В геометрии однородный 5-многогранник — это пятимерный однородный многогранник . По определению однородный 5-многогранник является вершинно-транзитивным и построен из однородных 4- многогранников .
Полный набор выпуклых однородных 5-многогранников не определен, но многие из них можно построить как конструкции Витхоффа из небольшого набора групп симметрии . Эти операции построения представлены перестановками колец диаграмм Кокстера .
Правильные 5-многогранники могут быть представлены символом Шлефли {p,q,r,s} с s {p,q,r} 4-многогранниками вокруг каждой грани . Таких правильных многогранников ровно три, и все они выпуклые:
Не существует невыпуклых правильных многогранников в пяти измерениях и выше.
Каков полный набор выпуклых однородных 5-многогранников? [6]
Известно 104 выпуклых однородных 5-многогранников, а также ряд бесконечных семейств дуопризм и многогранников-многогранников. Все, за исключением большой призмы антипризмы, основаны на конструкциях Витгофа , симметрии отражения, созданной с помощью групп Кокстера . [ нужна цитата ]
5 -симплекс — правильная форма семейства A 5 . 5-куб и 5 -ортоплекс — правильные формы семейства B5 . Бифуркационный граф семейства D 5 содержит 5-ортоплекс , а также 5-демикуб , который является чередующимся 5-кубом .
Каждый отражающий однородный 5-многогранник может быть построен в одной или нескольких отражающих точечных группах в 5 измерениях с помощью конструкции Витхоффа , представленной кольцами вокруг перестановок узлов на диаграмме Коксетера . Зеркальные гиперплоскости можно группировать, как видно по цветным узлам, разделенным четными ветвями. Группы симметрии вида [a,b,b,a] имеют расширенную симметрию [[a,b,b,a]], как и [3,3,3,3], удваивая порядок симметрии. Однородные многогранники в этой группе с симметричными кольцами содержат эту расширенную симметрию.
Если все зеркала данного цвета не имеют кольца (неактивны) в данном однородном многограннике, он будет иметь конструкцию с более низкой симметрией за счет удаления всех неактивных зеркал. Если все узлы данного цвета окольцованы (активны), операция чередования может создать новый 5-многогранник с киральной симметрией, показанный как «пустые» узлы в кружке», но геометрия обычно не настраивается для создания единых решений.
Существует 5 конечных категориальных однородных призматических семейств многогранников, основанных на непризматических однородных 4-многогранниках . Существует одно бесконечное семейство 5-многогранников, основанное на призмах равномерных дуопризм {p}×{q}×{ }.
Существует 3 категориальных однородных дуопризматических семейства многогранников, основанных на декартовых произведениях однородных многогранников и правильных многоугольников : { q , r }×{ p }.
В результате получается: 19+31+8+45+1=104.
Кроме того, имеются:
Существует 19 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера с одним или несколькими кольцами. (16+4-1 случаев)
Они названы Норманом Джонсоном в честь строительных операций Уитхоффа на основе обычного 5-симплекса (гексатерона).
Семейство A 5 имеет симметрию порядка 720 (6- факториал ) . 7 из 19 фигур с симметрично обведенными диаграммами Кокстера имеют двойную симметрию, порядок 1440.
Координаты однородных 5-многогранников с 5-симплексной симметрией могут быть сгенерированы как перестановки простых целых чисел в 6-мерном пространстве, все в гиперплоскостях с вектором нормали (1,1,1,1,1,1).
Семейство B 5 имеет симметрию порядка 3840 (5!×2 5 ) .
Это семейство имеет 2 5 −1=31 однородных многогранников Витоффа, созданных путем маркировки одного или нескольких узлов диаграммы Кокстера . Также добавлены 8 однородных многогранников, сгенерированных как чередования с половинной симметрией, которые образуют полную копию семейства D 5 как
"="
..... (Есть и другие чередования, которые не указаны, поскольку они производят только повторения, как
"="
.... и"="
.... Это дало бы полное дублирование однородных 5-многогранников с номерами от 20 до 34 с нарушенной пополам симметрией.)
Для простоты она разделена на две подгруппы, в каждой по 12 форм, и 7 «средних» форм, одинаково принадлежащих обеим.
Семейство 5-кубов 5-многогранников задается выпуклыми оболочками базовых точек, перечисленных в следующей таблице, со всеми перестановками координат и знаков. Каждая базовая точка порождает отдельный однородный 5-многогранник. Все координаты соответствуют однородным 5-многогранникам с длиной ребра 2.
Семейство D 5 имеет симметрию порядка 1920 (5! x 2 4 ) .
В этом семействе имеется 23 однородных многогранника Витоффа из перестановок 3×8-1 диаграммы Кокстера D 5 с одним или несколькими кольцами. 15 (2×8-1) повторяются из семейства B5 , а 8 уникальны для этого семейства, хотя даже эти 8 дублируют чередования из семейства B5 .
