В геометрии чередование или частичное усечение — это операция над многоугольником , многогранником , мозаикой или многогранником более высокой размерности , которая удаляет альтернативные вершины. [1]
Коксетер обозначает чередование префиксом h , обозначающим полу или половину . Поскольку чередование уменьшает количество сторон всех многоугольников вдвое, его можно применять только к многогранникам со всеми четными гранями. Чередованная квадратная грань становится двуугольником и , будучи вырожденной, обычно сводится к одному ребру.
В более общем смысле можно чередовать любой вершинно-однородный многогранник или мозаику с конфигурацией вершин , состоящей из всех элементов с четными номерами . Например, чередование вершинной фигуры с 2a.2b.2c — это a.3.b.3.c.3 , где тройка — количество элементов в этой вершинной фигуре. Особый случай — квадратные грани, порядок которых делится пополам на вырожденные двуугольники . Так, например, куб 4.4.4 чередуется с 2.3.2.3.2.3 , который уменьшается до 3.3.3, являясь тетраэдром , и все 6 ребер тетраэдров также можно рассматривать как вырожденные грани исходного куба.
Курносый (в терминологии Коксетера ) можно рассматривать как чередование усеченного правильного или усеченного квазиправильного многогранника. В общем случае многогранник можно обойти, если его усечение имеет только четные грани. Все усеченные выпрямленные многогранники могут быть удалены не только из правильных многогранников.
Курносая квадратная антипризма является примером общей курносой и может быть представлена как ss{2,4} с квадратной антипризмой s{2,4}.
Эта операция чередования также применима к многогранникам и сотам более высокой размерности, но в целом большинство результатов этой операции не будут однородными. Пустоты, созданные удаленными вершинами, обычно не создают однородных граней, и обычно не хватает степеней свободы для соответствующего изменения масштаба новых ребер. Однако существуют исключения, такие как получение курносых 24-элементных элементов из усеченных 24-элементных .
Примеры:
→
→
Коксетер также использовал оператор a , который содержит обе половины, поэтому сохраняет исходную симметрию. Для четносторонних правильных многогранников a{2p,q} представляет собой составной многогранник с двумя противоположными копиями h{2p,q}. Для нечетных, больше 3, правильных многогранников a{p,q} становится звездчатым многогранником .
Норман Джонсон расширил использование измененного оператора a { p,q}, b {p,q} для смешанного и c {p,q} для преобразованного , как
,, исоответственно.
Составной многогранник, известный как звездчатый октаэдр , может быть представлен как {4,3} (измененный куб ), и
,
.
Звездчатый многогранник, известный как малый дитригональный икосододекаэдр , может быть представлен как {5,3} (измененный додекаэдр ) и
,
. Здесь все пятиугольники поочередно превратились в пентаграммы, а образовавшиеся свободные края были вставлены в треугольники.
Звездный многогранник, известный как большой дитригональный икосододекаэдр , может быть представлен как {5/2,3} (измененный большой звездчатый додекаэдр ) и
,
. Здесь все пентаграммы снова превратились в пятиугольники, а образовавшиеся свободные края были вставлены в треугольники.
Подобная операция может усекать альтернативные вершины, а не просто удалять их. Ниже представлен набор многогранников, которые можно сгенерировать из каталонских тел . Они имеют два типа вершин, которые можно поочередно обрезать. Усечение вершин «высшего порядка» и обоих типов вершин дает следующие формы: