5-многогранник

5-мерный геометрический объект

В геометрии пятимерный многогранник ( или 5-многогранник ) — это многогранник в пятимерном пространстве , ограниченный ( 4-многогранником ) гранями , пары которых имеют общую многогранную ячейку .

Определение

5-многогранник — это замкнутая пятимерная фигура с вершинами , ребрами , гранями и ячейками , а также 4-гранями . Вершина — это точка , в которой сходятся пять или более ребер. Ребро — это сегмент линии , на котором встречаются четыре или более грани, а грань — это многоугольник , на котором встречаются три или более ячеек. Ячейка — это многогранник , а 4-грань — 4-многогранник . Кроме того, должны быть соблюдены следующие требования:

1. Каждая ячейка должна соединять ровно две 4-грани.
2. Соседние 4-грани не находятся в одной и той же четырехмерной гиперплоскости .
3. Фигура не является соединением других фигур, соответствующих требованиям.

Характеристики

Топология любого данного 5-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . ^[1]

Значение характеристики Эйлера, используемой для характеристики многогранников, не распространяется на более высокие измерения, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти. ^[1]

Точно так же понятия ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидальных многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения. ^[1]

Классификация

5-многогранники можно классифицировать на основе таких свойств, как « выпуклость » и « симметрия ».

• 5-многогранник является выпуклым, если его граница (включая его ячейки, грани и ребра) не пересекает сама себя и отрезок, соединяющий любые две точки 5-многогранника, содержится в 5-многограннике или его внутренней части; в противном случае оно невыпуклое . Самопересекающиеся 5-многогранники также известны как звездчатые многогранники по аналогии со звездообразными формами невыпуклых многогранников Кеплера-Пуансо .
• Однородный 5-многогранник имеет группу симметрии , при которой все вершины эквивалентны, а его грани являются однородными 4-многогранниками . Грани однородного многогранника должны быть правильными .

• Полуправильный 5-многогранник содержит два или более типов правильных 4-многогранников. Существует только одна такая фигура, называемая демипентеракт .
• Правильный 5-многогранник имеет все одинаковые грани правильного 4-многогранника. Все правильные 5-многогранники выпуклы.

• Призматический 5-многогранник построен как декартово произведение двух многогранников меньшей размерности. Призматический 5-многогранник является однородным, если его факторы однородны. Гиперкуб призматический (произведение квадрата и куба ) , но рассматривается отдельно, поскольку имеет симметрии, отличные от тех, которые унаследованы от его факторов .
• Тесселяция четырехмерного пространства — это разделение четырехмерного евклидова пространства на регулярную сетку полихоральных граней . Строго говоря, тесселяции не являются многогранниками, поскольку они не ограничивают объем «5D», но мы включили их сюда для полноты картины, поскольку они во многом похожи на многогранники. Равномерная 4-пространственная мозаика — это мозаика, вершины которой связаны пространственной группой , а грани представляют собой однородные 4-многогранники.

Правильные 5-многогранники

Правильные 5-многогранники могут быть представлены символом Шлефли {p,q,r,s} с s {p,q,r} полихоральными гранями вокруг каждой грани .

Таких выпуклых правильных 5-многогранников ровно три :

1. {3,3,3,3} - 5-симплекс
2. {4,3,3,3} - 5-куб
3. {3,3,3,4} - 5-ортоплекс

Для трех выпуклых правильных 5-многогранников и трех полуправильных 5-многогранников их элементы:

Однородные 5-многогранники

Для трех полуправильных 5-многогранников их элементы:

Расширенный 5-симплекс — это вершинная фигура однородной 5-симплексной соты ,. 5 -кубовые соты ,, вершинная фигура представляет собой выпрямленный 5-ортоплекс , а грани — 5-ортоплекс и 5-демикуб .

Пирамиды

Пирамидальные 5-многогранники или 5-пирамиды могут быть порождены основанием 4-многогранника в 4-пространственной гиперплоскости, соединенной с точкой вне гиперплоскости. 5-симплекс — простейший пример с 4-симплексной базой.

Смотрите также

• Список правильных многогранников # Пятимерные правильные многогранники и выше

Рекомендации

1. Ричесон, Д.; Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топоплогии , Принстон, 2008.

• Т. Госсет : О правильных и полуправильных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Макмиллан, 1900 г.
• А. Буль Стотт : Геометрический вывод полуправильных многогранников из правильных многогранников и пространственного заполнения , Verhandelingen из Koninklijke academy van Wetenschappen, единица ширины Амстердам, Eerste Sectie 11,1, Амстердам, 1910 г.
• ХСМ Коксетер :
  • HSM Коксетер, М. С. Лонге-Хиггинс и Дж. К. П. Миллер: однородные многогранники , Философские труды Лондонского королевского общества, Лондон, 1954 г.
  • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Асии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN  978-0-471-01003-6 [1]
  • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10]
  • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Клитцинг, Ричард. «5D однородные многогранники (политеры)».

Внешние ссылки

• Многогранники различных размерностей, Джонатан Бауэрс
• Униформа Политера, Джонатан Бауэрс
• Многомерный глоссарий, Гаррет Джонс