n-сфера

Обобщенная сфера размерности n (математика)

Каркас из двух сфер как ортогональная проекция

Так же, как стереографическая проекция может проецировать поверхность сферы на плоскость, она также может проецировать 3 -сферу в 3 -пространство. На этом изображении показаны три направления координат, проецированные в трехмерное пространство: параллели (красный), меридианы (синий) и гипермеридианы (зеленый). Благодаря конформному свойству стереографической проекции кривые пересекают друг друга ортогонально (в желтых точках), как в 4D. Все кривые представляют собой круги: кривые, пересекающие ⟨0,0,0,1⟩, имеют бесконечный радиус (= прямая линия).

В математике n -сфера или гиперсфера — это ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ - мерное обобщение ⁠ ⁠- ${\displaystyle 1}$ мерного круга и ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2}$ -мерной сферы на любое неотрицательное целое число ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ . ⁠ ⁠ - ${\displaystyle n}$ сфера — это установка для ⁠ ⁠- ${\displaystyle n}$ мерной сферической геометрии .

Если рассматривать внешне как гиперповерхность , встроенную в ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n+1)}$ -мерное евклидово пространство , ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сфера представляет собой геометрическое место точек , находящихся на равном расстоянии ( радиусе ) от заданной центральной точки. Его внутренность , состоящая из всех точек, расположенных ближе к центру, чем радиус, представляет собой ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n+1)}$ -мерный шар . В частности:

• ⁠ ${\displaystyle 0}$ ⁠ -сфера — это пара точек на концах отрезка ( ⁠ ⁠ -шара ${\displaystyle 1}$ ).
• ⁠ ⁠ - ${\displaystyle 1}$ сфера — это круг , окружность диска ( ⁠ ⁠ - ${\displaystyle 2}$ шара) в двумерной плоскости .
• ⁠ ⁠ -сфера ${\displaystyle 2}$ , часто называемая просто сферой, является границей ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3}$ -шара в трехмерном пространстве .
• 3 - сфера — это граница ⁠ ⁠- ${\displaystyle 4}$ шара в четырёхмерном пространстве .
• ⁠ ⁠ -сфера ${\displaystyle (n-1)}$ является границей ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -шара.

Учитывая декартову систему координат , единичную ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сферу радиуса ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ можно определить как:

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|=1\right\}.}$

Если рассматривать по сути, когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle n\geq 1}$ , ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сфера является римановым многообразием положительной постоянной кривизны и ориентируема . Геодезические ⁠ ⁠- сферы называются большими кругами . ${\displaystyle n}$

Стереографическая проекция отображает ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сферу на ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -пространство с единственной присоединенной точкой на бесконечности ; согласно определенной таким образом метрике , является моделью ⁠ ⁠ -сферы. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle n}$

В более общем понимании топологии любое топологическое пространство , гомеоморфное единичной ⁠ ⁠ - ${\displaystyle n}$ сфере, называется ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ - сферой . При обратной стереографической проекции ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сфера представляет собой одноточечную компактификацию ⁠ ⁠ -пространства ${\displaystyle n}$ . ⁠ ⁠ -сферы ${\displaystyle n}$ допускают несколько других топологических описаний: например, их можно построить, склеив два ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -мерных пространства вместе, отождествив границу ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -куба с точкой или (индуктивно) образовав надстройку ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n-1)}$ -сферы . Когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle n\geq 2}$просто связен ; ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ -сфера ( круг ) не является односвязной; ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$ -сфера даже не связна и состоит из двух дискретных точек.

Описание

Для любого натурального числа ⁠ ${\displaystyle n}$⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сфера радиуса ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ определяется как набор точек в ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n+1)}$ -мерном евклидовом пространстве , находящихся на расстоянии ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ от некоторой фиксированной точки ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ , где ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ может быть любой положительной точкой . действительное число и где ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ может быть любой точкой в ​​⁠ ⁠ ${\displaystyle (n+1)}$ -мерном пространстве. В частности:

• 0-сфера — это пара точек ⁠ ⁠ ${\displaystyle \{c-r,c+r\}}$ и граница отрезка ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ -шара).
• 1 -сфера - это круг радиуса ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ с центром в ⁠ ⁠ и ${\displaystyle \mathbf {c} }$ является границей диска ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2}$ -шара).
• 2 -сфера - это обычная ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2}$ -мерная сфера в ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3}$ -мерном евклидовом пространстве и граница обычного шара ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3}$ -шара).
• 3 -сфера - это ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3}$ -мерная сфера в ⁠ ⁠ ${\displaystyle 4}$ -мерном евклидовом пространстве.

