В геометрии усеченный кубооктаэдр или большой ромбокубооктаэдр представляет собой архимедово тело , названное Кеплером усечением кубооктаэдра . Он имеет 12 квадратных граней, 8 правильных шестиугольных граней, 6 правильных восьмиугольных граней, 48 вершин и 72 ребра. Поскольку каждая из его граней имеет точечную симметрию (что эквивалентно вращательной симметрии 180°), усеченный кубооктаэдр представляет собой 9 - зоноэдр . Усеченный кубооктаэдр может мозаично сочетаться с восьмиугольной призмой .
Существует невыпуклый однородный многогранник с похожим названием: невыпуклый большой ромбокубооктаэдр .
Декартовы координаты вершин усеченного кубооктаэдра с длиной ребра 2 и центром в начале координат представляют собой все перестановки :
Площадь A и объем V усеченного кубооктаэдра с длиной ребра a равны:
Усеченный кубооктаэдр — это выпуклая оболочка ромбокубооктаэдра с кубами над 12 квадратами на осях симметрии 2-го порядка. Остальное его пространство можно разделить на 6 квадратных куполов под восьмиугольниками и 8 треугольных куполов под шестиугольниками.
Рассеченный усеченный кубооктаэдр может создать тороид Стюарта рода 5, 7 или 11 , удалив центральный ромбокубооктаэдр и либо 6 квадратных куполов, 8 треугольных куполов или 12 кубов соответственно. Многие другие тороиды с более низкой симметрией также могут быть построены путем удаления центрального ромбокубооктаэдра и подмножества других компонентов рассечения. Например, удаление четырех треугольных куполов создает тороид рода 3; если эти купола выбраны соответствующим образом, то этот тороид имеет тетраэдрическую симметрию. [4] [5]
Существует только одна единая раскраска граней этого многогранника, по одному цвету для каждого типа грани.
2-однородная раскраска с тетраэдрической симметрией существует для шестиугольников поочередного цвета.
Усеченный кубооктаэдр имеет две специальные ортогональные проекции в плоскостях Кокстера A 2 и B 2 с проективной симметрией [6] и [8], а многочисленные симметрии [2] могут быть построены из различных проекций плоскостей относительно элементов многогранника.
Усеченный кубооктаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.
Как и многие другие твердые тела, усеченный октаэдр обладает полной октаэдрической симметрией , но его связь с полной октаэдрической группой более тесная: его 48 вершин соответствуют элементам группы, а каждая грань его двойника является фундаментальной областью группы.
Изображение справа показывает 48 перестановок в группе, примененных к примеру объекта (а именно к легкому соединению JF слева). 24 светлых элемента — это вращения, а темные — их отражения.
Края тела соответствуют 9 отражениям в группе:
Подгруппы соответствуют телам, имеющим общие вершины усеченного октаэдра.
Например, 3 подгруппы с 24 элементами соответствуют неоднородному курносому кубу с киральной октаэдрической симметрией, неоднородному ромбокубооктаэдру с пиритоэдрической симметрией ( кантический курносый октаэдр ) и неоднородному усеченному октаэдру с полной тетраэдрической симметрией . Единственная подгруппа из 12 элементов — это знакопеременная группа A 4 . Он соответствует неоднородному икосаэдру с киральной тетраэдрической симметрией .
Усечённый кубооктаэдр — один из семейства однородных многогранников, родственных кубу и правильному октаэдру.
Этот многогранник можно считать членом последовательности однородных узоров с конфигурацией вершин (4.6.2 p ) и диаграммой Кокстера-Дынкина. 
. Для p < 6 членами последовательности являются всеусеченные многогранники ( зоноэдры ), показанные ниже в виде сферических мозаик. При p < 6 они представляют собой мозаику гиперболической плоскости, начиная с усеченной тригептагональной мозаики .
Это первый в серии усеченных гиперкубов:
В математической области теории графов усеченный кубооктаэдрический граф (или большой ромбокубооктаэдрический граф ) — это график вершин и ребер усеченного кубооктаэдра, одного из архимедовых тел . Он имеет 48 вершин и 72 ребра и представляет собой нуль-симметричный кубический архимедов граф . [7]
