, называется регулярной , или, точнее, параметризация называется регулярной в точке $p$ .

Касательная плоскость в регулярной точке $p$ — это единственная плоскость, проходящая через $p$ и имеющая направление, параллельное двум векторам-строкам матрицы Якоби. Касательная плоскость — это аффинное понятие , поскольку ее определение не зависит от выбора метрики . Другими словами, любое аффинное преобразование отображает касательную плоскость к поверхности в точке в касательную плоскость в образ поверхности в образе точки.

Нормальная линия в точке поверхности — это единственная линия, проходящая через эту точку и перпендикулярная касательной плоскости; вектор нормали — это вектор, параллельный нормали.

О других дифференциальных инвариантах поверхностей в окрестности точки см. Дифференциальная геометрия поверхностей .

Неправильная точка и особая точка

Точка параметрической поверхности, которая не является регулярной, является нерегулярной . Существует несколько видов нерегулярных точек.

Может случиться, что нерегулярная точка станет регулярной, если изменить параметризацию. Это случай полюсов в параметризации единичной сферы углами Эйлера : достаточно переставить роли различных осей координат для изменения полюсов.

С другой стороны, рассмотрим круговой конус параметрического уравнения

{\begin{aligned}x&=t\cos(u)\\y&=t\sin(u)\\z&=t\,.\end{aligned}}

Вершина конуса является началом координат $(0, 0, 0)$ и получается при $t = 0.$ Это нерегулярная точка, которая остается нерегулярной, какая бы параметризация ни была выбрана (в противном случае существовала бы единственная касательная плоскость). Такая нерегулярная точка, где касательная плоскость не определена, называется особой .

Есть еще один вид особых точек. Это точки самопересечения , то есть точки, где поверхность пересекает сама себя. Другими словами, это точки, которые получаются для (как минимум) двух различных значений параметров.

График двумерной функции

Пусть $z = f (x, y)$ — функция двух действительных переменных. Это параметрическая поверхность, параметризованная как

{\begin{aligned}x&=t\\y&=u\\z&=f(t,u)\,.\end{aligned}}

Каждая точка этой поверхности является регулярной, поскольку два первых столбца матрицы Якоби образуют единичную матрицу ранга два.

Рациональная поверхность

Рациональная поверхность — это поверхность, которая может быть параметризована рациональными функциями двух переменных. То есть, если $f i (t, u)$ являются, для $i = 0, 1, 2, 3$ , полиномами от двух неизвестных, то параметрическая поверхность, определяемая как

{\begin{aligned}x&={\frac {f_{1}(t,u)}{f_{0}(t,u)}},\\[6pt]y&={\frac {f_{2}(t,u)}{f_{0}(t,u)}},\\[6pt]z&={\frac {f_{3}(t,u)}{f_{0}(t,u)}}\,,\end{aligned}}

является рациональной поверхностью.

Рациональная поверхность — это алгебраическая поверхность , но большинство алгебраических поверхностей не являются рациональными.

Неявная поверхность

Неявная поверхность в евклидовом пространстве (или, в более общем смысле, в аффинном пространстве ) размерности 3 — это множество общих нулей дифференцируемой функции трех переменных

f(x,y,z)=0.

Неявный означает, что уравнение неявно определяет одну из переменных как функцию других переменных. Это делается более точным с помощью теоремы о неявной функции : если $f (x 0, y 0, z 0) = 0$ , и частная производная по $z$ функции $f$ не равна нулю в точке $(x 0, y 0, z 0)$ , то существует дифференцируемая функция $φ (x, y)$ такая, что

f(x,y,\varphi (x,y))=0

в окрестности ( $x$ $0$ $,$ $y$ $0$ $,$ $z$ $0$ $)$ . Другими словами, неявная поверхность — это график функции вблизи точки поверхности, где частная производная по $z не равна нулю. Таким образом, неявная поверхность имеет локально параметрическое представление$ $,$ за исключением точек поверхности, где три частные производные равны нулю.

