В математике абстрактный многогранник — это алгебраический частично упорядоченный набор , который отражает диадические свойства традиционного многогранника без указания чисто геометрических свойств, таких как точки и линии.
Говорят, что геометрическим многогранником является реализация абстрактного многогранника в некотором реальном N-мерном пространстве , обычно евклидовом . Это абстрактное определение допускает более общие комбинаторные структуры, чем традиционные определения многогранника, тем самым позволяя создавать новые объекты, не имеющие аналогов в традиционной теории.
В евклидовой геометрии две несходные фигуры, тем не менее, могут иметь общую структуру. Например, квадрат и трапеция содержат чередующуюся цепочку из четырех вершин и четырех сторон, что делает их четырехугольниками . Говорят, что они изоморфны или «сохраняют структуру».
Эта общая структура может быть представлена в виде базового абстрактного многогранника, чисто алгебраического частично упорядоченного набора, который отражает структуру связей (или инцидентностей) между различными структурными элементами. Измеримые свойства традиционных многогранников, такие как углы, длины ребер, асимметрия, прямолинейность и выпуклость, не имеют значения для абстрактного многогранника.
То, что верно для традиционных многогранников (также называемых классическими или геометрическими многогранниками), может быть неверным для абстрактных, и наоборот. Например, традиционный многогранник является правильным, если все его грани и фигуры вершин правильные, но это не обязательно так для абстрактного многогранника. [1]
Говорят, что традиционный многогранник является реализацией соответствующего абстрактного многогранника. Реализация — это отображение или внедрение абстрактного объекта в реальное пространство, обычно евклидово , для построения традиционного многогранника как реальной геометрической фигуры.
Все шесть показанных четырехугольников являются различными реализациями абстрактного четырехугольника, каждый из которых имеет разные геометрические свойства. Некоторые из них не соответствуют традиционным определениям четырехугольника и считаются неверными реализациями. Обычный многогранник является точной реализацией.
В абстрактном многограннике каждый структурный элемент (вершина, ребро, ячейка и т. д.) связан с соответствующим членом множества. Термин « грань» используется для обозначения любого такого элемента, например, вершины (0-грани), ребра (1-грани) или общей k -грани, а не только многоугольной 2-грани.
Грани ранжируются в соответствии с их действительным измерением: вершины имеют ранг 0, ребра — 1 и так далее.
Инцидентные грани разных рангов, например вершина F ребра G, упорядочиваются отношением F < G. F называется подгранью G.
F, G называются инцидентными, если либо F = G, либо F <G, либо G <F. Такое использование «инцидентности» также встречается в конечной геометрии , хотя оно отличается от традиционной геометрии и некоторых других областей математики. Например, в квадрате ABCD ребра AB и BC абстрактно не инцидентны (хотя оба они инцидентны вершине B). [ нужна цитата ]
Тогда многогранник определяется как набор граней P с отношением порядка < . Формально P (с < ) будет (строгим) частично упорядоченным набором или частично упорядоченным набором .
Точно так же, как число ноль необходимо в математике, так и каждое множество имеет пустое множество ∅ в качестве подмножества. В абстрактном многограннике ∅ по соглашению определяется как наименьшая или нулевая грань и является подгранью всех остальных. [ почему? ] Поскольку наименьшая грань находится на один уровень ниже вершин или 0-граней, ее ранг равен −1, и ее можно обозначить как F −1 . Таким образом, F −1 ≡ ∅ и абстрактный многогранник также содержит пустое множество в качестве элемента. [2] Обычно это не осознается.
Существует также единственное лицо, все остальные которого являются подлицами. Это называется величайшим лицом. В n -мерном многограннике наибольшая грань имеет ранг = n и может быть обозначена как F n . Иногда его понимают как внутреннюю часть геометрической фигуры.
