В геометрии звездчатый многогранник — это многогранник , который имеет повторяющиеся свойства невыпуклости, что придает ему визуальное сходство со звездой.
Существует два основных типа звездчатого многогранника:
Математические исследования звездчатых многогранников обычно связаны с правильными однородными многогранниками или двойственными однородными многогранниками. Все эти звезды относятся к самопересекающимся типам.
Правильные звездчатые многогранники являются самопересекающимися многогранниками. Они могут иметь либо самопересекающиеся грани , либо самопересекающиеся фигуры вершин .
Существует четыре правильных звездчатых многогранника , известных как многогранники Кеплера-Пуансо . Символ Шлефли { p , q } подразумевает грани с p сторонами и фигуры вершин с q сторонами. Два из них имеют пентаграммные грани {5/2}, а два - пентаграммные вершинные фигуры.
На этих изображениях каждая форма показана с одним лицом, окрашенным в желтый цвет, чтобы показать видимую часть этого лица.
Также существует бесконечное количество правильных звездчатых диэдров и осоэдров {2, p/q } и { p/q , 2} для любого звездчатого многоугольника { p/q }. Будучи вырожденными в евклидовом пространстве, они могут быть реализованы сферически в невырожденной форме.
Существует множество однородных звездчатых многогранников , включая две бесконечные серии призм и антипризм , а также двойственные им .
Однородные и двойственные однородные звездчатые многогранники также являются самопересекающимися многогранниками. Они могут иметь либо самопересекающиеся грани , либо самопересекающиеся фигуры вершин , либо и то, и другое.
Однородные звездчатые многогранники имеют правильные грани или правильные грани звездчатого многоугольника . Двойственные однородные звездчатые многогранники имеют правильные грани или правильные фигуры вершин звездчатого многоугольника .
Помимо указанных выше форм, существует неограниченное количество классов самопересекающихся (звездчатых) многогранников.
Двумя важными классами являются звёздочки выпуклых многогранников и их двойственные многогранники, грани двойственных многогранников.
Например, полную звездчатость икосаэдра (на рисунке) можно интерпретировать как самопересекающийся многогранник, состоящий из 20 одинаковых граней, каждая из которых представляет собой намотанный многоугольник (9/4). Ниже приведена иллюстрация этого многогранника, одна грань которого нарисована желтым цветом.
Аналогично самопересекающийся многогранник в любом количестве измерений называется звездным многогранником .
Правильный многогранник { p , q , r ,..., s , t } является звездным многогранником, если либо его грань { p , q ,... s }, либо его вершинная фигура { q , r ,..., s , t } – звездчатый многогранник.
В четырех измерениях 10 правильных звездчатых полихор называются полихорой Шлефли – Гесса . Аналогично правильным звездчатым многогранникам, все эти 10 состоят из граней, которые являются либо одним из пяти правильных платоновых тел , либо одним из четырех правильных звездчатых многогранников Кеплера-Пуансо .
Например, великий звёздчатый 120-клеточный , проецируемый ортогонально в 3-мерное пространство, выглядит так:
Не существует правильных звездчатых многогранников в размерностях выше 4 .
Примером звездной области является многогранник, который не пересекает сам себя и все внутреннее пространство которого можно увидеть из одной внутренней точки . Видимые внешние части многих самопересекающихся звездчатых многогранников образуют границы звездных доменов, но, несмотря на схожий внешний вид, как абстрактные многогранники , это разные структуры. Например, маленький звездчатый додекаэдр имеет 12 граней пентаграммы, но соответствующий звездный домен имеет 60 граней равнобедренного треугольника и, соответственно, разное количество вершин и ребер.
Многогранные звездные домены появляются в различных типах архитектуры, обычно религиозного характера. Например, их можно увидеть на многих церквях в стиле барокко как символы Папы, построившего церковь, на венгерских церквях и других религиозных зданиях. Эти звезды также можно использовать в качестве украшений. Моравские звезды используются для обеих целей и могут иметь различные формы.