Группа размышлений

В теории групп и геометрии группа отражений — это дискретная группа , которая порождается набором отражений конечномерного евклидова пространства . Группа симметрии правильного многогранника или разбиения евклидова пространства конгруэнтными копиями правильного многогранника обязательно является группой отражений. Группы отражений также включают группы Вейля и кристаллографические группы Кокстера . В то время как ортогональная группа порождается отражениями (по теореме Картана–Дьедонне ), она является непрерывной группой (на самом деле, группой Ли ), а не дискретной группой, и обычно рассматривается отдельно.

Определение

Пусть E — конечномерное евклидово пространство . Конечная группа отражений — это подгруппа общей линейной группы E , которая порождается набором ортогональных отражений относительно гиперплоскостей , проходящих через начало координат. Аффинная группа отражений — это дискретная подгруппа аффинной группы E , которая порождается набором аффинных отражений E (без требования, чтобы гиперплоскости отражений проходили через начало координат).

Соответствующие понятия могут быть определены над другими полями , что приводит к комплексным группам отражений и аналогам групп отражений над конечным полем .

Примеры

Два измерения

В двух измерениях конечные группы отражений являются диэдральными группами , которые генерируются отражением относительно двух прямых, образующих угол и соответствующих диаграмме Кокстера. Наоборот, циклические точечные группы в двух измерениях не генерируются отражениями и не содержат их — они являются подгруппами индекса 2 диэдральной группы. ${\displaystyle 2\pi /n}$ ${\displaystyle I_{2}(n).}$

Бесконечные группы отражений включают группы фриза и и группы обоев , , , и . Если угол между двумя линиями является иррациональным кратным пи, группа, порожденная отражениями относительно этих линий, бесконечна и недискретна, следовательно, она не является группой отражений. ${\displaystyle *\infty \infty }$ ${\displaystyle *22\infty }$ ${\displaystyle **}$ ${\displaystyle *2222}$ ${\displaystyle *333}$ ${\displaystyle *442}$ ${\displaystyle *632}$

Три измерения

Конечные группы отражений — это точечные группы C _nv , D _nh и группы симметрии пяти Платоновых тел . Двойственные правильные многогранники (куб и октаэдр, а также додекаэдр и икосаэдр) порождают изоморфные группы симметрии. Классификация конечных групп отражений R ³ является примером классификации ADE .

Связь с группами Коксетера

Группа отражений W допускает представление особого вида, открытого и изученного Г. С. М. Коксетером . ^[1] Отражения в гранях фиксированной фундаментальной «камеры» являются генераторами r _i группы W порядка 2. Все соотношения между ними формально вытекают из соотношений

${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{c_{ij}}=1,}$

выражая тот факт, что произведение отражений r _i и r _j относительно двух гиперплоскостей H _i и H _{j ,} встречающихся под углом, представляет собой поворот на угол, фиксирующий подпространство H _i  ∩  H _j коразмерности 2. Таким образом, рассматриваемая как абстрактная группа, каждая группа отражений является группой Кокстера . ${\displaystyle \pi /c_{ij}}$ ${\displaystyle 2\pi /c_{ij}}$

Конечные поля

При работе над конечными полями «отражение» определяется как отображение, фиксирующее гиперплоскость. Геометрически это равносильно включению сдвигов в гиперплоскость. Группы отражений над конечными полями характеристики, отличной от 2, были классифицированы Залесским и Сережкиным (1981).

Обобщения

Также были рассмотрены дискретные группы изометрий более общих римановых многообразий , порожденных отражениями. Самый важный класс возникает из римановых симметрических пространств ранга 1: n-сфера S ⁿ , соответствующая конечным группам отражений, евклидово пространство R ⁿ , соответствующее аффинным группам отражений, и гиперболическое пространство H ⁿ , где соответствующие группы называются гиперболическими группами отражений . В двух измерениях треугольные группы включают группы отражений всех трех видов.

Смотрите также

• Расположение гиперплоскости
• Теорема Шевалле–Шепарда–Тодда
• Группы отражения связаны с калейдоскопами . ^[2]
• Параболическая подгруппа группы отражений

Ссылки

Примечания

1. Коксетер (1934, 1935)
2. Гудман (2004).

Библиография

• Коксетер, HSM (1934), «Дискретные группы, порожденные отражениями», Ann. of Math. , 35 (3): 588–621, CiteSeerX  10.1.1.128.471 , doi :10.2307/1968753, JSTOR  1968753
• Коксетер, Х. С. М. (1935), «Полное перечисление конечных групп вида », J. London Math. Soc. , 10 : 21–25, doi :10.1112/jlms/s1-10.37.21 ${\displaystyle r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1}$
• Гудман, Роу (апрель 2004 г.), «Математика зеркал и калейдоскопов» (PDF) , American Mathematical Monthly , 111 (4): 281–298, CiteSeerX  10.1.1.127.6227 , doi :10.2307/4145238, JSTOR  4145238
• Залесский, Александр Е.; Сережкин, В. Н. (1981), "Конечные линейные группы, порожденные отражениями", Матем. изв. СССР , 17 (3): 477–503, Bibcode :1981IzMat..17..477Z, doi :10.1070/IM1981v017n03ABEH001369

Учебники

• Боровик, Александр ; Боровик, Анна (2010), Зеркала и отражения: геометрия конечных групп отражений , Нью-Йорк: Springer , ISBN 9780387790664
• Гроув, LC; Бенсон, CT (1985), Конечные группы отражений , Graduate Texts in Mathematics, т. 99 (2-е изд.), Springer-Verlag, Нью-Йорк, doi : 10.1007/978-1-4757-1869-0, ISBN 0-387-96082-1, МР  0777684
• Хамфрис, Джеймс Э. (1992), Группы отражения и группы Коксетера, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43613-7

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с группами Reflection на Wikimedia Commons
• «Группа отражения», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]