Квадратная пирамида

Пирамида с квадратным основанием

В геометрии квадратная пирамида — это пирамида с квадратным основанием, имеющая всего пять граней. Если вершина пирамиды находится прямо над центром квадрата, это прямоугольная пирамида с четырьмя равнобедренными треугольниками ; в противном случае это наклонная квадратная пирамида . Когда все ребра пирамиды равны по длине, все ее треугольники равносторонние , и такая пирамида называется равносторонней квадратной пирамидой .

Квадратные пирамиды появлялись на протяжении всей истории архитектуры, примером могут служить египетские пирамиды и многие другие подобные здания. Они также встречаются в химии в виде квадратных пирамидальных молекулярных структур . Квадратные пирамиды часто используются при построении других многогранников . Многие математики в древности открыли формулу объема квадратной пирамиды разными подходами.

Характеристики

Правильная квадратная пирамида

Квадратная пирамида имеет пять вершин , восемь ребер и пять граней. Одна грань, называемая основанием пирамиды, представляет собой квадрат ; четыре других грани — треугольники . ^[3] Четыре ребра образуют квадрат, соединяя четыре его вершины. Остальные четыре ребра известны как боковые ребра пирамиды; они встречаются в пятой вершине, называемой вершиной . ^{[4] Если} вершина пирамиды лежит на линии, перпендикулярной центру квадрата, она называется прямоугольной пирамидой , а четыре треугольные грани — равнобедренными треугольниками . В противном случае пирамида имеет две или более неравнобедренных треугольных граней и называется наклонной квадратной пирамидой . ^[5]

Наклонная высота прямоугольной пирамиды определяется как высота одного из ее равнобедренных треугольников. Его можно получить с помощью теоремы Пифагора : ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle s={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}},}$$

^[6][7] ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle h={\sqrt {s^{2}-{\frac {l^{2}}{4}}}}={\sqrt {b^{2}-{\frac {l^{2}}{2}}}}.}$$

Площадь поверхности. ^[8] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=4T+S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle A=4\left({\frac {1}{2}}ls\right)+l^{2}=2ls+l^{2}.}$$

^[9][10] ${\displaystyle V}$

$${\displaystyle V={\frac {1}{3}}l^{2}h.}$$

Многие математики еще в древности открыли формулу расчета объема квадратной пирамиды. В Московском математическом папирусе египетские математики продемонстрировали знание формулы расчета объема усеченной квадратной пирамиды , что позволяет предположить, что они были знакомы и с объемом квадратной пирамиды, однако неизвестно, как была выведена эта формула. Помимо открытия объема квадратной пирамиды, проблему нахождения наклона и высоты квадратной пирамиды можно найти в Математическом папирусе Ринда . ^[11] Вавилонские математики также считали объем усеченной пирамиды, но дали для него неверную формулу. ^[12] Один китайский математик Лю Хуэй также обнаружил объем методом расчленения прямоугольного тела на куски. ^[13]

Равносторонняя квадратная пирамида

3D модель равносторонней квадратной пирамиды

Если все треугольные ребра имеют одинаковую длину, четыре треугольника равносторонние , а все грани пирамиды представляют собой правильные многоугольники , то это равносторонняя квадратная пирамида. ^[14] Двугранные углы между соседними треугольными гранями равны , а угол между основанием и каждой треугольной гранью составляет половину этого угла . ^[1] Выпуклый многогранник , у которого в качестве граней используются только правильные многоугольники, называется телом Джонсона , а равносторонняя квадратная пирамида — первым телом Джонсона, обозначаемым как . ^[15] Как и другие правильные пирамиды с правильным многоугольником в основании, правильная квадратная пирамида обладает пирамидальной симметрией . Для квадратной пирамиды это симметрия циклической группы : пирамида остается неизменной при вращении на одну, две и три четверти полного оборота вокруг своей оси симметрии , линии, соединяющей вершину с центром база. Он также зеркально симметричен относительно любой перпендикулярной плоскости, проходящей через биссектрису основания. ^[1] Его можно представить в виде кругового графа ; В более общем смысле, колесный граф представляет собой скелет односторонней пирамиды . ^[16] ${\displaystyle \arccos \left(-1/3\right)\approx 109.47^{\circ }}$ ${\displaystyle \arctan {\sqrt {2}}\approx 54.735^{\circ }}$ ${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle C_{4v}}$ ${\displaystyle W_{4}}$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Поскольку все ребра равносторонней квадратной пирамиды равны по длине, ее наклон, высота, площадь поверхности и объем соответственно равны: ^[17]

