В элементарной геометрии многогранник — это геометрический объект с плоскими сторонами ( гранями ). Многогранники — это обобщение трехмерных многогранников на любое количество измерений. Многогранники могут существовать в любом общем числе измерений n как n -мерный многогранник или n -многогранник . Например, двумерный многоугольник — это 2-многогранник, а трехмерный многогранник — 3-многогранник. В этом контексте «плоские стороны» означают, что стороны ( k + 1) -многогранника состоят из k -многогранников, которые могут иметь ( k – 1) -многогранники общие.
Некоторые теории далее обобщают идею, включая такие объекты, как неограниченные апейротопы и мозаики , разложения или мозаики искривленных многообразий , включая сферические многогранники , и теоретико-множественные абстрактные многогранники .
Многогранники более трех измерений были впервые обнаружены Людвигом Шлефли до 1853 года, который назвал такую фигуру полисхемой . [1] Немецкий термин «многогранник» был придуман математиком Рейнхольдом Хоппе и был представлен английским математикам как « многогранник» Алисией Буль Стотт .
В настоящее время термин « многогранник» представляет собой широкий термин, охватывающий широкий класс объектов, и в математической литературе появляются различные определения. Многие из этих определений не эквивалентны друг другу, в результате чего различные перекрывающиеся наборы объектов называются многогранниками . Они представляют собой разные подходы к обобщению выпуклых многогранников для включения других объектов со схожими свойствами.
Первоначальный подход, которому широко следовали Людвиг Шлефли , Торольд Госсет и другие, начинается с распространения по аналогии на четыре или более измерений идеи многоугольника и многогранника соответственно в двух и трех измерениях. [2]
Попытки обобщить эйлерову характеристику многогранников на многогранники более высокой размерности привели к развитию топологии и трактовке разложения или CW-комплекса как аналога многогранника. [3] В этом подходе многогранник можно рассматривать как мозаику или разложение некоторого заданного многообразия . Пример этого подхода определяет многогранник как набор точек, который допускает симплициальное разложение . В этом определении многогранник — это объединение конечного числа симплексов с дополнительным свойством, заключающимся в том, что для любых двух симплексов, имеющих непустое пересечение, их пересечение является вершиной, ребром или гранью более высокой размерности. [4] Однако это определение не допускает звездчатых многогранников с внутренней структурой и поэтому ограничивается определенными областями математики.
Открытие звездчатых многогранников и других необычных конструкций привело к представлению о многограннике как о ограничивающей поверхности, игнорируя его внутреннюю часть. [5] В этом легком выпуклом многограннике в p -пространстве эквивалентны мозаики ( p -1)-сферы , в то время как другие могут быть мозаиками других эллиптических , плоских или тороидальных ( p -1)-поверхностей – см . эллиптические мозаики и тороидальный многогранник . Под многогранником понимается поверхность, грани которой являются многоугольниками , под 4-многогранником — гиперповерхность, гранями ( ячейками ) которой являются многогранники, и так далее.
Идея построения многогранника более высокого уровня из многогранников более низкого измерения также иногда распространяется вниз по размерности, при этом ( ребро ) рассматривается как 1-многогранник, ограниченный парой точек, а точка или вершина - как 0-многогранник. Этот подход используется, например, в теории абстрактных многогранников .
В некоторых областях математики термины «многогранник» и «многогранник» используются в другом смысле: многогранник — это общий объект в любом измерении ( в этой статье он называется многогранником ), а многогранник означает ограниченный многогранник. [6] Эта терминология обычно применяется к выпуклым многогранникам и многогранникам . Используя эту терминологию, выпуклый многогранник представляет собой пересечение конечного числа полупространств и определяется его сторонами, а выпуклый многогранник представляет собой выпуклую оболочку конечного числа точек и определяется своими вершинами.
Многогранники с меньшим числом размерностей имеют стандартные имена:
Многогранник состоит из элементов разной размерности, таких как вершины, ребра, грани, ячейки и т. д. Терминология для них не полностью единообразна у разных авторов. Например, некоторые авторы используют лицо для обозначения ( n - 1)-мерного элемента, в то время как другие используют лицо для обозначения конкретно 2-мерного элемента. Авторы могут использовать j -face или j -facet для обозначения элемента размером j . Некоторые используют край для обозначения гребня, в то время как HSM Coxeter использует ячейку для обозначения ( n - 1)-мерного элемента. [8] [ нужна ссылка ]
Термины, принятые в этой статье, приведены в таблице ниже:
n -мерный многогранник ограничен множеством ( n −1)-мерных граней . Эти фасеты сами являются многогранниками, чьи фасеты представляют собой ( n - 2)-мерные гребни исходного многогранника. Каждый гребень возникает как пересечение двух граней (но пересечение двух граней не обязательно должно быть гребнем). Гребни снова представляют собой многогранники, грани которых образуют ( n - 3)-мерные границы исходного многогранника и так далее. Эти ограничивающие подмногогранники можно называть гранями или, в частности, j -мерными гранями или j -гранями. 0-мерная грань называется вершиной и состоит из одной точки. Одномерная грань называется ребром и состоит из отрезка. Двумерная грань состоит из многоугольника , а трёхмерная грань, иногда называемая клеткой , состоит из многогранника .
Многогранник может быть выпуклым . Выпуклые многогранники являются простейшим видом многогранников и составляют основу для нескольких различных обобщений понятия многогранников. Выпуклый многогранник иногда определяют как пересечение набора полупространств . Это определение позволяет многограннику не быть ни ограниченным, ни конечным. Многогранники определяются таким образом, например, в линейном программировании . Многогранник называется ограниченным, если существует шар конечного радиуса, содержащий его. Многогранник называется заостренным, если он содержит хотя бы одну вершину. Каждый ограниченный непустой многогранник является заостренным. Примером неточечного многогранника является множество . Многогранник конечен , если он определен через конечное число объектов, например, как пересечение конечного числа полуплоскостей. Многогранник является целочисленным , если все его вершины имеют целочисленные координаты.
Определенный класс выпуклых многогранников представляют собой рефлексивные многогранники. Целочисленный -многогранник рефлексивен, если для некоторой целой матрицы , , где обозначает вектор всех единиц и неравенство является покомпонентным. Из этого определения следует, что рефлексивно тогда и только тогда, когда для всех . Другими словами, -расширение отличается в терминах целых точек решетки от -расширения только точками решетки , полученными на границе. Эквивалентно, рефлексивен тогда и только тогда, когда его двойственный многогранник является целочисленным многогранником. [9]
Правильные многогранники имеют высшую степень симметрии среди всех многогранников. Группа симметрии правильного многогранника действует транзитивно на его флагах ; следовательно, двойственный многогранник к правильному многограннику также является правильным.
Существует три основных класса правильных многогранников, которые встречаются в любом количестве измерений:
В измерения два, три и четыре входят правильные фигуры, имеющие пятикратную симметрию, некоторые из которых являются невыпуклыми звездами, а в двух измерениях существует бесконечно много правильных многоугольников n -кратной симметрии, как выпуклых, так и (при n ≥ 5) звездчатых. Но в более высоких измерениях других правильных многогранников нет. [2]
В трех измерениях выпуклые платоновые тела включают пятикратно-симметричный додекаэдр и икосаэдр , а также существуют четыре звездчатых многогранника Кеплера-Пуансо с пятикратной симметрией, в результате чего общее количество правильных многогранников достигает девяти.
В четырех измерениях правильные 4-многогранники включают одно дополнительное выпуклое тело с четырехкратной симметрией и два с пятикратной симметрией. Существует десять звездных 4-многогранников Шлефли-Гесса , все с пятикратной симметрией, что дает всего шестнадцать правильных 4-многогранников.
Невыпуклый многогранник может быть самопересекающимся; к этому классу многогранников относятся звездчатые многогранники . Некоторые правильные многогранники являются звездами. [2]
Поскольку (заполненный) выпуклый многогранник P в размерностях стягивается в точку, эйлерова характеристика его границы ∂P задается знакопеременной суммой:
Это обобщает формулу Эйлера для многогранников . [10]
Теорема Грама – Эйлера аналогичным образом обобщает знакопеременную сумму внутренних углов выпуклых многогранников на многогранники более высокой размерности: [10]
Не все многообразия конечны. Если под многогранником понимается замощение или разложение многообразия, эта идея может быть распространена на бесконечные многообразия. Плоские мозаики , заполняющие пространство ( соты ) и гиперболические мозаики в этом смысле являются многогранниками и иногда называются апейротопами , потому что они имеют бесконечно много ячеек.
Среди них есть правильные формы, включая правильные косые многогранники и бесконечные серии мозаик, представленные правильным апейрогоном , квадратной мозаикой, кубическими сотами и так далее.
Теория абстрактных многогранников пытается отделить многогранники от содержащего их пространства, учитывая их чисто комбинаторные свойства. Это позволяет расширить определение термина, включив в него объекты, для которых трудно определить интуитивное базовое пространство, например, 11-клеточное пространство .
Абстрактный многогранник — это частично упорядоченный набор элементов или членов, подчиняющийся определенным правилам. Это чисто алгебраическая структура, и теория была разработана для того, чтобы избежать некоторых проблем, которые затрудняют согласование различных геометрических классов в рамках последовательной математической структуры. Говорят, что геометрическим многогранником является реализация в некотором реальном пространстве соответствующего абстрактного многогранника. [11]
Структуры, аналогичные многогранникам, существуют в комплексных гильбертовых пространствах , где n действительных измерений сопровождаются n мнимыми . Правильные комплексные многогранники правильнее рассматривать как конфигурации . [12]
Каждый n -многогранник имеет двойственную структуру, полученную путем замены его вершин на грани, ребер на гребни и т. д., как правило, путем замены его ( j − 1)-мерных элементов на ( n − j )-мерные элементы (от j = 1 до n - 1), сохраняя при этом связность или инцидентность между элементами.