Регулярные точки и касательная плоскость

Точка поверхности, где хотя бы одна частная производная $f$ не равна нулю, называется регулярной . В такой точке касательная плоскость и направление нормали хорошо определены и могут быть выведены с помощью теоремы о неявной функции из определения, данного выше, в § Касательная плоскость и вектор нормали. Направление нормали — это градиент , то есть вектор $(x_{0},y_{0},z_{0})$

\left[{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0}),{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})\right].

Касательная плоскость определяется ее неявным уравнением

{\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0},z_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0},z_{0})(y-y_{0})+{\frac {\partial f}{\partial z}}(x_{0},y_{0},z_{0})(z-z_{0})=0.

Особая точка

Особая точка неявной поверхности (в ) — это точка поверхности, где выполняется неявное уравнение и все три частные производные его определяющей функции равны нулю. Следовательно, особые точки являются решениями системы из четырех уравнений с тремя неизвестными. Поскольку большинство таких систем не имеют решения, многие поверхности не имеют особых точек. Поверхность без особых точек называется регулярной или неособой . $\mathbb {R} ^{3}$

Изучение поверхностей вблизи их особых точек и классификация особых точек — это теория особенностей . Особая точка изолирована , если в ее окрестности нет другой особой точки. В противном случае особые точки могут образовывать кривую. Это особенно касается самопересекающихся поверхностей.

Алгебраическая поверхность

Первоначально алгебраическая поверхность представляла собой поверхность, которая может быть определена неявным уравнением

f(x,y,z)=0,

где $f$ — многочлен от трех неизвестных с действительными коэффициентами.

Концепция была расширена в нескольких направлениях, путем определения поверхностей над произвольными полями и путем рассмотрения поверхностей в пространствах произвольной размерности или в проективных пространствах . Также рассматриваются абстрактные алгебраические поверхности, которые явно не вложены в другое пространство.

Поверхности над произвольными полями

Полиномы с коэффициентами в любом поле принимаются для определения алгебраической поверхности. Однако поле коэффициентов полинома не является хорошо определенным, так как, например, полином с рациональными коэффициентами может также рассматриваться как полином с действительными или комплексными коэффициентами. Поэтому понятие точки поверхности было обобщено следующим образом. ^[2]^{[ нужна страница ]}

Для данного многочлена $f (x, y, z)$ пусть $k$ будет наименьшим полем, содержащим коэффициенты, а $K$ будет алгебраически замкнутым расширением k с бесконечной степенью трансцендентности . ^[3] Тогда точка поверхности является элементом $K$ $3$ $,$ который является решением уравнения

f(x,y,z)=0.

Если многочлен имеет действительные коэффициенты, поле $K$ является комплексным полем , а точка поверхности, принадлежащая (обычной точке), называется действительной точкой . Точка, принадлежащая $k$ $3$ , называется рациональной над $k$ , или просто рациональной точкой , если $k$ является полем рациональных чисел . $\mathbb {R} ^{3}$

Проекционная поверхность

Проективная поверхность в проективном пространстве размерности три — это множество точек, однородные координаты которых являются нулями одного однородного многочлена от четырех переменных. В более общем смысле проективная поверхность — это подмножество проективного пространства, которое является проективным многообразием размерности два .

Проективные поверхности тесно связаны с аффинными поверхностями (то есть обычными алгебраическими поверхностями). Переход от проективной поверхности к соответствующей аффинной поверхности осуществляется путем присвоения одной некоторой координате или неопределенности определяющих многочленов (обычно последней). И наоборот, переход от аффинной поверхности к связанной с ней проективной поверхности (называемой проективным пополнением ) осуществляется путем гомогенизации определяющего многочлена (в случае поверхностей в пространстве размерности три) или путем гомогенизации всех многочленов определяющего идеала (для поверхностей в пространстве большей размерности).

В пространствах более высоких размерностей

Невозможно определить понятие алгебраической поверхности в пространстве размерности выше трех без общего определения алгебраического многообразия и размерности алгебраического многообразия . Фактически, алгебраическая поверхность — это алгебраическое многообразие размерности два .

