В геометрии каждому многограннику сопоставлена вторая двойственная структура, где вершины одного соответствуют граням другого , а ребра между парами вершин одного соответствуют ребрам между парами граней другого. [1] Такие двойственные фигуры остаются комбинаторными или абстрактными многогранниками , но не все они также могут быть построены как геометрические многогранники. [2] Начиная с любого данного многогранника, двойственным к нему является исходный многогранник.
Двойственность сохраняет симметрию многогранника. Следовательно, для многих классов многогранников, определяемых их симметриями, двойственные элементы принадлежат соответствующему классу симметрии. Например, правильные многогранники – (выпуклые) Платоновы тела и (звездные) многогранники Кеплера – Пуансо – образуют двойственные пары, где правильный тетраэдр самодвойственен. Двойственный изогональному многограннику (тот, в котором любые две вершины эквивалентны относительно симметрии многогранника) является изоэдральным многогранником (тот, в котором любые две грани эквивалентны [...]), и наоборот. Двойственный изотоксальному многограннику (тот, в котором любые два ребра эквивалентны [...]) также является изотоксальным.
Дуальность тесно связана с полярной взаимностью — геометрическим преобразованием, которое при применении к выпуклому многограннику реализует двойственный многогранник как еще один выпуклый многогранник.
Существует много видов двойственности. Виды, наиболее относящиеся к элементарным многогранникам, - это полярная взаимность и топологическая или абстрактная двойственность.
В евклидовом пространстве двойственный многограннику часто определяют как полярное возвратно-поступательное движение вокруг сферы. Здесь каждой вершине (полюсу) сопоставлена плоскость грани (полярной плоскости или просто полярной) так, что луч из центра в вершину перпендикулярен плоскости, а произведение расстояний от центра до каждой равно квадрат радиуса. [3]
Когда сфера имеет радиус и центрирована в начале координат (так что она определяется уравнением ), то полярный двойник выпуклого многогранника определяется как
где обозначает стандартное скалярное произведение и .
Обычно, когда при построении дуала сфера не указана, то используется единичная сфера, имеющая в виду приведенные выше определения. [4]
Для каждой грани описываемой линейным уравнением
Для многогранника с центром симметрии принято использовать сферу с центром в этой точке, как в конструкции Дормана Люка (упомянутой ниже). В противном случае это можно использовать для многогранника с описанной сферой, вписанной сферой или средней сферой (у которой все ребра являются касательными). Однако многогранник может совершать возвратно-поступательные движения вокруг любой сферы, и результирующая форма двойника будет зависеть от размера и положения сферы; Как разнообразна сфера, так же разнообразна и двойственная форма. Выбора центра сферы достаточно, чтобы определить двойственное с точностью до подобия.
Если у многогранника в евклидовом пространстве грань, линия ребра или вершина лежат в центре сферы, соответствующий элемент его двойника будет стремиться к бесконечности. Поскольку евклидово пространство никогда не достигает бесконечности, проективный эквивалент, называемый расширенным евклидовым пространством, может быть сформирован путем добавления необходимой «плоскости в бесконечности». Некоторые теоретики предпочитают придерживаться евклидова пространства и говорят, что двойственного пространства не существует. Тем временем Веннингер (1983) нашел способ представить эти бесконечные двойственные числа способом, подходящим для создания моделей (некоторой конечной части).
Понятие двойственности здесь тесно связано с двойственностью в проективной геометрии , где линии и ребра меняются местами. Проективная полярность достаточно хорошо работает для выпуклых многогранников. Но для невыпуклых фигур, таких как звездчатые многогранники, когда мы пытаемся строго определить эту форму многогранной двойственности в терминах проективной полярности, возникают различные проблемы. [5] Из-за проблем с определениями геометрической двойственности невыпуклых многогранников, Грюнбаум (2007) утверждает, что любое правильное определение невыпуклого многогранника должно включать понятие двойственного многогранника.
Любой выпуклый многогранник может быть искажен до канонической формы , в которой существует единичная средняя сфера (или интерсфера), касающаяся каждого ребра, и такая, что среднее положение точек касания является центром сферы. Эта форма единственна с точностью до сравнений.
Если мы совершим возвратно-поступательное движение такого канонического многогранника вокруг его средней сферы, двойственный многогранник будет иметь одни и те же точки касания ребер и, следовательно, также будет каноническим. Это каноническое двойственное соединение, и вместе они образуют каноническое двойственное соединение. [6]
Для однородного многогранника каждая грань двойственного многогранника может быть получена из соответствующей фигуры вершины исходного многогранника с помощью конструкции Дормана-Люка . [7]
Даже если пара многогранников не может быть получена взаимно-поступательным движением друг друга, их можно называть двойственными друг другу, если вершины одного соответствуют граням другого, а ребра одного соответствуют ребрам другого. , сохраняя заболеваемость. Такие пары многогранников топологически или абстрактно двойственны.
