Группа Коксетера

Группа, допускающая формальное описание в терминах отражений.

В математике группа Кокстера , названная в честь HSM Coxeter , представляет собой абстрактную группу , допускающую формальное описание в терминах отражений (или калейдоскопических зеркал ). Действительно, конечные группы Кокстера являются в точности конечными евклидовыми группами отражений ; например, группа симметрии каждого правильного многогранника является конечной группой Кокстера. Однако не все группы Кокстера конечны, и не все можно описать в терминах симметрии и евклидовых отражений. Группы Кокстера были введены в 1934 году как абстракции групп отражений ^[1] , а конечные группы Кокстера были классифицированы в 1935 году. ^[2]

Группы Кокстера находят применение во многих областях математики. Примеры конечных групп Кокстера включают группы симметрии правильных многогранников и группы Вейля простых алгебр Ли . Примеры бесконечных групп Кокстера включают группы треугольников , соответствующие регулярным мозаикам евклидовой плоскости и гиперболической плоскости , а также группы Вейля бесконечномерных алгебр Каца – Муди . ^{[3] [4] [5]}

Определение

Формально группу Кокстера можно определить как группу с представлением

${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$

где и является либо целым числом, либо для . Здесь условие означает, что никакое отношение вида для любого целого числа не должно налагаться. ${\displaystyle m_{ii}=1}$ ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}\geq 2}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}=1}$ ${\displaystyle m\geq 2}$

Пара где – группа Кокстера с образующими, называется системой Кокстера . Обратите внимание , что в общем случае не определяется однозначно . Например, группы Кокстера типа и изоморфны, но системы Кокстера не эквивалентны, так как первая имеет 3 образующих, а вторая — 1 + 3 = 4 образующих (пояснение этих обозначений см. ниже). ${\displaystyle (W,S)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle A_{1}\times A_{3}}$

Из приведенного выше определения можно сразу сделать ряд выводов.

• Отношение означает, что для всех  ; как таковые генераторы являются инволюциями . ${\displaystyle m_{ii}=1}$ ${\displaystyle (r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1}$ ${\displaystyle i}$
• Если , то генераторы и коммутируют. Это следует из наблюдения, что ${\displaystyle m_{ij}=2}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{j}}$

${\displaystyle xx=yy=1}$,

вместе с

${\displaystyle xyxy=1}$

подразумевает, что

${\displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}$.

Альтернативно, поскольку образующие являются инволюциями, , поэтому . То есть коммутатор и равен 1 или, что то же самое, и коммутирует . ${\displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}$ ${\displaystyle 1=(r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{j}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{j}}$

Причина, по которой это предусмотрено в определении, состоит в том, что ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}$ ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle yy=1}$,

вместе с

${\displaystyle (xy)^{m}=1}$

уже подразумевает, что

${\displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}$.

Альтернативным доказательством этой импликации является наблюдение, что и являются сопряженными : действительно . ${\displaystyle (xy)^{k}}$ ${\displaystyle (yx)^{k}}$ ${\displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}}$

Матрица Коксетера и матрица Шлефли

Матрица Коксетера — это симметричная матрица с элементами . Действительно, каждая симметричная матрица с диагональными элементами, равными исключительно 1, и недиагональными элементами множества является матрицей Кокстера. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle \{2,3,\ldots \}\cup \{\infty \}}$

Матрицу Кокстера можно удобно закодировать диаграммой Кокстера согласно следующим правилам.

• Вершины графа помечены индексами генератора.
• Вершины и смежны тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle m_{ij}\geq 3}$
• Ребро помечается значением, когда это значение больше или больше. ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle 4}$

В частности, два генератора коммутируют тогда и только тогда, когда они не соединены ребром. Более того, если граф Кокстера имеет два или более связных компонента , связанная группа является прямым продуктом групп, связанных с отдельными компонентами. Таким образом, дизъюнктное объединение графов Кокстера дает прямое произведение групп Кокстера.

Матрица Коксетера связана с матрицей Шлефли с элементами , но элементы изменяются и пропорциональны скалярному произведению попарных генераторов. Матрица Шлефли полезна, потому что ее собственные значения определяют, имеет ли группа Коксетера конечный тип (все положительные), аффинный тип (все неотрицательные, хотя бы один ноль) или неопределенный тип (в противном случае). Неопределенный тип иногда подразделяется, например, на гиперболическую и другие группы Кокстера. Однако существует несколько неэквивалентных определений гиперболических групп Кокстера. ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C_{ij}=-2\cos(\pi /M_{ij})}$

Пример

Граф An _, в котором вершины с 1 по n расположены в ряд, причем каждая вершина соединена непомеченным _ребром со своими непосредственными соседями, представляет собой диаграмму Кокстера симметричной группы Sn ₊₁ ; образующие соответствуют транспозициям ( 1 2), (2 3), ... , ( n n +1 ). Любые две непоследовательные транспозиции коммутируют, а умножение двух последовательных транспозиций дает 3-цикл: ( k k +1) ( k +1 k +2) = ( k k +2 k +1). Следовательно, _S n ₊₁ является фактором группы Кокстера, имеющей диаграмму Кокстера An . Дальнейшие рассуждения показывают, что это факторотображение является изоморфизмом.

Абстракция групп отражений

Группы Кокстера представляют собой абстракцию групп отражения. Группы Кокстера — это абстрактные группы в том смысле, что они задаются посредством представления. С другой стороны, группы отражений конкретны в том смысле, что каждый из ее элементов представляет собой совокупность конечного числа геометрических отражений о линейных гиперплоскостях в некотором евклидовом пространстве. Технически группа отражений — это подгруппа линейной группы (или различных обобщений), порожденная ортогональными матрицами определителя -1. Каждый генератор группы Кокстера имеет порядок 2, что абстрагирует тот геометрический факт, что двукратное отражение является тождественным. Каждое соотношение вида , соответствующее геометрическому факту, что при наличии двух гиперплоскостей , встречающихся под углом , совокупность двух отражений относительно этих гиперплоскостей представляет собой вращение на , которое имеет порядок k . ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}$ ${\displaystyle \pi /k}$ ${\displaystyle 2\pi /k}$

Таким образом, каждая группа отражений может быть представлена ​​как группа Кокстера. ^[1] Обратное утверждение частично верно: каждая конечная группа Кокстера допускает точное представление как конечная группа отражений некоторого евклидова пространства. ^[2] Однако не каждая бесконечная группа Кокстера допускает представление в виде группы отражений.

Классифицированы конечные группы Кокстера. ^[2]

Конечные группы Кокстера

Графы Кокстера конечных групп Кокстера

Классификация

Конечные группы Кокстера классифицируются на основе их диаграмм Кокстера . ^[2]

Конечные группы Кокстера со связными диаграммами Кокстера состоят из 3 однопараметрических семейств возрастающего ранга, однопараметрического семейства размерности два и 6 исключительных групп: и . Каждая конечная группа Кокстера является прямым произведением конечного числа групп Кокстера из приведенного выше списка. ${\displaystyle A_{n},B_{n},D_{n},}$ ${\displaystyle I_{2}(p),}$ ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},H_{3},}$ ${\displaystyle H_{4}}$

Группы Вейля

Многие из них, но не все, являются группами Вейля, и каждую группу Вейля можно реализовать как группу Кокстера. Группы Вейля представляют собой семейства и исключения и обозначаются в обозначениях групп Вейля как ${\displaystyle A_{n},B_{n},}$ ${\displaystyle D_{n},}$ ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},}$ ${\displaystyle I_{2}(6),}$ ${\displaystyle G_{2}.}$

Исключением являются невейлевские группы и те члены семейства , которые не являются исключительно изоморфными группе Вейля (а именно и ). ${\displaystyle H_{3}}$ ${\displaystyle H_{4},}$ ${\displaystyle I_{2}(p)}$ ${\displaystyle I_{2}(3)\cong A_{2},I_{2}(4)\cong B_{2},}$ ${\displaystyle I_{2}(6)\cong G_{2}}$