Точнее, алгебраическая поверхность в пространстве размерности $n$ — это множество общих нулей по крайней мере $n - 2$ многочленов, но эти многочлены должны удовлетворять дополнительным условиям, которые могут не быть немедленно проверены. Во-первых, многочлены не должны определять многообразие или алгебраическое множество более высокой размерности, что обычно имеет место, если один из многочленов находится в идеале, порожденном другими. Как правило, $n - 2$ многочлены определяют алгебраическое множество размерности два или выше. Если размерность равна двум, алгебраическое множество может иметь несколько неприводимых компонентов . Если есть только один компонент, $n - 2$ многочлена определяют поверхность, которая является полным пересечением . Если есть несколько компонентов, то нужны дополнительные многочлены для выбора конкретного компонента.

Большинство авторов рассматривают в качестве алгебраических поверхностей только алгебраические многообразия размерности два, но некоторые также рассматривают в качестве поверхностей все алгебраические множества, неприводимые компоненты которых имеют размерность два.

В случае поверхностей в пространстве размерности три каждая поверхность является полным пересечением, а поверхность определяется одним многочленом, который является неприводимым или нет, в зависимости от того, рассматриваются ли неприводимые алгебраические множества размерности два как поверхности или нет.

Топологическая поверхность

В топологии поверхность обычно определяется как многообразие размерности два. Это означает, что топологическая поверхность — это топологическое пространство , в котором каждая точка имеет окрестность , гомеоморфную открытому подмножеству евклидовой плоскости .

Каждая топологическая поверхность гомеоморфна полиэдральной поверхности, все грани которой являются треугольниками . Комбинаторное изучение таких расположений треугольников (или, в более общем смысле, многомерных симплексов ) является исходным объектом алгебраической топологии . Это позволяет характеризовать свойства поверхностей в терминах чисто алгебраических инвариантов , таких как род и группы гомологии .

Полностью описаны классы гомеоморфизма поверхностей (см. Поверхность (топология) ).

Дифференцируемая поверхность

В математике дифференциальная геометрия поверхностей занимается дифференциальной геометрией гладких поверхностей ^[a]с различными дополнительными структурами, чаще всего римановой метрикой . ^[b]

Поверхности были широко изучены с различных точек зрения: внешне , в отношении их вложения в евклидово пространство и внутренне , отражая их свойства, определяемые исключительно расстоянием внутри поверхности, измеренным вдоль кривых на поверхности. Одной из фундаментальных исследованных концепций является гауссова кривизна , впервые глубоко изученная Карлом Фридрихом Гауссом [ ^4], который показал, что кривизна является внутренним свойством поверхности, независимым от ее изометрического вложения в евклидово пространство.

Поверхности естественным образом возникают как графики функций пары переменных и иногда появляются в параметрической форме или как геометрические места , связанные с пространственными кривыми . Важную роль в их изучении сыграли группы Ли (в духе программы Эрлангена ), а именно группы симметрии евклидовой плоскости , сферы и гиперболической плоскости . Эти группы Ли можно использовать для описания поверхностей постоянной гауссовой кривизны; они также обеспечивают существенный ингредиент в современном подходе к внутренней дифференциальной геометрии через связи . С другой стороны, внешние свойства, основанные на вложении поверхности в евклидово пространство, также широко изучались. Это хорошо иллюстрируют нелинейные уравнения Эйлера–Лагранжа в вариационном исчислении : хотя Эйлер разработал уравнения с одной переменной для понимания геодезических , определенных независимо от вложения, одно из основных приложений Лагранжа уравнений с двумя переменными было к минимальным поверхностям , концепции, которая может быть определена только в терминах вложения.