Вершины и ребра выпуклого многогранника образуют граф ( 1-остов многогранника), вложенный в поверхность многогранника (топологическую сферу). Этот граф можно спроектировать в виде диаграммы Шлегеля на плоской плоскости. Граф, образованный вершинами и ребрами двойственного многогранника, является двойственным графом исходному графу.
В более общем смысле, для любого многогранника, грани которого образуют замкнутую поверхность, вершины и ребра многогранника образуют граф, встроенный в эту поверхность, а вершины и ребра (абстрактного) двойственного многогранника образуют двойственный граф исходного графа.
Абстрактный многогранник — это определенный вид частично упорядоченного набора (ЧУМ) элементов, в котором инцидентности или связи между элементами набора соответствуют инцидентностям между элементами (гранями, ребрами, вершинами) многогранника. У каждого такого ЧУМ есть двойственный ЧУМ, образованный изменением всех отношений порядка. Если ЧУ-множество визуализируется как диаграмма Хассе , то двойственное ЧУ-множество можно визуализировать, просто перевернув диаграмму Хассе.
Таким образом, каждый геометрический многогранник соответствует абстрактному многограннику и имеет абстрактный двойственный многогранник. Однако для некоторых типов невыпуклых геометрических многогранников двойственные многогранники могут быть нереализуемы геометрически.
Топологически самодвойственный многогранник — это такой многогранник, двойственный которому имеет точно такую же связность между вершинами, ребрами и гранями. Абстрактно они имеют одну и ту же диаграмму Хассе .
Геометрически самодвойственный многогранник не только топологически самодвойственный, но и его полярная обратная точка относительно определенной точки, обычно его центроида, представляет собой аналогичную фигуру. Например, двойником правильного тетраэдра является другой правильный тетраэдр, отраженный через начало координат .
Каждый многоугольник (то есть двумерный многогранник) топологически самодуален, поскольку у него такое же количество вершин, как и у ребер, и они переключаются по принципу двойственности. Но оно не обязательно самодвойственно (с точностью до твердого движения, например). Каждый многоугольник имеет правильную форму , которая геометрически самодвойственна относительно своей интерсферы: все углы конгруэнтны, как и все ребра, поэтому при двойственности эти сравнения меняются местами.
Аналогично, каждый топологически самодвойственный выпуклый многогранник может быть реализован эквивалентным геометрически самодвойственным многогранником, его каноническим многогранником , обратным относительно центра средней сферы .
Существует бесконечно много геометрически самодвойственных многогранников. Простейшим бесконечным семейством являются канонические пирамиды с n сторонами. Другое бесконечное семейство — вытянутые пирамиды — состоит из многогранников, которые грубо можно описать как пирамиду, сидящую на вершине призмы ( с одинаковым числом сторон). Добавление усеченной пирамиды (пирамиды со срезанной вершиной) под призмой создает еще одно бесконечное семейство и так далее.
Существует множество других выпуклых самодвойственных многогранников. Например, есть 6 разных по 7 вершин и 16 по 8 вершин. [8]
Самодуальный невыпуклый икосаэдр с шестиугольными гранями был идентифицирован Брюкнером в 1900 году . .
Дуальность может быть обобщена на n -мерное пространство и двойственные многогранники ; в двух измерениях они называются двойными многоугольниками .
Вершины одного многогранника соответствуют ( n − 1)-мерным элементам или граням другого, а j точек, определяющих ( j − 1)-мерный элемент, будут соответствовать j гиперплоскостям, которые пересекаются, образуя ( n − j )-мерный элемент. Двойник n -мерной мозаики или сот может быть определен аналогичным образом.
В общем, грани двойственного многогранника будут топологическими двойниками фигур вершин многогранника. Для полярных обратных величин правильных и однородных многогранников двойственные фасеты будут полярными обратными вершинной фигуре оригинала. Например, в четырех измерениях вершиной 600-ячеечной фигуры является икосаэдр ; двойником 600-ячеечного является 120-ячеечный , чьи грани представляют собой додекаэдры , двойственные икосаэдру.
Основной класс самодвойственных многогранников — это правильные многогранники с палиндромными символами Шлефли . Все правильные многоугольники, {a} самодвойственны, многогранники вида {a,a}, 4-многогранники вида {a,b,a}, 5-многогранники вида {a,b,b,a }, и т. д.
Самодвойственные правильные многогранники:
Самодуальными (бесконечными) правильными евклидовыми сотами являются:
Самодуальными (бесконечными) правильными гиперболическими сотами являются: