Диэдр — это тип многогранника , состоящий из двух многоугольных граней , имеющих один и тот же набор из n ребер . В трехмерном евклидовом пространстве он вырожден , если его грани плоские, тогда как в трехмерном сферическом пространстве двугранник с плоскими гранями можно рассматривать как линзу, примером которой является фундаментальная область линзового пространства L. ( п , q ). [1] Диэдры также называют биэдрами , [2] плоскими многогранниками , [3] или дважды покрытыми многоугольниками . [3]
Как сферическая мозаика , диэдр может существовать в виде невырожденной формы с двумя n -сторонними гранями, покрывающими сферу, причем каждая грань представляет собой полусферу , а вершины находятся на большом круге . Оно правильное , если вершины расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.
Двойственным к n - угольному диэдру является n -угольный осоэдр , в котором n двуугольных граней имеют общие две вершины.
Диэдр можно рассматривать как вырожденную призму , два (плоских) n -сторонних основания многоугольника которой соединены «спина к спине», так что образующийся объект не имеет глубины. Полигоны должны быть конгруэнтны, но склеены таким образом, чтобы один был зеркальным отражением другого. Это применимо только в том случае, если расстояние между двумя гранями равно нулю; на расстоянии больше нуля грани представляют собой бесконечные многоугольники (немного похоже на двуугольные грани апейрогонального осоэдра , имеющие ширину больше нуля и представляющие собой бесконечные полосы).
Диэдры могут возникнуть из теоремы единственности Александрова , которая характеризует расстояния на поверхности любого выпуклого многогранника как локально евклидовы, за исключением конечного числа точек с положительным угловым дефектом, сумма которых равна 4 π . Эта характеристика справедлива и для расстояний на поверхности двугранника, поэтому утверждение теоремы Александрова требует, чтобы диэдры рассматривались как выпуклые многогранники. [4]
Некоторые двугранники могут возникать как члены нижнего предела других семейств многогранников: призма с двуугольными основаниями будет квадратным двугранником, а пирамида с двуугольным основанием будет треугольным двугранником.
Правильный диэдр с символом Шлефли { n ,2} состоит из двух правильных многоугольников , каждый из которых имеет символ Шлефли { n }. [5]
Сферический диэдр состоит из двух сферических многоугольников , имеющих один и тот же набор из n вершин, на экваторе большого круга ; каждый многоугольник сферического диэдра заполняет полусферу .
Правильный сферический диэдр состоит из двух правильных сферических многоугольников, которые имеют один и тот же набор из n вершин, равномерно расположенных по экватору большого круга .
Правильный многогранник {2,2} самодуален и является одновременно осоэдром и диэдром.
Когда n стремится к бесконечности, n -угольный диэдр становится апейрогональным диэдром как двумерная мозаика:
Правильный дитоп — это n -мерный аналог диэдра с символом Шлефли { p ,..., q , r ,2}. Он имеет две грани , { p ,..., q , r }, которые имеют общие все гребни , { p ,..., q }. [6]