Фрактальная поверхность

Фрактальный ландшафт или фрактальная поверхность генерируется с использованием стохастического алгоритма, разработанного для создания фрактального поведения, которое имитирует внешний вид естественного рельефа . Другими словами, поверхность, полученная в результате процедуры, не является детерминированной, а скорее случайной поверхностью, которая демонстрирует фрактальное поведение. ^[5]

Многие природные явления демонстрируют некоторую форму статистического самоподобия , которое может быть смоделировано фрактальными поверхностями . ^[6] Более того, изменения в текстуре поверхности дают важные визуальные подсказки относительно ориентации и наклонов поверхностей, а использование почти самоподобных фрактальных узоров может помочь создать естественно выглядящие визуальные эффекты. ^[7] Моделирование шероховатых поверхностей Земли с помощью дробного броуновского движения было впервые предложено Бенуа Мандельбротом . ^[8]

Поскольку предполагаемым результатом процесса является создание ландшафта, а не математической функции, к таким ландшафтам часто применяются процессы, которые могут повлиять на стационарность и даже общее фрактальное поведение такой поверхности , в интересах создания более убедительного ландшафта.

По словам Р. Р. Ширера , создание естественно выглядящих поверхностей и ландшафтов стало важным поворотным моментом в истории искусств, когда различие между геометрическими, созданными на компьютере изображениями и естественным, созданным человеком искусством стало размытым. ^[9] Первое использование фрактально-сгенерированного ландшафта в фильме состоялось в 1982 году в фильме « Звездный путь 2: Гнев Хана» . Лорен Карпентер усовершенствовал методы Мандельброта, чтобы создать инопланетный ландшафт. ^[10]

В компьютерной графике

В технических приложениях 3D компьютерной графики ( CAx ), таких как автоматизированное проектирование и автоматизированное производство , поверхности являются одним из способов представления объектов. Другими способами являются каркасы (линии и кривые) и твердые тела. Облака точек также иногда используются как временные способы представления объекта с целью использования точек для создания одного или нескольких из трех постоянных представлений.

Смотрите также

Элемент площади , площадь дифференциального элемента поверхности
Координатные поверхности
Гиперповерхность
Периметр , двумерный эквивалент
Многогранная поверхность
Форма
Функция расстояния со знаком
Твердая фигура
Площадь поверхности
Поверхностный патч
Поверхностный интеграл

Сноски

^ Гладкая поверхность — это поверхность, на которой каждая точка имеет окрестность, диффеоморфную некоторому открытому множеству в E ² .
^ Риманова поверхность — гладкая поверхность, снабженная римановой метрикой.

Примечания

^ Здесь "неявный" не относится к свойству поверхности, которое может быть определено другими способами, а к тому, как оно определяется. Таким образом, этот термин является сокращением от "поверхность, определяемая неявным уравнением ".
↑ Вайль, Андре (1946), Основы алгебраической геометрии, American Mathematical Society Colloquium Publications, т. 29, Провиденс, Род-Айленд: American Mathematical Society , стр. 1–363, ISBN 9780821874622, МР 0023093^{[ нужна страница ]}
^ Бесконечная степень трансцендентности — это техническое условие, позволяющее точно определить понятие общей точки .
↑ Гаусс 1902.
^ «Фрактальная геометрия природы».
^ Достижения в области моделирования мультимедиа: 13-я Международная конференция по моделированию мультимедиа , Тат-Джен Чам, 2007 г., ISBN 3-540-69428-5, стр. [1]
^ Восприятие симметрии человека и его вычислительный анализ Кристофера У. Тайлера 2002 ISBN 0-8058-4395-7 страницы 173–177 [2]
^ Динамика фрактальных поверхностей, Ферейдун Фэмили и Тамаш Вичек, 1991, ISBN 981-02-0720-4, стр. 45 [3]
^ Ронда Роланд Ширер «Переосмысление образов и метафор» в книге «Языки мозга» Альберта М. Галабурды 2002 ISBN 0-674-00772-7 страницы 351–359 [4]
^ Бриггс, Джон (1992). Фракталы: Модели хаоса: новая эстетика искусства, науки и природы. Саймон и Шустер. стр. 84. ISBN 978-0671742171. Получено 15 июня 2014 г.

Источники

Гаусс, Карл Фридрих (1902), Общие исследования кривых поверхностей 1825 и 1827 годов, Библиотека Принстонского университета