$${\displaystyle {\begin{aligned}s={\frac {\sqrt {3}}{2}}l\approx 0.866l,&\qquad h={\frac {1}{\sqrt {2}}}l\approx 0.707l,\\A=(1+{\sqrt {3}})l^{2}\approx 2.732l^{2},&\qquad V={\frac {\sqrt {2}}{6}}l^{3}\approx 0.236l^{3}.\end{aligned}}}$$

Приложения

В архитектуре пирамиды, построенные в Древнем Египте, представляют собой образцы зданий, имеющих форму квадратных пирамид. ^[18] Пирамидологи выдвигали различные предложения по проекту Великой пирамиды в Гизе , включая теорию, основанную на треугольнике Кеплера и золотом сечении . Однако современные ученые предпочитают описания с использованием целочисленных отношений, поскольку они более соответствуют знаниям египетской математики и пропорций. ^[19] Мезоамериканские пирамиды также являются древними пирамидальными постройками, похожими на египетские; они отличаются тем, что имеют плоские вершины и лестницы, ведущие к их лицам. ^[20] Современные здания, дизайн которых имитирует египетские пирамиды, включают пирамиду Лувра и отель-казино Луксор Лас-Вегас . ^[21]

В стереохимии кластер атомов может иметь квадратно-пирамидальную геометрию . Молекула квадратной пирамидальной формы имеет элемент основной группы с одной активной неподеленной парой , которая может быть описана моделью, предсказывающей геометрию молекул, известной как теория VSEPR . ^[22] Примеры молекул с такой структурой включают пентафторид хлора , пентафторид брома и пентафторид йода . ^[23]

Тетракис шестигранники — построение многогранников путем сложения квадратных пирамид.

Основание квадратной пирамиды можно присоединить к квадратной грани другого многогранника, чтобы построить новые многогранники, пример увеличения . Например, тетракис-шестигранник можно построить, прикрепив основание равносторонней квадратной пирамиды к каждой грани куба. ^[24] Прикрепление призм или антипризм к пирамидам называется элонгацией или гироэлонгацией соответственно. ^[25] Некоторые из других тел Джонсона могут быть построены либо путем увеличения квадратных пирамид, либо путем дополнения других форм квадратными пирамидами: удлиненная квадратная пирамида , гироудлиненная квадратная пирамида , вытянутая квадратная бипирамида , гироудлиненная квадратная бипирамида , увеличенная треугольная призма , двуувеличенная треугольная призма , триаугментированная треугольная призма , увеличенная пятиугольная призма , двуувеличенная пятиугольная призма , увеличенная шестиугольная призма , парабиувеличенная шестиугольная призма , метаувеличенная шестиугольная призма , триувеличенная шестиугольная призма и увеличенная сфенокорона . ^[26] ${\displaystyle J_{8}}$ ${\displaystyle J_{10}}$ ${\displaystyle J_{15}}$ ${\displaystyle J_{17}}$ ${\displaystyle J_{49}}$ ${\displaystyle J_{50}}$ ${\displaystyle J_{51}}$ ${\displaystyle J_{52}}$ ${\displaystyle J_{53}}$ ${\displaystyle J_{54}}$ ${\displaystyle J_{55}}$ ${\displaystyle J_{56}}$ ${\displaystyle J_{57}}$ ${\displaystyle J_{87}}$

Смотрите также

• Квадратное пирамидальное число — натуральное число, подсчитывающее количество сложенных друг на друга сфер в квадратной пирамиде.

