В пятимерной геометрии 5 -куб — это название пятимерного гиперкуба с 32 вершинами , 80 ребрами , 80 квадратными гранями , 40 кубическими ячейками и 10 4-гранями тессеракта .
Он представлен символом Шлефли {4,3,3,3} или {4,3 3 }, построенным в виде трёх тессерактов {4,3,3} вокруг каждого кубического гребня . Его можно назвать пентерактом , сочетанием греческого слова «пенте» , означающего «пять» (измерения), и слова « тессеракт» (четырехмерный куб). Его также можно назвать правильным дека-5-топом или декатероном , поскольку он представляет собой 5-мерный многогранник , построенный из 10 правильных граней .
Это часть бесконечного семейства гиперкубов . Двойственным 5-кубу является 5-ортоплекс бесконечного семейства ортоплексов .
Применение операции чередования , удаляющей чередующиеся вершины 5-куба, создает еще один однородный 5-многогранник , называемый 5-демикубом , который также является частью бесконечного семейства, называемого демигиперкубами .
5-куб можно рассматривать как тессерактическую соту 3-го порядка на 4-сфере . Это связано с евклидовой 4-пространственной (порядка 4) тессерактической сотой и паракомпактной гиперболической сотой тессерактической соты 5-го порядка .
Эта матрица конфигурации представляет собой 5-куб. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам и 4-граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 5-кубе. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. [1] [2]
Декартовы координаты вершин 5-куба с центром в начале координат и длиной ребра 2 равны
в то время как внутренняя часть этого 5-куба состоит из всех точек ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) с -1 < x i < 1 для всех i .
Проекции на плоскость n -куба Кокстера в группах B k Кокстера проецируются в графы k-куба, при этом мощности двух вершин перекрываются в проективных графах.
Пятимерный куб можно спроецировать в трех измерениях с помощью оболочки ромбического икосаэдра . Всего имеется 22 внешние вершины и 10 внутренних вершин. Десять внутренних вершин имеют выпуклую оболочку пятиугольной антипризмы . 80 ребер образуют 40 внешних и 40 внутренних ребер. 40 кубов образуют золотые ромбоэдры , которые можно использовать для разрезания ромбического икосаэдра. Векторы проекции: u = {1, φ, 0, -1, φ}, v = {φ, 0, 1, φ, 0}, w = {0, 1, φ, 0, -1}, где φ это золотое сечение , .
Также возможно проецировать пентеракты в трехмерное пространство, аналогично проецированию куба в двухмерное пространство.
5 -куб имеет симметрию группы Кокстера B 5 , абстрактную структуру порядка 3840, содержащую 25 гиперплоскостей отражения. Символ Шлефли для 5-куба {4,3,3,3} соответствует симметрии обозначений Коксетера [4,3,3,3].
Все гиперкубы имеют формы более низкой симметрии, построенные в виде призм. 5-куб имеет 7 призматических форм, начиная с нижнего 5- ортотопа { } 5 и выше, поскольку ортогональные ребра ограничены одинаковой длиной. Вершины призмы равны произведению вершин элементов. Ребра призмы можно разделить на количество ребер в элементе, умноженное на количество вершин во всех остальных элементах.
5 -куб — пятый в ряду гиперкубов :
Правильный косой многогранник {4,5| 4} может быть реализовано внутри 5-куба с его 32 вершинами, 80 ребрами и 40 квадратными гранями, а остальные 40 квадратных граней 5-куба становятся квадратными отверстиями .
Этот многогранник является одним из 31 однородных 5-многогранников , порожденных из правильного 5-куба или 5-ортоплекса .