Декартовы координаты

Набор точек в ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n+1)}$ -пространстве, ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$ , которые определяют ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сферу, ⁠ ⁠ ${\displaystyle S^{n}(r)}$ , представлен уравнением:

${\displaystyle r^{2}=\sum _{i=1}^{n+1}(x_{i}-c_{i})^{2},}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n+1})}$ — центральная точка, а ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ — радиус.

Вышеуказанная ⁠ ⁠ - ${\displaystyle n}$ сфера существует в ⁠ ⁠- ${\displaystyle (n+1)}$ мерном евклидовом пространстве и является примером ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ - многообразия . Форма объема ⁠ ⁠ ⁠ ${\displaystyle \omega }$⁠ -сферы ${\displaystyle n}$ радиуса ⁠ ⁠ определяется ${\displaystyle r}$ выражением

${\displaystyle \omega ={\frac {1}{r}}\sum _{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_{j}\,dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}={\star }dr}$

где – оператор звезды Ходжа ; см. Фландерс (1989, §6.1) для обсуждения и доказательства этой формулы в случае ⁠ ⁠ . Как результат, ${\displaystyle {\star }}$ ${\displaystyle r=1}$

${\displaystyle dr\wedge \omega =dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.}$

н-мяч

Пространство, окруженное ⁠ ⁠- ${\displaystyle n}$ сферой, называется ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n+1)}$ - шаром . ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n+1)}$ -шар закрыт, если он включает в себя ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сферу, и открыт, если не содержит ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сферы.

Конкретно:

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ - шар , отрезок прямой , является внутренней частью 0-сферы.
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2}$ - шар , диск , является внутренней частью круга ( ⁠ ⁠ -сферы ${\displaystyle 1}$ ).
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3}$ - шар , обычный шар , представляет собой внутреннюю часть сферы ( ⁠ ⁠ - ${\displaystyle 2}$ сферы).
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle 4}$ - шар — это внутренность 3- сферы и т. д.

Топологическое описание

Топологически ⁠ ${\displaystyle n}$ ⁠ -сфера может быть построена как одноточечная компактификация ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -мерного евклидова пространства . Вкратце, ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сферу можно описать как ⁠ ⁠ ${\displaystyle S^{n}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \}}$ , которая представляет собой ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -мерное евклидово пространство плюс единственная точка, представляющая бесконечность во всех направлениях. В частности, если из ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сферы удалить одну точку , она станет гомеоморфной . Это формирует основу для стереографической проекции . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Объем и площадь

Пусть ⁠ ⁠ — ${\displaystyle S_{n-1}}$ площадь поверхности единичной ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n-1)}$ -сферы радиуса ⁠ ⁠, ${\displaystyle 1}$ вложенной в ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -мерное евклидово пространство, и пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle V_{n}}$ — объем ее внутренней части, единичного ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -шара. Площадь поверхности произвольной ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n-1)}$ -сферы пропорциональна ⁠ ⁠-й ${\displaystyle (n-1)}$ степени радиуса, а объём произвольного ⁠ ⁠- ${\displaystyle n}$ шара пропорционален ⁠ ⁠-й ${\displaystyle n}$ степени радиуса.

S _{n &minus 1} ) из n -шаров радиуса 1 .

⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$ -шар иногда определяют как одну точку. ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$ -мерная мера Хаусдорфа — это количество точек в множестве. Так

${\displaystyle V_{0}=1.}$

Единичный ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ -шар - это отрезок прямой, точки которого имеют одну координату в интервале ⁠ ⁠ ${\displaystyle [-1,1]}$ длины ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2}$ , а ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$ -сфера состоит из двух его концов с координатой ⁠ ⁠ ${\displaystyle \{-1,1\}}$ .

${\displaystyle S_{0}=2,\quad V_{1}=2.}$

Единичная ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ -сфера — это единичный круг в евклидовой плоскости, а ее внутренняя часть — единичный диск ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2}$ -шар).

${\displaystyle S_{1}=2\pi ,\quad V_{2}=\pi .}$

Внутренняя часть двумерной сферы в трехмерном пространстве представляет собой единичный ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3}$ -шар.

${\displaystyle S_{2}=4\pi ,\quad V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi .}$

В общем случае ⁠ ⁠ ${\displaystyle S_{n-1}}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle V_{n}}$ задаются в замкнутой форме выражениями

${\displaystyle S_{n-1}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}},\quad V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}+1{\bigr )}}}}$

где ⁠ ⁠ ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функция .

Поскольку ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ стремится к бесконечности, объём единичного ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -шара (отношение объёма ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -шара радиуса ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ и ⁠ ⁠ -куба с длиной стороны ⁠ ⁠ ) стремится к нулю. ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1}$

Рецидивы

Площадь поверхности или, собственно, ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -мерный объём ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сферы на границе ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n+1)}$ -шара радиуса ⁠ ⁠ ${\displaystyle R}$ связана с объёмом шара дифференциальным уравнением

${\displaystyle S_{n}R^{n}={\frac {dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}.}$

Эквивалентно, представляя единичный ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -шар как объединение концентрических ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n-1)}$ -сферных оболочек ,

${\displaystyle V_{n+1}=\int _{0}^{1}S_{n}r^{n}\,dr={\frac {1}{n+1}}S_{n}.}$

Мы также можем представить единичную ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n+2)}$ -сферу как объединение произведений круга ( ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ -сферы) на ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сферу. Тогда ⁠ ⁠ ${\displaystyle S_{n+2}=2\pi V_{n+1}}$ . Поскольку ⁠ ⁠ ${\displaystyle S_{1}=2\pi V_{0}}$ , уравнение

${\displaystyle S_{n+1}=2\pi V_{n}}$

справедливо для всех ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ . Наряду с базовыми случаями ⁠ ⁠ ${\displaystyle S_{0}=2}$ , ⁠ ⁠, ${\displaystyle V_{1}=2}$ указанными выше, эти рекурренты можно использовать для вычисления площади поверхности любой сферы или объема любого шара.

Сферические координаты

Мы можем определить систему координат в ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -мерном евклидовом пространстве, которая аналогична сферической системе координат, определенной для ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3}$ -мерного евклидова пространства, в которой координаты состоят из радиальной координаты ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle n-1}$ угловых координат ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-1}}$ , где углы ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{n-2}}$ варьируются в пределах ⁠ ⁠ ${\displaystyle [0,\pi ]}$ радиан (или ⁠ ⁠ ${\displaystyle [0,180]}$ градусов), а ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi _{n-1}}$ варьируются в пределах ⁠ ⁠ ${\displaystyle [0,2\pi )}$ радиан (или ⁠ ⁠ ${\displaystyle [0,360)}$ градусов). Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{i}}$ — декартовы координаты, то мы можем вычислить ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ из ⁠ ⁠ ${\displaystyle r,\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-1}}$ с помощью: ^{[3] [a]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\varphi _{1}),\\[5mu]x_{2}&=r\sin(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2}),\\[5mu]x_{3}&=r\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\cos(\varphi _{3}),\\&\qquad \vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\cos(\varphi _{n-1}),\\[5mu]x_{n}&=r\sin(\varphi _{1})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\sin(\varphi _{n-1}).\end{aligned}}}$

За исключением особых случаев, описанных ниже, обратное преобразование уникально:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}},\\[5mu]\varphi _{1}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}},x_{1}\right),\\[5mu]\varphi _{2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}},x_{2}\right),\\&\qquad \vdots \\\varphi _{n-2}&=\operatorname {atan2} \left({\textstyle {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}},x_{n-2}\right),\\[5mu]\varphi _{n-1}&=\operatorname {atan2} \left(x_{n},x_{n-1}\right).\end{aligned}}}$

где atan2 — арктангенс с двумя аргументами.

Есть некоторые особые случаи, когда обратное преобразование не уникально; ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi _{k}}$ для любого ⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ будет неоднозначным, если все ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{k},x_{k+1},\ldots x_{n}}$ равны нулю; в этом случае ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varphi _{k}}$ можно выбрать равным нулю. (Например, для ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2}$ -сферы, когда полярный угол равен ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0}$ или ⁠ ⁠, ${\displaystyle \pi }$ то точка является одним из полюсов, зенитом или надиром, и выбор азимутального угла произволен.)

Сферические элементы объема и площади

Чтобы выразить элемент объема ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -мерного евклидова пространства через сферические координаты, для краткости пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle s_{k}=\sin \varphi _{k}}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle c_{k}=\cos \varphi _{k}}$ , а затем заметим, что матрица Якоби преобразования равна:

${\displaystyle J_{n}={\begin{pmatrix}c_{1}&-rs_{1}&0&0&\cdots &0\\s_{1}c_{2}&rc_{1}c_{2}&-rs_{1}s_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\&&&&&0\\s_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}&\cdots &\cdots &&&-rs_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}\\s_{1}\cdots s_{n-2}s_{n-1}&rc_{1}\cdots s_{n-1}&\cdots &&&{\phantom {-}}rs_{1}\cdots s_{n-2}c_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