В 15 повторах оба узла, заканчивающиеся ветвями длины 1, имеют кольцо, поэтому два типаэлементы идентичны, а симметрия удваивается: отношения"=".... и"="..., создавая полную копию однородных 5-многогранников с 20 по 34 выше. В 8 новых формах один такой узел окольцован, а другой нет, причем отношение"="... дублируя однородные 5-многогранники с 51 по 58 выше.
Существует 5 конечных категориальных однородных призматических семейств многогранников, основанных на непризматических однородных 4-многогранниках . Для простоты большинство чередований не показано.
Это призматическое семейство имеет 9 форм :
Семейство А 1 х А 4 имеет симметрию порядка 240 (2*5!) .
Это призматическое семейство имеет 16 форм . (Три являются общими для семейства [3,4,3]×[ ])
Семейство A 1 ×B 4 имеет симметрию порядка 768 (2 5 4 !).
Последние три курносых могут быть реализованы с ребрами одинаковой длины, но в любом случае они окажутся неоднородными, поскольку некоторые из их 4-граней не являются однородными 4-многогранниками.
Это призматическое семейство имеет 10 форм .
Семейство A 1 x F 4 имеет симметрию порядка 2304 (2*1152) . Три многогранника 85, 86 и 89 (зеленый фон) имеют двойную симметрию [[3,4,3],2], порядка 4608. Последний, курносая 24-клеточная призма (синий фон) имеет [3 + ,4, 3,2] симметрия, порядок 1152.
Это призматическое семейство имеет 15 форм :
Семейство A 1 x H 4 имеет симметрию порядка 28800 (2*14400).
Равномерные призмы дуопризмы, { p }×{ q }×{ }, образуют бесконечный класс для всех целых чисел p , q >2. {4}×{4}×{ } образует форму более низкой симметрии 5-куба .
Расширенный f-вектор { p }×{ q }×{ } вычисляется как ( p , p , 1 )*( q , q , 1 )*(2, 1 ) = (2 pq ,5 pq ,4 pq +2 p +2 q ,3 pq +3 p +3 q , p + q +2, 1 ).
Призма большой антипризмы — единственный известный выпуклый невитоффов однородный 5-многогранник. Он имеет 200 вершин, 1100 ребер, 1940 граней (40 пятиугольников, 500 квадратов, 1400 треугольников), 1360 ячеек (600 тетраэдров , 40 пятиугольных антипризм , 700 треугольных призм , 20 пятиугольных призм ) и 322 гиперячейки (2 большие антипризмы). 
, 20 пятиугольных призм -антипризм
, и 300 тетраэдрических призм 
).
Построение отражающих 5-мерных однородных многогранников осуществляется с помощью процесса построения Витхоффа и представляется с помощью диаграммы Кокстера , где каждый узел представляет собой зеркало. Узлы окольцованы, чтобы указать, какие зеркала активны. Полный набор генерируемых однородных многогранников основан на уникальных перестановках кольцевых узлов. Однородные 5-многогранники называются в соответствии с правильными многогранниками каждого семейства. Некоторые семейства имеют два обычных конструктора и, следовательно, могут иметь два способа их именования.
Вот основные операторы, доступные для построения и именования однородных 5-многогранников.
Последняя операция, пренебрежение и, в более общем смысле, чередование, — это операция, которая может создавать нерефлексивные формы. Они нарисованы с «полыми кольцами» в узлах.
Призматические формы и раздвоенные графы могут использовать одну и ту же нотацию индексации усечения, но для ясности требуют явной системы нумерации узлов.
Существует пять фундаментальных аффинных групп Кокстера и 13 призматических групп, которые генерируют регулярные и равномерные мозаики в евклидовом 4-мерном пространстве. [11] [12]
Существует три правильных соты евклидова 4-мерного пространства:
"="
. В этом семействе 19 однородных сот.. В этом семействе имеется 31 светоотражающая однородная сота и одна чередующаяся форма.
ипостроен из четырех курносых 24-ячеек , одной 16-ячеек и пяти 5-ячеек в каждой вершине.Другие семейства, образующие однородные соты:
"="
семейное, все новое, в том числе:семейство, два новых, в том числе четверть тессерактических сот ,"="и усеченные тессерактические соты ,"=".Не-Витоффовы однородные мозаики в 4-мерном пространстве также существуют за счет удлинения (вставки слоев) и вращения (вращения слоев) этих отражающих форм.
Существует 5 компактных гиперболических групп Кокстера ранга 5, каждая из которых порождает равномерные соты в гиперболическом 4-мерном пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера.
В пространстве H 4 имеется 5 правильных компактных выпуклых гиперболических сот : [13]
В пространстве H 4 также имеются 4 регулярные компактные гиперболические соты-звезды :
Существует 9 паракомпактных гиперболических групп Кокстера ранга 5 , каждая из которых порождает однородные соты в 4-мерном пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера. Паракомпактные группы порождают соты с бесконечными гранями или фигурами вершин .