Эти наименьшие и величайшие лица иногда называют неправильными лицами, а все остальные — настоящими лицами. [3]
Грани абстрактного четырехугольника или квадрата показаны в таблице ниже:
Отношение < состоит из набора пар, к которым здесь относятся
Отношения порядка транзитивны , т.е. F <G и G <H подразумевают, что F <H. Следовательно, чтобы указать иерархию граней, нет необходимости приводить все случаи F <H, а только пары, в которых одна из них является наследником граней . другой, т. е. где F < H и ни один G не удовлетворяет F < G < H.
Ребра W, X, Y и Z иногда обозначаются как ab , ad , bc и cd соответственно, но такое обозначение не всегда подходит.
Все четыре ребра структурно схожи, то же самое относится и к вершинам. Таким образом, фигура имеет симметрию квадрата и обычно называется квадратом.
Меньшие частично упорядоченные множества, и в частности многогранники, часто лучше всего визуализировать на диаграмме Хассе , как показано. По соглашению лица одинакового ранга располагаются на одном вертикальном уровне. Каждая «линия» между гранями, скажем F, G, указывает на отношение порядка < такое, что F < G, где F находится ниже G на диаграмме.
Диаграмма Хассе определяет уникальное ЧУУ и, следовательно, полностью отражает структуру многогранника. Изоморфные многогранники порождают изоморфные диаграммы Хассе, и наоборот. То же самое обычно не относится к графическому представлению многогранников.
Ранг грани F определяется как ( m − 2), где m — максимальное количество граней в любой цепочке (F', F", ... , F), удовлетворяющих F' < F" < ... < F. F' всегда является наименьшей гранью, F −1 .
Ранг абстрактного многогранника P — это максимальный ранг n любой грани. Это всегда ранг наибольшей грани Fn .
Ранг грани или многогранника обычно соответствует размерности его аналога в традиционной теории.
Типы лиц некоторых рангов указаны в следующей таблице.
† Традиционно «лицо» означало лицо 2-го ранга или 2-лицо. В абстрактной теории термин «лицо» обозначает лицо любого ранга.
В геометрии флаг — это максимальная цепочка граней, т.е. (полностью) упорядоченный набор граней Ψ, каждая из которых является подгранью следующей (если таковая имеется), и такая, что Ψ не является подмножеством какой-либо большей цепи. Для любых двух различных граней F, G во флаге либо F < G, либо F > G.
Например, { ø , a , ab , abc } — это флаг в треугольнике abc .
Для данного многогранника все флаги содержат одинаковое количество граней. Другие ЧУМ, как правило, не удовлетворяют этому требованию.
Любое подмножество P' частичного множества P является частично упорядоченным множеством (с тем же отношением <, ограниченным P').
В абстрактном многограннике для любых двух граней F , H из P , F ⩽ H , множество { G | F ⩽ G ⩽ H } называется секцией P и обозначается H / F . (В теории порядка сечение называется замкнутым интервалом чу-множества и обозначается [ F , H ].
Например, в призме abcxyz (см. схему) сечением xyz / ø (выделено зеленым) является треугольник
k -сечение — это сечение ранга k .
Таким образом, P является частью самого себя.
Это понятие сечения не имеет того же значения, что и в традиционной геометрии.
Фасетой для данной j -грани F является ( j − 1 )-сечение F /∅, где F j — наибольшая грань.
Например, в треугольнике abc грань ab равна ab / ∅ = { ∅, a, b, ab }, что является отрезком прямой.
Разница между F и F /∅ обычно незначительна, и их часто считают идентичными.
Фигура вершины в данной вершине V — это ( n −1)-сечение Fn / V , где Fn — наибольшая грань.
Например, в треугольнике abc фигура вершины в точке b — это abc / b = { b, ab, bc, abc }, которая является отрезком прямой. Вершинами куба являются треугольники.
Частное множество P связно, если P имеет ранг ≤ 1 или для любых двух собственных граней F и G существует последовательность собственных граней
такой, что F = H 1 , G = H k и каждый H i , i < k, инцидентен своему последующему элементу.
Вышеупомянутое условие гарантирует, что пара непересекающихся треугольников abc и xyz не является (одним) многогранником.