Это можно доказать, сравнив ограничения на (неориентированные) диаграммы Дынкина с ограничениями на диаграммы Кокстера конечных групп: формально граф Кокстера можно получить из диаграммы Дынкина, отбросив направление ребер и заменив каждое двойное ребро на ребро с меткой 4 и каждое тройное ребро с ребром с меткой 6. Также обратите внимание, что каждая конечно порожденная группа Кокстера является автоматической группой . ^[6] Диаграммы Дынкина имеют дополнительное ограничение: разрешенными метками ребер являются только 2, 3, 4 и 6, что приводит к вышеизложенному. Геометрически это соответствует теореме о кристаллографическом ограничении и тому факту, что исключенные многогранники не заполняют пространство и не заполняют плоскость - ведь додекаэдр (двойственный икосаэдр) не заполняет пространство; для 120-ячеечного (двойного, 600-ячеечного) не заполняет пространство; поскольку p -угольник не замощает плоскость, за исключением или (треугольных, квадратных и шестиугольных мозаик соответственно). ${\displaystyle H_{3},}$ ${\displaystyle H_{4},}$ ${\displaystyle I_{2}(p)}$ ${\displaystyle p=3,4,}$ ${\displaystyle 6}$

Обратите внимание далее, что (ориентированные) диаграммы Дынкина B _n и C _n порождают одну и ту же группу Вейля (следовательно, группу Коксетера), поскольку они различаются как ориентированные графы, но согласуются как неориентированные графы - направление имеет значение для корневых систем, но не для системы Вейля. группа; это соответствует тому, что гиперкуб и кросс-многогранник являются разными правильными многогранниками, но имеют одну и ту же группу симметрии.

Характеристики

Некоторые свойства конечных неприводимых групп Кокстера приведены в следующей таблице. Порядок приводимой группы можно вычислить как произведение порядков ее неприводимых подгрупп.

Группы симметрии правильных многогранников

Группа симметрии любого правильного многогранника является конечной группой Кокстера. Обратите внимание, что двойственные многогранники имеют одну и ту же группу симметрии.

Существует три серии правильных многогранников во всех измерениях. Группой симметрии регулярного n -симплекса является симметрическая группа Sn _{+1 , также известная} как группа Кокстера типа An . Группа симметрии n - куба _и его двойственного n -кросс-многогранника равна Bn и известна как гипероктаэдрическая группа .

Исключительные правильные многогранники размерностей два, три и четыре соответствуют другим группам Кокстера. В двух измерениях группы диэдра , которые являются группами симметрии правильных многоугольников , образуют ряд I ₂ ( p ) для p ≥ 3. В трех измерениях группа симметрии правильного додекаэдра и его двойственного, правильного икосаэдра , является H ₃ , известная как полная икосаэдрическая группа . В четырех измерениях существуют три исключительных правильных многогранника: 24-ячеечный , 120-ячеечный и 600-ячеечный . Первый имеет группу симметрии F ₄ , а два других двойственны и имеют группу симметрии H ₄ .

Группы Кокстера типа Dn _, E6 , E7 и _E8 являются группами _{симметрии} некоторых полуправильных многогранников _.

Аффинные группы Кокстера

Диаграммы Кокстера для аффинных групп Кокстера

Диаграмма Штифеля для корневой системы ${\displaystyle G_{2}}$

Аффинные группы Кокстера образуют вторую важную серию групп Кокстера. Они сами по себе не конечны, но каждая содержит нормальную абелеву подгруппу , такую ​​что соответствующая факторгруппа конечна. В каждом случае факторгруппа сама является группой Кокстера, а граф Кокстера аффинной группы Кокстера получается из графа Кокстера факторгруппы путем добавления еще одной вершины и одного или двух дополнительных ребер. Например, для n ≥ ₂ таким способом из An получается  граф, состоящий из _n +1 вершины в окружности, и соответствующая группа Кокстера является аффинной группой Вейля An ( аффинная симметрическая группа ). При n  = 2 это можно представить как подгруппу группы симметрии стандартного замощения плоскости равносторонними треугольниками.

В общем, учитывая корневую систему, можно построить связанную диаграмму Стифеля , состоящую из гиперплоскостей, ортогональных корням, а также определенных сдвигов этих гиперплоскостей. Аффинная группа Коксетера (или аффинная группа Вейля) — это группа, порожденная (аффинными) отражениями обо всех гиперплоскостях на диаграмме. ^[9] Диаграмма Штифеля делит плоскость на бесконечное число связных компонентов, называемых альковами , и аффинная группа Коксетера действует свободно и транзитивно на альковах, так же, как обычная группа Вейля действует свободно и транзитивно на камерах Вейля. На рисунке справа показана диаграмма Штифеля для корневой системы. ${\displaystyle G_{2}}$

Предположим , что это неприводимая корневая система ранга , и пусть это совокупность простых корней. Пусть также обозначает высший корень. Тогда аффинная группа Кокстера порождается обычными (линейными) отражениями о гиперплоскостях, перпендикулярных , вместе с аффинным отражением о сдвиге гиперплоскости, перпендикулярной . Граф Кокстера для аффинной группы Вейля представляет собой диаграмму Кокстера-Дынкина для , вместе с одним дополнительным узлом, связанным с . В этом случае одну нишу диаграммы Штифеля можно получить, взяв фундаментальную камеру Вейля и разрезав ее сдвигом гиперплоскости, перпендикулярной . ^[10] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r>1}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$ ${\displaystyle \alpha _{r+1}}$

Список аффинных групп Кокстера следующий:

Индекс символа группы в каждом случае на единицу меньше количества узлов, поскольку каждая из этих групп была получена путем добавления узла в граф конечной группы.

Гиперболические группы Кокстера

Существует бесконечно много гиперболических групп Кокстера , описывающих группы отражений в гиперболическом пространстве , в частности, включая гиперболические группы треугольников.

Частичные заказы

Выбор генераторов отражения приводит к возникновению функции длины ℓ в группе Кокстера, а именно минимального количества использований генераторов, необходимых для выражения элемента группы; это именно длина слова метрики в графе Кэли . Выражение для v с использованием генераторов ℓ ( v ) представляет собой сокращенное слово . Например, перестановка (13) в S ₃ имеет два сокращенных слова: (12)(23)(12) и (23)(12)(23). Функция определяет карту , обобщающую карту знаков для симметричной группы. ${\displaystyle v\to (-1)^{\ell (v)}}$ ${\displaystyle G\to \{\pm 1\},}$

Используя сокращенные слова, можно определить три частичных порядка в группе Коксетера: (правый) слабый порядок , абсолютный порядок и порядок Брюа (названный в честь Франсуа Брюа ). Элемент v превышает элемент u в порядке Брюа, если какое-то (или, что то же самое, любое) сокращенное слово для v содержит сокращенное слово для u в виде подстроки, в которой некоторые буквы (в любой позиции) опущены. В слабом порядке v  ≥  u , если некоторое приведенное слово для v содержит приведенное слово для u в качестве начального сегмента. Действительно, длина слова превращает это в градуированное частичное множество . Диаграммы Хассе , соответствующие этим порядкам, являются объектами исследования и связаны с графом Кэли, определяемым генераторами. Абсолютный порядок определяется аналогично слабому порядку, но с порождающим набором/алфавитом, состоящим из всех сопряженных генераторов Кокстера.

Например, перестановка (1 2 3) в S ₃ имеет только одно сокращенное слово, (12)(23), поэтому покрывает (12) и (23) в порядке Брюа, но покрывает только (12) в слабом порядке.

Гомология

Поскольку группа Кокстера порождается конечным числом элементов порядка 2, ее абелианизация является элементарной абелевой 2-группой , т. е. она изоморфна прямой сумме нескольких копий циклической группы . Это можно переформулировать в терминах первой группы гомологий . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle Z_{2}}$ ${\displaystyle W}$

Множитель Шура , равный второй группе гомологий , был вычислен в (Ihara & Yokonuma 1965) для конечных групп отражений и в (Yokonuma 1965) для аффинных групп отражений, с более унифицированным объяснением, данным в (Howlett 1988). Во всех случаях мультипликатор Шура также является элементарной абелевой 2-группой. Для каждого бесконечного семейства конечных или аффинных групп Вейля ранг стабилизируется при стремлении к бесконечности. ${\displaystyle M(W)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \{W_{n}\}}$ ${\displaystyle M(W_{n})}$ ${\displaystyle n}$

Смотрите также

• Группа Артина-Титса
• Теорема Шевалле – Шепарда – Тодда
• Комплексная группа отражений
• Элемент Кокстера
• Алгебра Ивахори–Хекке , квантовая деформация групповой алгебры
• Полином Каждана – Люстига
• Самый длинный элемент группы Кокстера
• Параболическая подгруппа группы отражений
• Сверхразрешимая договоренность