Определитель этой матрицы можно вычислить по индукции. Когда ⁠ ⁠ ${\displaystyle n=2}$ , простое вычисление показывает, что определителем является ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ . Для больших ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ заметьте, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle J_{n}}$ можно составить из ⁠ ⁠ ${\displaystyle J_{n-1}}$ следующим образом. За исключением столбца ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ , строки ⁠ ⁠ ${\displaystyle n-1}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ из ⁠ ⁠ ${\displaystyle J_{n}}$ такие же, как строка ⁠ ⁠ ${\displaystyle n-1}$ из ⁠ ⁠ ${\displaystyle J_{n-1}}$ , но умножаются на дополнительный коэффициент ⁠ ⁠ ${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$ в строке ⁠ ⁠ ${\displaystyle n-1}$ и дополнительный коэффициент ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$ в строке ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ . В столбце ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ строки ⁠ ⁠ ${\displaystyle n-1}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ из ⁠ ⁠ ${\displaystyle J_{n}}$ такие же, как столбец ⁠ ⁠ ${\displaystyle n-1}$ строки ⁠ ⁠ ${\displaystyle n-1}$ из ⁠ ⁠ ${\displaystyle J_{n-1}}$ , но умножаются на дополнительные коэффициенты ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$ в строке ⁠ ⁠ ${\displaystyle n-1}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$ в строке ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ соответственно . Определитель ⁠ ⁠ ${\displaystyle J_{n}}$ можно рассчитать с помощью разложения Лапласа в последнем столбце. Согласно рекурсивному описанию ⁠ ⁠ ${\displaystyle J_{n}}$ подматрица, образованная удалением записи в ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n-1,n)}$ и ее строки и столбца, почти равна ⁠ ⁠ ${\displaystyle J_{n-1}}$ , за исключением того, что ее последняя строка умножается на ⁠ ⁠ ${\displaystyle \sin \varphi _{n-1}}$ . Аналогично, подматрица, образованная удалением записи в позиции ⁠ ⁠, ${\displaystyle (n,n)}$ а также ее строки и столбца, почти равна ⁠ ⁠ ${\displaystyle J_{n-1}}$ , за исключением того, что ее последняя строка умножается на ⁠ ⁠ ${\displaystyle \cos \varphi _{n-1}}$ . Следовательно, определитель ⁠ ⁠ ${\displaystyle J_{n}}$ равен

${\displaystyle {\begin{aligned}|J_{n}|&=(-1)^{(n-1)+n}(-rs_{1}\dotsm s_{n-2}s_{n-1})(s_{n-1}|J_{n-1}|)\\&\qquad {}+(-1)^{n+n}(rs_{1}\dotsm s_{n-2}c_{n-1})(c_{n-1}|J_{n-1}|)\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2}|J_{n-1}|(s_{n-1}^{2}+c_{n-1}^{2})\\&=(rs_{1}\dotsm s_{n-2})|J_{n-1}|.\end{aligned}}}$

Тогда индукция дает замкнутое выражение для элемента объема в сферических координатах.

${\displaystyle {\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial \left(r,\varphi _{j}\right)}}\right|dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,dr\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.\end{aligned}}}$

Отсюда путем интегрирования можно получить формулу объема ⁠ ⁠ -шара. ${\displaystyle n}$

Аналогично элемент площади поверхности ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n-1)}$ -сферы радиуса ⁠ ⁠ ${\displaystyle r}$ , который обобщает элемент площади ⁠ ⁠ -сферы ${\displaystyle 2}$ , определяется выражением

${\displaystyle d_{S^{n-1}}V=R^{n-1}\sin ^{n-2}(\varphi _{1})\sin ^{n-3}(\varphi _{2})\cdots \sin(\varphi _{n-2})\,d\varphi _{1}\,d\varphi _{2}\cdots d\varphi _{n-1}.}$

Естественный выбор ортогонального базиса по угловым координатам представляет собой произведение ультрасферических полиномов ,

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}\left(\varphi _{j}\right)C_{s}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)C_{s'}^{\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}\cos \left(\varphi _{j}\right)\,d\varphi _{j}\\[6pt]&={\frac {2^{3-n+j}\pi \Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}\left({\frac {n-j-1}{2}}\right)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}}$

для ⁠ ⁠ ${\displaystyle j=1,2,\ldots ,n-2}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle e^{is\varphi _{j}}}$ для угла ⁠ ⁠ ${\displaystyle j=n-1}$ в соответствии со сферическими гармониками .