ЧУ-множество P сильно связно , если каждая его часть (включая сам P) связна.
Благодаря этому дополнительному требованию также исключаются две пирамиды, имеющие только одну общую вершину. Однако две квадратные пирамиды, например, можно «склеить» квадратными гранями, получив октаэдр. «Общая грань» не является тогда гранью октаэдра.
Абстрактный многогранник — это частично упорядоченное множество , элементы которого мы называем гранями , удовлетворяющее 4 аксиомам :
n -многогранник — это многогранник ранга n . Абстрактный многогранник, связанный с действительным выпуклым многогранником , также называется его решеткой граней . [4]
Для каждого ранга −1 и 0 существует только одно ЧУМ. Это соответственно нулевая грань и точка. Они не всегда считаются допустимыми абстрактными многогранниками.
Существует только один многогранник ранга 1 — отрезок прямой. У него есть наименьшая грань, всего две 0-грани и наибольшая грань, например {ø, a, b, ab }. Отсюда следует, что вершины a и b имеют ранг 0, а наибольшая грань ab и, следовательно, частично упорядоченное множество имеют ранг 1.
Для каждого p , 3 ≤ p < , мы имеем (абстрактный эквивалент) традиционный многоугольник с p вершинами и p ребрами или p -угольник. Для p = 3, 4, 5,... мы имеем треугольник, квадрат, пятиугольник, ....
При p = 2 имеем дигон , а при p = получаем апейрогон .
Дигон — это многоугольник , у которого всего два ребра. В отличие от любого другого многоугольника, оба ребра имеют одинаковые две вершины. По этой причине оно вырождено в евклидовой плоскости .
Грани иногда описываются с использованием «нотации вершин» — например, { ø , a , b , c , ab , ac , bc , abc } для треугольника abc . Преимущество этого метода заключается в том, что он подразумевает отношение < .
С дигоном такое обозначение вершин использовать нельзя . Необходимо присвоить граням отдельные символы и указать пары подграней F < G.
Таким образом, двуугольник определяется как набор { ø , a , b , E', E", G} с отношением < , заданным формулой
где Е' и Е" — два ребра, а G — наибольшая грань.
Необходимость идентифицировать каждый элемент многогранника уникальным символом применима ко многим другим абстрактным многогранникам и поэтому является обычной практикой.
Многогранник может быть полностью описан с использованием нотации вершин только в том случае, если каждая грань инцидентна уникальному набору вершин . Многогранник, обладающий этим свойством, называется атомистическим .
Набор j -граней (−1 ≤ j ≤ n ) традиционного n -многогранника образует абстрактный n -многогранник.
Понятие абстрактного многогранника более общее и включает в себя также:
Двуугольник обобщается осоэдром и гозотопами более высоких размерностей, которые все могут быть реализованы как сферические многогранники - они замощают сферу.
Четыре примера нетрадиционных абстрактных многогранников — это полукуб (показан), полуоктаэдр , полудодекаэдр и полуикосаэдр . Это проективные аналоги Платоновых тел , которые могут быть реализованы как (глобально) проективные многогранники – они мозаично формируют реальную проективную плоскость .
Полукуб — еще один пример того, где нотацию вершин нельзя использовать для определения многогранника — все 2-грани и 3-грани имеют одинаковый набор вершин.
Каждый геометрический многогранник имеет двойного двойника. Абстрактно, двойственный многогранник — это тот же многогранник, но с обратным рангом: диаграмма Хассе отличается только аннотациями. В n -многограннике каждая из исходных k -граней отображается в ( n − k − 1)-грань в двойственном. Так, например, n -грань отображается в (−1)-грань. Двойственное к двойственному ( изоморфно ) оригиналу.
Многогранник является самодвойственным, если он тождественен своему двойственному, то есть изоморфен ему. Следовательно, диаграмма Хассе самодвойственного многогранника должна быть симметрична относительно горизонтальной оси на полпути между верхом и низом. Квадратная пирамида в приведенном выше примере самодвойственна.