Примечания

1. подгруппа индекса 2 ${\displaystyle \operatorname {GO} _{4}^{+}(5)}$

Рекомендации

1. Коксетер, HSM (1934). «Дискретные группы, порожденные отражениями». Анналы математики . 35 : 588–621. CiteSeerX  10.1.1.128.471 . дои : 10.2307/1968753. JSTOR  1968753.
2. Coxeter, HSM (январь 1935 г.). «Полное перечисление конечных групп вида ». Журнал Лондонского математического общества : 21–25. дои : 10.1112/jlms/s1-10.37.21. ${\displaystyle ri2=(rirj)kij=1r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}$
3. Бурбаки, Николя (2002). «4-6». Группы Ли и алгебры Ли . Элементы математики. Спрингер. ISBN 978-3-540-42650-9. Збл  0983.17001.
4. Хамфрис, Джеймс Э. (1990). Группы отражения и группы Кокстера (PDF) . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 29. Издательство Кембриджского университета. дои : 10.1017/CBO9780511623646. ISBN 978-0-521-43613-7. Збл  0725.20028 . Проверено 18 ноября 2023 г.
5. Дэвис, Майкл В. (2007). Геометрия и топология групп Кокстера (PDF) . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-13138-2. Збл  1142.20020 . Проверено 18 ноября 2023 г.
6. Бринк, Бриджит; Хоулетт, Роберт Б. (1993). «Свойство конечности и автоматическая структура групп Кокстера». Математические Аннален . 296 (1): 179–190. дои : 10.1007/BF01445101. S2CID  122177473. Збл  0793.20036.
7. Коксетер, HSM «12.6. Количество отражений». Правильные многогранники . ISBN 0-486-61480-8.
8. Уилсон, Роберт А. (2009), «Глава 2», Конечные простые группы , Тексты для выпускников по математике 251, том. 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-84800-988-2, ISBN. 978-1-84800-987-5
9. Зал 2015 г., раздел 13.6.
10. Hall 2015. Глава 13, упражнения 12 и 13.

Библиография

• Холл, Брайан С. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для аспирантов по математике. Том. 222 (2-е изд.). Спрингер. ISBN 978-3-319-13466-6.
• Ихара, С.; Ёконума, Такео (1965). «О вторых группах когомологий (мультипликаторах Шура) конечных групп отражений» (PDF) . Дж. Фак. наук. унив. Токио, разд. 1 . 11 : 155–171. Збл  0136.28802. Архивировано из оригинала (PDF) 23 октября 2013 г.
• Хоулетт, Роберт Б. (1988). «О множителях Шура групп Кокстера». Дж. Лондон Математика. Соц . 2. 38 (2): 263–276. doi : 10.1112/jlms/s2-38.2.263. Збл  0627.20019.
• Ёконума, Такео (1965). «О вторых группах когомологий (мультипликаторах Шура) бесконечных дискретных групп отражений». Дж. Фак. наук. унив. Токио, разд. 1 . 11 : 173–186. hdl : 2261/6049. Збл  0136.28803.

дальнейшее чтение

• Бьёрнер, Андерс ; Бренти, Франческо (2005). Комбинаторика групп Кокстера. Тексты для аспирантов по математике . Том. 231. Спрингер. ISBN 978-3-540-27596-1. Збл  1110.05001.
• Гроув, Ларри К.; Бенсон, Кларк Т. (1985). Группы конечного отражения. Дипломные тексты по математике. Том. 99. Спрингер. ISBN 978-0-387-96082-1.
• Кейн, Ричард (2001). Группы отражения и теория инвариантов. Книги CMS по математике. Спрингер. ISBN 978-0-387-98979-2. Збл  0986.20038.
• Хиллер, Ховард (1982). Геометрия групп Кокстера. Исследования по математике. Том. 54. Питман. ISBN 978-0-273-08517-1. Збл  0483.57002.
• Винберг, Эрнест Б. (1984). «Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности». Труды Москов. Мат. Обще . 47 .

Внешние ссылки

• «Группа Кокстера», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. , «Группа Кокстера», MathWorld
• Программное обеспечение Jenn для визуализации графов Кэли конечных групп Кокстера с числом генераторов до четырех