Полисферические координаты

Стандартная сферическая система координат возникает из записи ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ как произведения ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n-1}}$ . Эти два фактора можно связать с помощью полярных координат. Для каждой точки ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ из стандартные декартовы координаты ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},z_{1},\dots ,z_{n-1})=(y_{1},\mathbf {z} )}$

можно преобразовать в смешанную полярно-декартову систему координат:

${\displaystyle \mathbf {x} =(r\sin \theta ,(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Это говорит о том, что точки в ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ можно выразить, взяв луч, начинающийся в начале координат и проходящий через , повернув его в направлении на и пройдя некоторое расстояние вдоль луча. Повторение этого разложения в конечном итоге приводит к стандартной сферической системе координат. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}=\mathbf {z} /\lVert \mathbf {z} \rVert \in S^{n-2}}$ ${\displaystyle (1,0,\dots ,0)}$ ${\displaystyle \theta =\arcsin y_{1}/r}$ ${\displaystyle r=\lVert \mathbf {x} \rVert }$

Полисферические системы координат возникают в результате обобщения этой конструкции. ^[4] Пространство ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ разбивается на произведение двух евклидовых пространств меньшей размерности, но ни одно из них не обязательно должно быть линией. В частности, предположим, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle q}$ — положительные целые числа такие, что ⁠ ⁠ ${\displaystyle n=p+q}$ . Тогда ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$ . Используя это разложение, точку ⁠ ⁠ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ можно записать как

${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\dots ,x_{n})=(y_{1},\dots ,y_{p},z_{1},\dots ,z_{q})=(\mathbf {y} ,\mathbf {z} ).}$

Ее можно преобразовать в смешанную полярно-декартову систему координат, написав:

${\displaystyle \mathbf {x} =((r\sin \theta ){\hat {\mathbf {y} }},(r\cos \theta ){\hat {\mathbf {z} }}).}$

Здесь и – единичные векторы, связанные с ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ . Это выражает ⁠ ⁠ через ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ и угол ⁠ ⁠ . Можно показать, что областью определения ⁠ ⁠ является ⁠ ⁠, если ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠, если ровно один из ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ есть ⁠ ⁠ , и ⁠ ⁠, если ни ⁠ ⁠, ни ⁠ ⁠ не являются ⁠ ⁠ . Обратное преобразование ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}\in S^{p-1}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}\in S^{q-1}}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle [0,2\pi )}$ ${\displaystyle p=q=1}$ ${\displaystyle [0,\pi ]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [0,\pi /2]}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=\lVert \mathbf {x} \rVert ,\\\theta &=\arcsin {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arccos {\frac {\lVert \mathbf {z} \rVert }{\lVert \mathbf {x} \rVert }}=\arctan {\frac {\lVert \mathbf {y} \rVert }{\lVert \mathbf {z} \rVert }}.\end{aligned}}}$

Эти разделения могут повторяться до тех пор, пока один из задействованных факторов имеет размерность два или больше. Полисферическая система координат является результатом повторения этих расщеплений до тех пор, пока не останутся декартовы координаты. Расщепления после первого не требуют радиальной координаты, поскольку области и представляют собой сферы, поэтому координатами полисферической системы координат являются неотрицательный радиус и углы ⁠ ⁠ . Возможные полисферические системы координат соответствуют двоичным деревьям с листьями ⁠ ⁠ . Каждый нелистовой узел дерева соответствует разбиению и определяет угловую координату. Например, корень дерева представляет ⁠ ⁠ , а его непосредственные дочерние элементы представляют первое разбиение на ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ . Листовые узлы соответствуют декартовым координатам для ⁠ ⁠ . Формулы преобразования полисферических координат в декартовы координаты можно определить путем нахождения путей от корня к листовым узлам. Эти формулы представляют собой произведения с одним множителем для каждой ветви пути. Для узла, соответствующая угловая координата которого равна ⁠ ⁠ , переход по левой ветви вводит коэффициент ⁠ ⁠, а переход по правой ветви вводит коэффициент ⁠ ⁠ . Обратное преобразование из полисферических координат в декартовы координаты определяется группировкой узлов. Каждую пару узлов, имеющих общего родителя, можно преобразовать из смешанной полярно-декартовой системы координат в декартову систему координат, используя приведенные выше формулы разделения. ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{q}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \sin \theta _{i}}$ ${\displaystyle \cos \theta _{i}}$

Полисферические координаты также имеют интерпретацию в терминах специальной ортогональной группы . Расщепление ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{p}\times \mathbb {R} ^{q}}$ определяет подгруппу