Примечания

1. Джонсон (1966).
2. Воллебен (2019), с. 485–486.
3. Клиссолд (2020), с. 180.
4. О'Киф и Хайд (2020), с. 141; Смит (2000), с. 98.
5. Фрайтаг (2014), с. 598.
6. Ларкомб (1929), с. 177; Перри и Перри (1981), стр. 145–146.
7. Ларкомб (1929), с. 177.
8. Фрайтаг (2014), с. 798.
9. Александр и Кеберлин (2014), с. 403.
10. Ларкомб (1929), с. 178.
11. Кромвель (1997), стр. 20–22.
12. Ивс (1997), с. 2.
13. Вагнер (1979).
14. Хочевар (1903), с. 44.
15. Уэхара (2020), с. 62.
16. Пизански и Серватиус (2013), с. 21.
17. Симонсон (2011), с. 123; Берман (1971), см. таблицу IV, строку 21.
18. Кинси, Мур и Прасидис (2011), стр. 2011. 371.
19. Герц-Фишлер (2000) рассматривает множество альтернативных теорий формы этой пирамиды. См. главу 11, «Теория треугольника Кеплера», стр. 80–91, для получения материалов, касающихся треугольника Кеплера, и стр. 80–91. 166 за вывод о том, что теория треугольника Кеплера может быть устранена по принципу: «Теория должна соответствовать уровню математики, соответствующему тому, что было известно древним египтянам». См. примечание 3, с. 229, по истории работы Кеплера с этим треугольником. См. Росси (2004), стр. 67–68, где говорится, что «ни в одном древнеегипетском письменном математическом источнике нет прямых свидетельств каких-либо арифметических вычислений или геометрических построений, которые можно было бы классифицировать как Золотое сечение ... как число, не согласуется с дошедшими до нас математическими источниками Среднего царства»; см. также обширное обсуждение множества альтернативных теорий формы пирамиды и другой египетской архитектуры, стр. 7–56. См. также Rossi & Tout (2002) и Markowsky (1992). ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$
20. Федер (2010), с. 34; Такач и Клайн (2015), с. 16.
21. Джарвис и Нэстед (2012), с. 172; Симонсон (2011), с. 122.
22. Петруччи, Харвуд и Херринг (2002), с. 414.
23. Эмелеус (1969), с. 13.
24. Деми и Смессерт (2017).
25. Слободан, Обрадович и Джуканович (2015).
26. Раджваде (2001), стр. 84–89. См. таблицу 12.3, где обозначена односторонняя призма, а обозначена односторонняя антипризма. ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Рекомендации

