Усеченный октаэдр

Архимедово тело

3D модель усеченного октаэдра

В геометрии усеченный октаэдр — это архимедово тело , возникающее из правильного октаэдра путем удаления шести пирамид, по одной в каждой вершине октаэдра. Усеченный октаэдр имеет 14 граней (8 правильных шестиугольников и 6 квадратов ), 36 ребер и 24 вершины. Поскольку каждая его грань имеет точечную симметрию , усечённый октаэдр является 6 - зоноэдром . Это также многогранник Гольдберга G _IV (1,1), содержащий квадратные и шестиугольные грани. Как и куб, он может замощить (или «упаковать») трехмерное пространство, как пермутоэдр .

Усеченный октаэдр Бакминстер Фуллер назвал «меконом» . ^[1]

Его двойственный многогранник — тетракис-шестигранник . Если исходный усеченный октаэдр имеет единичную длину ребра, его двойной тетракис-гексаэдр имеет длину ребра.9/8√ 2 и3/2√ 2 .

Строительство

Усечённый октаэдр строится из правильного октаэдра с длиной стороны 3а путём удаления шести прямоугольных пирамид , по одной из каждой вершины. Эти пирамиды имеют длину стороны основания ( a ) и длину боковой стороны ( e ) a , образуя равносторонние треугольники . Базовая площадь тогда ^равна 2 . Обратите внимание, что эта форма в точности похожа на половину октаэдра или тело Джонсона J ₁ .

Из свойств квадратных пирамид теперь мы можем найти наклонную высоту s и высоту h пирамиды:

${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\sqrt {e^{2}-{\tfrac {1}{2}}a^{2}}}&&={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}a\\s&={\sqrt {h^{2}+{\tfrac {1}{4}}a^{2}}}&&={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}a^{2}+{\tfrac {1}{4}}a^{2}}}&&={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}a\end{aligned}}}$

Объем V пирамиды определяется выражением:

${\displaystyle V={\tfrac {1}{3}}a^{2}h={\tfrac {\sqrt {2}}{6}}a^{3}}$

Поскольку шесть пирамид удаляются путем усечения, общий потерянный объем равен √ 2 a ³ .

Ортогональные проекции

Усеченный октаэдр имеет пять особых ортогональных проекций , центрированных на вершине, на двух типах ребер и двух типах граней: шестиугольной и квадратной. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера B ₂ и A ₂ .

Сферическая черепица

Усеченный октаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции . Эта проекция является равноугольной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые линии на сфере проецируются на плоскость в виде дуг окружностей.

Координаты

Все перестановки (0, ±1, ±2) представляют собой декартовы координаты вершин усеченного октаэдра с длиной ребра a = √2 с центром в начале координат . Таким образом, вершины также являются углами 12 прямоугольников, длинные края которых параллельны осям координат.

Векторы ребер имеют декартовы координаты (0, ±1, ±1) и их перестановки. Нормали граней (нормализованные перекрестные произведения ребер, имеющих общую вершину) шести квадратных граней равны (0, 0, ±1) , (0, ±1, 0) и (±1, 0, 0) . Нормали граней 8 шестиугольных граней равны (±1/√ 3, ±1/√ 3, ±1/√ 3) . Скалярное произведение между парами двух нормалей граней представляет собой косинус двугранного угла между соседними гранями:1/3или —1/√ 3. Двугранный угол составляет примерно 1,910633 радиана (109,471° OEIS : A156546 ) на краях, общих для двух шестиугольников, или 2,186276 радиан (125,263° OEIS : A195698 ) на краях, общих для шестиугольника и квадрата.

Диссекция

Усеченный октаэдр можно разрезать на центральный октаэдр , окруженный 8 треугольными куполами на каждой грани и 6 квадратными пирамидами над вершинами. ^[2]

Удаление центрального октаэдра и 2 или 4 треугольных куполов создает два тороида Стюарта с двугранной и тетраэдрической симметрией:

Пермутоэдр

Усеченный октаэдр также может быть представлен еще более симметричными координатами в четырех измерениях: все перестановки (1, 2, 3, 4) образуют вершины усеченного октаэдра в трехмерном подпространстве x + y + z + w = ​​10. . Следовательно, усеченный октаэдр — это пермутоэдр четвертого порядка: каждая вершина соответствует перестановке (1, 2, 3, 4), а каждое ребро представляет собой одну попарную замену двух элементов.

Площадь и объём

Площадь поверхности S и объем V усеченного октаэдра с длиной ребра a равны:

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\left(6+12{\sqrt {3}}\right)a^{2}&&\approx 26.784\,6097a^{2}\\V&=8{\sqrt {2}}a^{3}&&\approx 11.313\,7085a^{3}.\end{aligned}}}$

Равномерные раскраски

Существуют две однородные раскраски , с тетраэдрической симметрией и октаэдрической симметрией , и две 2-однородные раскраски с двугранной симметрией в виде усечённой треугольной антипризмы . Для каждого даны конструктивные названия. В скобках даны их обозначения многогранников Конвея .

Химия

В структуре кристаллов фожазита существует усеченный октаэдр .