Фигура вершины в вершине V является двойственной грани, в которую V отображается в двойственном многограннике.
Формально абстрактный многогранник считается «регулярным», если его группа автоморфизмов действует транзитивно на множестве его флагов. В частности, любые две k -грани F , G n -многогранника «одинаковы», т. е. существует автоморфизм, который отображает F в G . Когда абстрактный многогранник регулярен, его группа автоморфизмов изоморфна фактору группы Кокстера .
Все многогранники ранга ≤ 2 являются правильными. Самыми известными правильными многогранниками являются пять Платоновых тел. Полукуб (показан) также имеет правильную форму.
Неформально для каждого ранга k это означает, что невозможно отличить одну k -грань от любой другой — грани должны быть идентичными, иметь одинаковых соседей и т. д. Например, куб является правильным, потому что все грани являются квадратами, вершины каждого квадрата прикреплены к трем квадратам, и каждый из этих квадратов прикреплен к одинаковому расположению других граней, ребер и вершин и так далее.
Одного этого условия достаточно, чтобы гарантировать, что любой правильный абстрактный многогранник имеет изоморфные регулярные ( n −1)-грани и изоморфные правильные вершинные фигуры.
Это более слабое условие, чем регулярность для традиционных многогранников, поскольку оно относится к (комбинаторной) группе автоморфизмов, а не к (геометрической) группе симметрии. Например, любой абстрактный многоугольник является правильным, поскольку для абстрактных многогранников не существуют углы, длины ребер, кривизна ребер, асимметрия и т. д.
Есть несколько других более слабых концепций, некоторые из которых еще не полностью стандартизированы, такие как полуправильный , квазиправильный , равномерный , киральный и архимедов , которые применяются к многогранникам, у которых некоторые, но не все грани эквивалентны в каждом ранге.
Множество точек V в евклидовом пространстве, снабженных сюръекцией из множества вершин абстрактного многогранника P , такая, что автоморфизмы P индуцируют изометрические перестановки V , называется реализацией абстрактного многогранника. [5] [6] Две реализации называются конгруэнтными, если естественная биекция между их наборами вершин индуцируется изометрией их объемлющих евклидовых пространств. [7] [8]
Если абстрактный n -многогранник реализуется в n -мерном пространстве так, что его геометрическое расположение не нарушает никаких правил для традиционных многогранников (например, изогнутые грани или гребни нулевого размера), то реализация называется точной . В общем, только ограниченный набор абстрактных многогранников ранга n может быть точно реализован в любом заданном n -пространстве. Характеристика этого эффекта представляет собой нерешенную проблему.
Для регулярного абстрактного многогранника, если комбинаторные автоморфизмы абстрактного многогранника реализуются посредством геометрических симметрий, то геометрическая фигура будет правильным многогранником.
Группа G симметрий реализации V абстрактного многогранника P порождается двумя отражениями, произведение которых переводит каждую вершину P в следующую. [9] [10] Продукт двух отражений можно разложить как продукт ненулевого перемещения, конечного числа вращений и, возможно, тривиального отражения. [11] [10]
В общем случае пространство модулей реализаций абстрактного многогранника представляет собой выпуклый конус бесконечной размерности. [12] [13] Конус реализации абстрактного многогранника имеет несчетную бесконечную алгебраическую размерность и не может быть замкнутым в евклидовой топологии . [11] [14]
Важным вопросом теории абстрактных многогранников является проблема объединения . Это серия вопросов, таких как
Например, если K — квадрат, а L — треугольник, ответы на эти вопросы будут следующими:
Известно, что если ответом на первый вопрос является «Да» для некоторых правильных K и L , то существует единственный многогранник, гранями которого являются K и чьими вершинными фигурами являются L , называемый универсальным многогранником с этими гранями и вершинными фигурами, который покрывает все остальные такие многогранники. То есть предположим, что P — универсальный многогранник с гранями K и фигурами вершин L. Тогда любой другой многогранник Q с этими гранями и фигурами вершин можно записать Q = P / N , где
Q = P / N называется фактором P , и мы говорим , что P покрывает Q.
Учитывая этот факт, поиск многогранников с определенными гранями и фигурами вершин обычно происходит следующим образом:
Эти две проблемы в целом очень сложны.
Возвращаясь к приведенному выше примеру, если K — квадрат, а L — треугольник, универсальный многогранник { K , L } — это куб (также обозначаемый {4,3}). Полукуб — это фактор {4,3}/ N , где N — группа симметрий (автоморфизмов) куба всего с двумя элементами — единицей и симметрией, которая отображает каждый угол (или ребро, или грань) в его противоположность. .
Если вместо этого L также является квадратом, универсальный многогранник { K , L } (то есть {4,4}) представляет собой мозаику евклидовой плоскости квадратами. Эта мозаика имеет бесконечно много частных с квадратными гранями, по четыре на вершину, некоторые из которых правильные, а некоторые нет. За исключением самого универсального многогранника, все они соответствуют различным способам замощения тора или бесконечно длинного цилиндра квадратами.
11-клеточный многогранник , открытый независимо Х.С.М. Кокстером и Бранко Грюнбаумом , представляет собой абстрактный 4-мерный многогранник. Его грани представляют собой полуикосаэдры. Поскольку ее грани топологически представляют собой проективные плоскости, а не сферы, 11-ячейка не является мозаикой какого-либо многообразия в обычном смысле. Вместо этого 11-ячеечный является локально проективным многогранником. Он самодуален и универсален: это единственный многогранник с полуикосаэдрическими гранями и полудодекаэдрическими вершинными фигурами.
57 -ячеечная клетка также самодвойственна, с полудодекаэдрическими гранями. Он был обнаружен HSM Coxeter вскоре после открытия 11-клеток. Как и 11-ячеечный, он также универсален, являясь единственным многогранником с полудодекаэдрическими гранями и полуикосаэдрическими вершинными фигурами. С другой стороны, существует множество других многогранников с полудодекаэдрическими гранями и типом Шлефли {5,3,5}. Универсальный многогранник с полудодекаэдрическими гранями и икосаэдрическими (не полу-икосаэдрическими) фигурами вершин конечен, но очень велик, с 10006920 гранями и вдвое меньшим количеством вершин.
Проблема объединения исторически решалась в соответствии с локальной топологией . То есть вместо того, чтобы ограничивать K и L конкретными многогранниками, им разрешено быть любым многогранником с заданной топологией , то есть любым многогранником, мозаичным для данного многообразия . Если K и L сферичны (т. е . мозаики топологической сферы ), то P называется локально сферическим и соответствует мозаике некоторого многообразия. Например, если K и L являются квадратами (и поэтому топологически совпадают с кругами), P будет мозаикой плоскости, тора или бутылки Клейна квадратами. Мозаика n -мерного многообразия на самом деле представляет собой многогранник ранга n + 1. Это соответствует общепринятому представлению о том, что Платоновы тела трехмерны, хотя их можно рассматривать как мозаику двумерной поверхности шара.
В общем, абстрактный многогранник называется локально X, если его грани и фигуры вершин топологически являются либо сферами, либо X , но не обеими сферами. 11 -клеточные и 57-клеточные являются примерами локально проективных многогранников 4-го ранга (то есть четырехмерных) , поскольку их грани и фигуры вершин являются мозаикой реальных проективных плоскостей . Однако в этой терминологии есть недостаток. Например, он не позволяет легко описать многогранник, грани которого являются торами , а фигуры вершин — проективными плоскостями. Еще хуже, если разные фасеты имеют разную топологию или вообще не имеют четко определенной топологии. Однако большой прогресс был достигнут в полной классификации локально тороидальных правильных многогранников [15]
Пусть Ψ — флаг абстрактного n -многогранника и −1 < i < n . Из определения абстрактного многогранника можно доказать, что существует единственный флаг, отличающийся от Ψ на элемент ранга i , и то же самое в остальном. Если мы назовем этот флаг Ψ ( i ) , то это определит набор отображений на флагах многогранников, скажем, φ i . Эти карты называются картами обмена , поскольку они меняют пары флагов: ( Ψφ i ) φ i = Ψ всегда. Некоторые другие свойства карт обмена:
Отображения обмена и, в частности, действие флага можно использовать для доказательства того, что любой абстрактный многогранник является фактором некоторого правильного многогранника.
Многогранник также можно представить, сведя в таблицу его инцидентности .
Следующая матрица инцидентности представляет собой матрицу треугольника:
В таблице отображается 1 везде, где грань является подлицом другой, или наоборот (поэтому таблица симметрична относительно диагонали) — так что фактически в таблице имеется избыточная информация ; достаточно показать только 1, если грань строки ≤ грань столбца.
Поскольку и тело, и пустое множество инцидентны всем остальным элементам, первая строка и столбец, а также последняя строка и столбец тривиальны и их можно удобно опустить.
Дополнительную информацию получают путем подсчета каждого случая. Такое числовое использование позволяет группировать по симметрии , как в диаграмме Хассе квадратной пирамиды : если вершины B, C, D и E считаются симметрично эквивалентными внутри абстрактного многогранника, то ребра f, g, h и j будут сгруппированы. вместе, а также ребра k, l , m и n. И, наконец, треугольники P , Q , R и S. Таким образом, соответствующая матрица инцидентности этого абстрактного многогранника может быть представлена как:
В этом представлении накопленной матрицы инцидентности диагональные элементы представляют общее количество элементов любого типа.
Очевидно, что элементы разных типов одного и того же ранга никогда не встречаются, поэтому значение всегда будет равно 0; однако, чтобы помочь отличить такие отношения, вместо 0 используется звездочка (*).
Субдиагональные записи каждой строки представляют количество инцидентов соответствующих подэлементов, тогда как супердиагональные записи представляют соответствующие количества элементов вершинной, реберной или какой-либо другой фигуры.
Уже эта простая квадратная пирамида показывает, что матрицы инцидентности, накопленные симметрией, больше не являются симметричными. Но все же существует простое отношение сущностей (помимо обобщенных формул Эйлера для диагонали, соответственно субдиагональных сущностей каждой строки, соответственно супердиагональных элементов каждой строки - тех, по крайней мере, когда нет дырок, звездочек и т. д.). рассматривается), так как для любой такой матрицы инцидентности имеет место:
В 1960-х годах Бранко Грюнбаум призвал геометрическое сообщество рассмотреть обобщения концепции правильных многогранников , которые он назвал полистроматами . Он разработал теорию полистромат, показав примеры новых объектов, включая 11-клеточные .
11-ячеечный — это самодвойственный 4-многогранник , грани которого не являются икосаэдрами , а являются « полу-икосаэдрами » — то есть они представляют собой форму, которую можно получить, если считать противоположные грани икосаэдров фактически одной и той же гранью ( Грюнбаум, 1977). Через несколько лет после открытия Грюнбаумом 11-клеточного многогранника HSM Coxeter открыл аналогичный многогранник, 57-клеточный (Coxeter 1982, 1984), а затем независимо заново открыл 11-клеточный.
Благодаря более ранним работам Бранко Грюнбаума , Х.С.М. Коксетера и Жака Титса , заложившим основу, основная теория комбинаторных структур, теперь известных как абстрактные многогранники, была впервые описана Эгоном Шульте в его докторской диссертации 1980 года. В нем он определил «регулярные комплексы инцидентности» и «многогранники регулярной инцидентности». Впоследствии он и Питер Макмаллен развили основы теории в серии исследовательских статей, которые позже были собраны в книгу. С тех пор многие другие исследователи внесли свой вклад, и первые пионеры (включая Грюнбаума) также приняли определение Шульте как «правильное».
С тех пор исследования в области теории абстрактных многогранников были сосредоточены в основном на правильных многогранниках, то есть тех, группы автоморфизмов которых действуют транзитивно на множестве флагов многогранника.