${\displaystyle \operatorname {SO} _{p}(\mathbb {R} )\times \operatorname {SO} _{q}(\mathbb {R} )\subseteq \operatorname {SO} _{n}(\mathbb {R} ).}$

Это подгруппа, которая оставляет каждый из двух факторов фиксированным. Выбор набора представителей смежного класса для частного аналогичен выбору репрезентативных углов для этого шага разложения полисферических координат. ${\displaystyle S^{p-1}\times S^{q-1}\subseteq S^{n-1}}$

В полисферических координатах мера объема ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и мера площади ⁠ ⁠ ${\displaystyle S^{n-1}}$ являются произведениями. Для каждого угла имеется один множитель, а мера объема на ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ также имеет множитель для радиальной координаты. Мера площади имеет вид:

${\displaystyle dA_{n-1}=\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i},}$

где факторы ⁠ ⁠ ${\displaystyle F_{i}}$ определяются деревом. Аналогично, мера объема равна

${\displaystyle dV_{n}=r^{n-1}\,dr\,\prod _{i=1}^{n-1}F_{i}(\theta _{i})\,d\theta _{i}.}$

Предположим, у нас есть узел дерева, соответствующий разложению ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n_{1}+n_{2}}=\mathbb {R} ^{n_{1}}\times \mathbb {R} ^{n_{2}}}$ и имеющий угловую координату ⁠ ⁠ ${\displaystyle \theta }$ . Соответствующий коэффициент ⁠ ⁠ ${\displaystyle F}$ зависит от значений ⁠ ⁠ ${\displaystyle n_{1}}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle n_{2}}$ . Когда мера площади нормируется так, что площадь сферы равна ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ , эти факторы выглядят следующим образом. Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle n_{1}=n_{2}=1}$ , то

${\displaystyle F(\theta )={\frac {d\theta }{2\pi }}.}$

Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle n_{1}>1}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle n_{2}=1}$ , и если ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {B} }$ обозначает бета-функцию , то

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\sin ^{n_{1}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {1}{2}})}}\,d\theta .}$

Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle n_{1}=1}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle n_{2}>1}$ , то

${\displaystyle F(\theta )={\frac {\cos ^{n_{2}-1}\theta }{\mathrm {B} ({\frac {1}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Наконец, если оба ⁠ ⁠ ${\displaystyle n_{1}}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle n_{2}}$ больше единицы, то

${\displaystyle F(\theta )={\frac {(\sin ^{n_{1}-1}\theta )(\cos ^{n_{2}-1}\theta )}{{\frac {1}{2}}\mathrm {B} ({\frac {n_{1}}{2}},{\frac {n_{2}}{2}})}}\,d\theta .}$

Стереографическая проекция

Точно так же, как двумерная сфера, заключенная в трех измерениях, может быть отображена на двумерную плоскость с помощью стереографической проекции , ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сфера может быть отображена на ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -мерную гиперплоскость с помощью ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -мерной версии стереографической проекции. проекция. Например, точка ⁠ ⁠ ${\displaystyle [x,y,z]}$ на двумерной сфере радиуса ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ отображается в точку ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\bigl [}{\tfrac {x}{1-z}},{\tfrac {y}{1-z}}{\bigr ]}}$ на ⁠ ⁠ ${\displaystyle xy}$ -плоскости. Другими словами,

${\displaystyle [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].}$

Аналогично, стереографическая проекция ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сферы ⁠ ⁠ ${\displaystyle S^{n}}$ радиуса ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ будет отображаться в ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n-1)}$ -мерную гиперплоскость ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$ перпендикулярную ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{n}}$ -оси как

${\displaystyle [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].}$

Распределения вероятностей

Равномерно случайным образом на( п - 1)-сфера

Набор точек, взятых из равномерного распределения на поверхности единичной 2- сферы, созданный с использованием алгоритма Марсальи.

Для генерации равномерно распределенных случайных точек на единичной ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n-1)}$ -сфере (то есть на поверхности единичного ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -шара) Марсалья (1972) предлагает следующий алгоритм.

Сгенерировать ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -мерный вектор нормальных отклонений (достаточно использовать ⁠ ⁠ ${\displaystyle N(0,1)}$ , хотя на самом деле выбор дисперсии произволен), ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ . Теперь вычислим «радиус» этой точки:

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

Вектор ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$ равномерно распределен по поверхности единичного ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -шара.