• Александр, Дэниел С.; Кеберлин, Джералин М. (2014). Элементарная геометрия для студентов (6-е изд.). Cengage Обучение. ISBN 978-1-285-19569-8.
• Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8. МР  0290245.
• Клиссолд, Кэролайн (2020). Математика 5–11: Руководство для учителей. Тейлор и Фрэнсис. ISBN 978-0-429-26907-3.
• Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-55432-9.
• Деми, Лоренц; Смессерт, Ганс (2017). «Логическое и геометрическое расстояние в многогранных аристотелевских диаграммах в представлении знаний». Симметрия . 9 (10): 204. Бибкод : 2017Symm....9..204D. дои : 10.3390/sym9100204 .
• Эмелеус, HJ (1969). Химия фтора и его соединений. Академическая пресса. ISBN 978-1-4832-7304-4.
• Ивс, Ховард (1997). Основы и фундаментальные понятия математики (3-е изд.). Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-69609-6.
• Федер, Кеннет Л. (2010). Энциклопедия сомнительной археологии: От Атлантиды до Валам Олума: От Атлантиды до Валам Олума. АВС-КЛИО. ISBN 978-0-313-37919-2.
• Фрайтаг, Марк А. (2014). Математика для учителей начальной школы: процессный подход. Брукс/Коул. ISBN 978-0-618-61008-2.
• Герц-Фишлер, Роджер (2000). Форма Великой пирамиды . Издательство Университета Уилфрида Лорье. ISBN 0-88920-324-5.
• Хочевар, Франкс (1903). Твердая геометрия. А. и К. Блэк .
• Джарвис, Дэниел; Нэстед, Ирен (2012). Изучение связи математики и искусства: преподавание и обучение между строк . Образование кисти. ISBN 978-1-55059-398-3.
• Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Збл  0132.14603.
• Кинси, Л. Кристина ; Мур, Тереза ​​Э.; Прасидис, Эфстратиос (2011). Геометрия и симметрия. Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-470-49949-8.
• Ларкомб, HJ (1929). Кембриджский средний уровень математики: геометрия, часть II. Издательство Кембриджского университета.
• Марковский, Джордж (1992). «Заблуждения о золотом сечении» (PDF) . Математический журнал колледжа . Математическая ассоциация Америки. 23 (1): 2–19. дои : 10.2307/2686193. JSTOR  2686193 . Проверено 29 июня 2012 г.
• О'Киф, Майкл; Хайд, Брюс Г. (2020). Кристаллические структуры: узоры и симметрия. Дуврские публикации . ISBN 978-0-486-83654-6.
• Перри, Огайо; Перри, Дж. (1981). Математика. Спрингер. дои : 10.1007/978-1-349-05230-1. ISBN 978-1-349-05230-1.
• Петруччи, Ральф Х.; Харвуд, Уильям С.; Херринг, Ф. Джеффри (2002). Общая химия: принципы и современные приложения. Том. 1. Прентис Холл . ISBN 978-0-13-014329-7.
• Писанский, Томаж; Серватиус, Бриджит (2013). Конфигурация с графической точки зрения. Спрингер. дои : 10.1007/978-0-8176-8364-1. ISBN 978-0-8176-8363-4.
• Раджваде, Арканзас (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта. Тексты и чтения по математике. Книжное агентство Индостан. дои : 10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
• Росси, Коринна (2004). Архитектура и математика в Древнем Египте. Издательство Кембриджского университета. стр. 67–68.
• Росси, Коринна; Тут, Кристофер А. (2002). «Были ли в Древнем Египте известны ряд Фибоначчи и золотое сечение?». История Математики . 29 (2): 101–113. дои : 10.1006/hmat.2001.2334. HDL : 11311/997099 .
• Симонсон, Шай (2011). Открытие заново математики: вы занимаетесь математикой. Математическая ассоциация Америки . ISBN 978-0-88385-912-4.
• Слободан, Мишич; Обрадович, Мария; Джуканович, Гордана (2015). «Композитные вогнутые купола как геометрические и архитектурные формы» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 19 (1): 79–91.
• Смит, Джеймс Т. (2000). Методы геометрии. Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-25183-6.
• Такач, Саролта Анна; Клайн, Эрик Х. (2015). Древний мир. Рутледж. п. 16. ISBN 978-1-317-45839-5.
• Уэхара, Рюхей (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии. Спрингер. дои : 10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682.
• Вагнер, Дональд Блэкмор (1979). «Раннее китайское определение объема пирамиды: Лю Хуэй, третий век нашей эры». История математики . 6 (2): 164–188. дои : 10.1016/0315-0860(79)90076-4.
• Воллебен, Ева (2019). «Двойственность в неполиэдрических телах. Часть I: Полилайнер». В Коккьярелле, Луиджи (ред.). ICGG 2018 – Материалы 18-й Международной конференции по геометрии и графике: 40-летие – Милан, Италия, 3–7 августа 2018 г. Международная конференция по геометрии и графике. Спрингер. дои : 10.1007/978-3-319-95588-9. ISBN 978-3-319-95588-9.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Квадратная пирамида» («тело Джонсона») в MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Колесо графика». Математический мир .
• Квадратная пирамида – интерактивная модель многогранника
• Многогранники виртуальной реальности georgehart.com: Энциклопедия многогранников ( модель VRML )