Кубические соты с усеченными кусочками — это заполняющая пространство мозаика (или соты ) в евклидовом трехмерном пространстве , состоящая из усеченных октаэдров (или, что то же самое, кубов с усеченными битами ). Вокруг каждой вершины имеется 4 усеченных октаэдра. Будучи полностью состоящим из усеченных октаэдров , он является клеточно-транзитивным . Он также транзитивен по ребрам , с двумя шестиугольниками и одним квадратом на каждом ребре, и транзитивен по вершинам . Это одна из 28 единых сот .
Джон Хортон Конвей называет эту соту усеченным октаэдрилом в своем списке архитектонической и катоптрической мозаики , а ее двойник называется сплющенным тетраэдрилом , также называемым дисфеноидным тетраэдрическим сотом . Хотя правильный тетраэдр не может сам по себе мозаику, этот двойственный тетраэдр имеет идентичные ячейки дисфеноидного тетраэдра с гранями равнобедренного треугольника .
Ее можно реализовать как мозаику Вороного объемноцентрированной кубической решетки. Лорд Кельвин предположил, что вариант усеченных кубических сот (с изогнутыми гранями и краями, но с той же комбинаторной структурой) является оптимальной пеной для мыльных пузырей. Однако позже было обнаружено, что ряд менее симметричных структур представляют собой более эффективные пены из мыльных пузырей, среди которых структура Вейра-Фелана оказалась лучшей.
Соты представляют собой мозаику пермутоэдров для трехмерного пространства. Координаты вершин одного октаэдра представляют собой гиперплоскость целых чисел в 4-мерном пространстве, а именно перестановки (1,2,3,4). Тесселяция формируется транслируемыми копиями внутри гиперплоскости.
Тесселяция — это высшая мозаика параллелоэдров в трехмерном пространстве.
Кубические соты с усеченными кусочками можно ортогонально спроецировать на евклидову плоскость с различными вариантами симметрии. Форма высшей (шестиугольной) симметрии образует неоднородную ромботригексагональную мозаику . Проекция квадратной симметрии образует две перекрывающиеся усеченные квадратные мозаики , которые объединяются вместе в квадратную мозаику со скошенными краями .
Вершинной фигурой этой соты является дисфеноидный тетраэдр , а также тетраэдр Гурса ( фундаментальная область ) для группы Коксетера . Эти соты имеют четыре однородные конструкции, причем усеченные октаэдрические ячейки имеют разные группы Кокстера и конструкции Витхоффа . Эти однородные симметрии можно представить, раскрасив по-разному ячейки в каждой конструкции.
[4,3,4],
Группа Коксетера генерирует 15 перестановок однородных мозаик, 9 из которых имеют четкую геометрию, включая чередующиеся кубические соты . Расширенные кубические соты (также известные как сморщенные тессерактические соты) геометрически идентичны кубическим сотам.
[4,3 1,1 ],
Группа Коксетера генерирует 9 перестановок однородных мозаик, 4 из которых имеют четкую геометрию, включая чередующиеся кубические соты .
Эта сота — одна из пяти различных однородных сот [1] , построенных группой Коксетера . Симметрию можно умножить на симметрию колец в диаграммах Кокстера – Дынкина :
Эти соты можно чередовать , создавая из усеченных октаэдров пиритоэдрические икосаэдры с созданными в промежутках дисфеноидными тетраэдрическими ячейками. Есть три конструкции из трех связанных диаграмм Кокстера-Динкина :
,
, и
. Они имеют симметрию [4,3 + ,4], [4,(3 1,1 ) + ] и [3 [4] ] + соответственно. Первую и последнюю симметрию можно удвоить как [[4,3 + ,4]] и [[3 [4] ]] + .
Двойные соты состоят из ячеек, называемых десятигранниками .
Эти соты представлены атомами бора α-ромбоэдрического кристалла . Центры икосаэдров расположены в ГЦК-положениях решетки. [2]
Неоднородные варианты с симметрией [4,3,4] и двумя типами усеченных октаэдров можно удвоить, поместив два типа усеченных октаэдров для получения неоднородной соты с усеченными октаэдрами и шестиугольными призмами (как дитригональные трапеции). Ее вершинной фигурой является C 2v -симметричная треугольная бипирамида .
Затем эти соты можно чередовать, чтобы получить еще одну неоднородную соту с пиритоэдрическими икосаэдрами , октаэдрами (как треугольные антипризмы) и тетраэдрами (как клиноиды). Его вершинная фигура имеет симметрию C 2v и состоит из 2 пятиугольников , 4 прямоугольников , 4 равнобедренных треугольников (разделенных на два набора по 2) и 4 разносторонних треугольников .