Скрытие данных

Усеченный октаэдр (фактически обобщенный усеченный октаэдр) появляется при анализе ошибок модуляции индекса квантования (QIM) в сочетании с повторным кодированием. ^[3]

Связанные многогранники

Усечённый октаэдр — один из семейства однородных многогранников, родственных кубу и правильному октаэдру.

Он также существует как омниусеченный экземпляр семейства тетраэдров:

Мутации симметрии

Этот многогранник является членом последовательности однородных узоров с фигурой вершины (4.6.2 p ) и диаграммой Коксетера – Дынкина. . Для p  < 6 членами последовательности являются всеусеченные многогранники ( зоноэдры ), показанные ниже в виде сферических мозаик. При p  > 6 они представляют собой мозаику гиперболической плоскости, начиная с усеченной тригептагональной мозаики .

Усеченный октаэдр топологически связан как часть последовательности однородных многогранников и мозаик с фигурами вершин n .6.6, простирающихся в гиперболическую плоскость:

Усечённый октаэдр топологически связан как часть последовательности однородных многогранников и мозаик с вершинными фигурами 4,2 n .2 n , выходящей в гиперболическую плоскость:

Связанные многогранники

Усеченный октаэдр ( битусеченный куб) стоит первым в последовательности усеченных побитно гиперкубов :

Тессеракт можно разрезать гиперплоскостью так, чтобы его поперечное сечение представляло собой усеченный октаэдр. ^[4]

Мозаика

Усеченный октаэдр существует в трех различных выпуклых однородных сотах ( заполняющих пространство мозаиках ):

Ячеисто -транзитивные побитовые кубические соты также можно рассматривать как мозаику Вороного объемноцентрированной кубической решетки . Усечённый октаэдр — один из пяти трёхмерных первичных параллелоэдров .

Объекты

Сетки для занятий джунглями часто включают в себя усеченные октаэдры.

• 
  древние китайцы умирают
• 
  скульптура в Бонне
• 
  Вариант кубика Рубика
• 
  Модель сделана с помощью конструктора Полидрон.
• 
  Кристалл пирита
• 
  Кристалл болеита

Усеченный октаэдрический граф

В математической области теории графов усеченный октаэдрический граф — это граф вершин и ребер усеченного октаэдра. Он имеет 24 вершины и 36 ребер и представляет собой кубический архимедовый граф . ^[5] Имеет толщину книги 3 и номер очереди 2. ^[6]

Как гамильтонов кубический граф , он может быть представлен в обозначениях LCF несколькими способами: [3, −7, 7, −3] ⁶ , [5, −11, 11, 7, 5, −5, −7, −11 , 11, −5, −7, 7] ² и [−11, 5, −3, −7, −9, 3, −5, 5, −3, 9, 7, 3, −5, 11, −3, 7, 5, −7, −9, 9, 7, −5, −7, 3]. ^[7]

Три разных гамильтоновых цикла, описываемых тремя разными обозначениями LCF для усеченного октаэдрического графа.

Рекомендации

1. «Усеченный октаэдр». Вольфрам Математический мир .
2. Доски, Алекс. «Приключения среди тороидов - Глава 5 - Простейшие (R) (A) (Q) (T) тороиды рода p = 1». www.doskey.com .
3. Перес-Гонсалес, Ф.; Баладо, Ф.; Мартин, JRH (2003). «Анализ производительности существующих и новых методов сокрытия данных с информацией об известном хосте в аддитивных каналах». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 51 (4): 960–980. Бибкод : 2003ITSP...51..960P. дои :10.1109/TSP.2003.809368.
4. Боровик, Александр В.; Боровик, Анна (2010), «Упражнение 14.4», Зеркала и отражения , Universitext, Нью-Йорк: Springer, с. 109, номер домена : 10.1007/978-0-387-79066-4, ISBN 978-0-387-79065-7, МР  2561378
5. Рид, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269
6. Вольц, Джессика; Проектирование линейных макетов с помощью SAT. Магистерская диссертация, Тюбингенский университет, 2018 г.
7. Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный октаэдрический граф». Математический мир .

• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-Х.(Раздел 3–9)
• Фрейтас, Роберт А. младший (1999). «Рисунок 5.5: Равномерное заполнение пространства с использованием только усеченных октаэдров». Наномедицина, Том I: Основные возможности. Джорджтаун, Техас: Landes Bioscience . Проверено 8 сентября 2006 г.
• Гаиха П. и Гуха С.К. (1977). «Смежные вершины пермутоэдра». SIAM Journal по прикладной математике . 32 (2): 323–327. дои : 10.1137/0132025.
• Харт, Джордж В. «VRML-модель усеченного октаэдра». Виртуальные многогранники: Энциклопедия многогранников . Проверено 8 сентября 2006 г.
• Мэдер, Роман. «Однородные многогранники: усечённый октаэдр» . Проверено 8 сентября 2006 г.
• Александров, А.Д. (1958). Конвекс Полиэдер . Берлин: Шпрингер. п. 539. ИСБН 3-540-23158-7.
• Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Усеченный октаэдр» («Архимедово тело») в MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный октаэдрический граф». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Пермутоэдр». Математический мир .
• Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники x3x4o - носок».
• Редактируемая для печати сетка усеченного октаэдра с интерактивным 3D-просмотром