Для абстрактного многогранника это просто меняет порядок множества. Это изменение видно в символах Шлефли для правильных многогранников, где символ двойственного многогранника просто является обратным оригиналу. Например, {4, 3, 3} двойственно {3, 3, 4}.
В случае геометрического многогранника необходимо некоторое геометрическое правило дуализации, см., например, правила, описанные для двойственных многогранников . В зависимости от обстоятельств двойственная фигура может быть или не быть другим геометрическим многогранником. [13]
Если двойственный многогранник переворачивается, то восстанавливается исходный многогранник. Таким образом, многогранники существуют в дуальных парах.
Если многогранник имеет такое же количество вершин, как граней, ребер, как гребней и т. д., и одинаковые связности, то двойственная фигура будет подобна исходной, а многогранник самодуален.
Некоторые распространенные самодвойственные многогранники включают:
Многоугольники и многогранники известны с древних времен.
Ранний намек на более высокие измерения появился в 1827 году, когда Август Фердинанд Мёбиус обнаружил, что два зеркальных твердых тела можно наложить друг на друга, вращая одно из них через четвертое математическое измерение. К 1850-м годам несколько других математиков, таких как Артур Кэли и Герман Грассманн, также рассматривали высшие измерения.
Людвиг Шлефли был первым, кто рассмотрел аналоги многоугольников и многогранников в этих высших пространствах. Он описал шесть выпуклых правильных 4-многогранников в 1852 году, но его работа не была опубликована до 1901 года, через шесть лет после его смерти. К 1854 году в книге Бернхарда Римана Habilitationsschrift была твердо установлена геометрия высших измерений, и, таким образом, концепция n -мерных многогранников стала приемлемой. Многогранники Шлефли много раз открывались заново в последующие десятилетия, даже при его жизни.
В 1882 году Рейнхольд Хоппе , писавший по-немецки, придумал слово « многогранник» для обозначения более общей концепции многоугольников и многогранников. Со временем Алисия Буль Стотт , дочь логика Джорджа Буля , ввела англизированный многогранник в английский язык. [2] :ви
В 1895 году Торольд Госсет не только заново открыл правильные многогранники Шлефли, но также исследовал идеи полуправильных многогранников и мозаик , заполняющих пространство в более высоких измерениях. Многогранники также начали изучаться в неевклидовых пространствах, таких как гиперболическое пространство.
Важная веха была достигнута в 1948 году с выходом книги Х. С. М. Коксетера «Регулярные многогранники» , в которой были подведены итоги работы на сегодняшний день и добавлены новые собственные открытия.
Тем временем французский математик Анри Пуанкаре разработал топологическую идею многогранника как кусочного разложения (например, CW -комплекса ) многообразия . Бранко Грюнбаум опубликовал свою влиятельную работу « Выпуклые многогранники» в 1967 году.
В 1952 году Джеффри Колин Шепард обобщил эту идею как сложные многогранники в комплексном пространстве, где каждому реальному измерению соответствует мнимое. Коксетер развил теорию дальше.
Концептуальные проблемы, возникающие в связи со сложными многогранниками, невыпуклостью, двойственностью и другими явлениями, привели Грюнбаума и других к более общему изучению абстрактных комбинаторных свойств, связывающих вершины, ребра, грани и так далее. Сходной идеей была идея комплексов инцидентности, которые изучали встречаемость или связь различных элементов друг с другом. Эти разработки в конечном итоге привели к теории абстрактных многогранников как частично упорядоченных наборов или частично упорядоченных множеств таких элементов. Питер Макмаллен и Эгон Шульте опубликовали свою книгу «Абстрактные правильные многогранники» в 2002 году.
Перечисление однородных многогранников , выпуклых и невыпуклых, в четырех и более измерениях остается нерешенной проблемой. Выпуклые однородные 4-многогранники были полностью перечислены Джоном Конвеем и Майклом Гаем с помощью компьютера в 1965 году; [14] [15] в более высоких размерностях эта проблема все еще была открыта по состоянию на 1997 год. [16] Полное перечисление невыпуклых однородных многогранников не известно в размерностях четыре и выше по состоянию на 2008 год. [17]
В наше время многогранники и связанные с ними концепции нашли множество важных применений в таких разнообразных областях, как компьютерная графика , оптимизация , поисковые системы , космология , квантовая механика и многих других областях. В 2013 году амплитуэдр был открыт как упрощающая конструкция в некоторых расчетах теоретической физики.
В области оптимизации линейное программирование изучает максимумы и минимумы линейных функций ; эти максимумы и минимумы встречаются на границе n -мерного многогранника . В линейном программировании многогранники возникают при использовании обобщенных барицентрических координат и слабых переменных .
В твисторной теории , разделе теоретической физики , многогранник, называемый амплитуэдром , используется для расчета амплитуд рассеяния субатомных частиц при их столкновениях. Конструкция является чисто теоретической и не имеет известного физического проявления, но, как говорят, значительно упрощает некоторые расчеты. [18]