Альтернатива, предложенная Марсальей, состоит в том, чтобы равномерно случайным образом выбрать точку ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ в единичном n -кубе путем выборки каждого ⁠ ⁠ ${\displaystyle x_{i}}$ независимо от равномерного распределения по ⁠ ⁠ ${\displaystyle (-1,1)}$ , вычисления ⁠ ⁠ , ${\displaystyle r}$ как указано выше, и отклонения точки и повторной выборки, если ⁠ ⁠ ${\displaystyle r\geq 1}$ ( т. е. если точка не находится в ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -шаре), и когда точка в шаре получается путем масштабирования ее до сферической поверхности в коэффициент ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}}$ ; тогда снова ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}\mathbf {x} }$ равномерно распределен по поверхности единичного ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -шара. Этот метод становится очень неэффективным для более высоких измерений, поскольку в сфере содержится исчезающе малая часть единичного куба. В десяти измерениях сферой заполнено менее 2% куба, поэтому обычно требуется более 50 попыток. В семидесяти измерениях заполнено меньше куба, а это означает, что обычно потребуется триллион квадриллионов испытаний, что намного больше, чем компьютер может когда-либо выполнить. ${\displaystyle 10^{-24}}$

Равномерно случайным образом в пределахн-мяч

Если точка выбрана равномерно случайным образом с поверхности единичной ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n-1)}$ -сферы (например, с помощью алгоритма Марсальи), нужен только радиус, чтобы получить точку равномерно случайным образом изнутри единичного ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -шара. Если ⁠ ⁠ — ${\displaystyle u}$ число, равномерно сгенерированное случайным образом из интервала ⁠ ⁠ ${\displaystyle [0,1]}$ и ⁠ ⁠ — ${\displaystyle \mathbf {x} }$ точка, равномерно выбранная случайным образом из единицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n-1)}$ -сферы, то ⁠ ⁠ ${\displaystyle u^{1/n}\mathbf {x} }$ равномерно распределено внутри единицы ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -шара.

В качестве альтернативы, точки могут быть выбраны равномерно из единичного ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -шара путем сокращения из единичной ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n+1)}$ -сферы. В частности, если ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+2})}$ — точка, выбранная равномерно из единичной ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n+1)}$ -сферы, то ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ равномерно распределена внутри единичного ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -шара (т.е. путём простого отбрасывания двух координат). ^[5]

Если ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ достаточно велик, большая часть объема ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -шара будет находиться в области, очень близкой к его поверхности, поэтому точка, выбранная из этого объема, вероятно, также будет находиться близко к поверхности. Это одно из явлений, приводящих к так называемому проклятию размерности , возникающему в некоторых численных и других приложениях.

Распределение первой координаты

Пусть ⁠ ⁠ ${\displaystyle y=x_{1}^{2}}$ будет квадратом первой координаты точки, равномерно выбранной случайным образом из ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n-1)}$ -сферы, тогда ее функция плотности вероятности для , равна ${\displaystyle y\in [0,1]}$

$${\displaystyle \rho (y)={\frac {\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}{{\sqrt {\pi }}\;\Gamma {\bigl (}{\frac {n-1}{2}}{\bigr )}}}(1-y)^{(n-3)/2}y^{-1/2}.}$$

Пусть это соответствующим образом масштабированная версия, тогда в пределе функция плотности вероятности сходится к . Иногда это называют распределением Портера-Томаса. ^[6] ${\displaystyle z=y/N}$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (2\pi ze^{z})^{-1/2}}$

Конкретные сферы

0 -сфера

Пара точек ⁠ ⁠ ${\displaystyle \{\pm R\}}$ с дискретной топологией для некоторого ⁠ ⁠ ${\displaystyle R>0}$ . Единственная сфера, не связанная путями . Параллелизуемый .

1 -сфера

Обычно называют кругом . Имеет нетривиальную фундаментальную группу. Структура абелевой группы Ли U(1) ; группа круга . Гомеоморфна вещественной проективной прямой .

2 -сфера

Обычно его называют просто сферой . Чтобы узнать о его сложной структуре, см. сферу Римана . Гомеоморфен комплексной проективной прямой.

3 -сфера

Распараллеливаемое главное U(1) -расслоение над ⁠ ⁠ - ${\displaystyle 2}$ сферой , структура группы Ли Sp(1) .

4 -сфера

Гомеоморфен кватернионной проективной прямой , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {HP} ^{1}}$ . ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {SO} (5)/\operatorname {SO} (4)}$ .

5 -сфера

Главное U (1) -расслоение над комплексным проективным пространством ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$ . ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {SO} (6)/\operatorname {SO} (5)=\operatorname {SU} (3)/\operatorname {SU} (2)}$ . Неразрешимо , является ли данное ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -мерное многообразие гомеоморфным ⁠ ⁠ ${\displaystyle S^{n}}$ для ⁠ ⁠ ${\displaystyle n\geq 5}$ . ^[7]

6 -сфера

Обладает почти сложной структурой, происходящей из набора чистых единичных октонионов . ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {SO} (7)/\operatorname {SO} (6)=G_{2}/\operatorname {SU} (3)}$ . Вопрос о том, имеет ли он сложную структуру , известен как проблема Хопфа, в честь Хайнца Хопфа . ^[8]

7 -сфера

Топологическая квазигрупповая структура как совокупность единичных октонионов . Главное ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}$ -расслоение над S^4 . Параллелизуемый. ⁠ ⁠ ${\displaystyle \operatorname {SO} (8)/\operatorname {SO} (7)=\operatorname {SU} (4)/\operatorname {SU} (3)=\operatorname {Sp} (2)/\operatorname {Sp} (1)=\operatorname {Spin} (7)/G_{2}=\operatorname {Spin} (6)/\operatorname {SU} (3)}$ . Особый интерес представляет ⁠ ⁠ -сфера , ${\displaystyle 7}$ поскольку именно в этом измерении были открыты первые экзотические сферы .

8 -сфера

Гомеоморфна октонионной проективной прямой ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbf {OP} ^{1}}$ .

23 -сфера

В ⁠ ⁠ -мерном пространстве возможна очень плотная упаковка сфер , что связано с уникальными свойствами решетки Лича . ${\displaystyle 24}$

Октаэдрическая сфера

Октаэдрическая ⁠ ⁠ -сфера определяется аналогично ⁠ ⁠ -сфере , ${\displaystyle n}$ но с использованием 1 -нормы. ${\displaystyle n}$

${\displaystyle S^{n}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\left\|x\right\|_{1}=1\right\}}$

В общем случае он принимает форму перекрестного многогранника .

Октаэдрическая ⁠ ⁠ ${\displaystyle 1}$ -сфера представляет собой квадрат (без внутренней части). Октаэдрическая ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2}$ -сфера представляет собой правильный октаэдр ; отсюда и название. Октаэдрическая ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -сфера представляет собой топологическое соединение ⁠ ⁠ ${\displaystyle n+1}$ пар изолированных точек. ^[9] Интуитивно понятно, что топологическое соединение двух пар создается путем рисования сегмента между каждой точкой одной пары и каждой точкой другой пары; это дает квадрат. Чтобы соединить это с третьей парой, нарисуйте отрезок между каждой точкой квадрата и каждой точкой третьей пары; это дает октаэдр.

Смотрите также

• Конформная геометрия  - Исследование преобразований геометрического пространства, сохраняющих углы.
• Экзотическая сфера  - гладкое многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное сфере.
• Сфера гомологии  - топологическое многообразие, гомология которого совпадает с гомологией сферы.
• Гомотопические группы сфер  - Как сферы разных размеров могут наматываться друг на друга.
• Инверсивная геометрия  - Исследование преобразований, сохраняющих угол.
• Преобразование Мёбиуса  – Рациональная функция вида (az + b)/(cz + d)

Примечания

1. Формально эта формула верна только для ⁠ ⁠ ${\displaystyle n>3}$ . Для ⁠ ⁠ ${\displaystyle n-3}$ необходимо опустить строку, начинающуюся с ⁠ ⁠ , а для ${\displaystyle x_{3}=\cdots }$⁠ ⁠ ${\displaystyle n=2}$ необходимо использовать формулу для полярных координат . Случай ⁠ ⁠ ${\displaystyle n=1}$ сводится к ⁠ ⁠ ${\displaystyle x=r}$ . Используя обозначение заглавной буквы «пи» и обычное соглашение для пустого произведения , формула, действительная для ⁠ ⁠, ${\displaystyle n\geq 2}$ определяется как ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x_{n}=r\prod _{i=1}^{n-1}\sin \varphi _{i}}$ и ⁠ ⁠ ${\displaystyle \textstyle x_{k}=r\cos \varphi _{k}\prod _{i=1}^{k-1}\sin \varphi _{i}}$ для ⁠ ⁠ ${\displaystyle k=1,\ldots ,n-1}$ .

1. Джеймс В. Вик (1994). Теория гомологии , с. 60. Спрингер
2. Смит, Дэвид Дж.; Ваманамурти, Мавина К. (1989). «Насколько мал единичный шар?». Журнал «Математика» . 62 (2): 101–107. дои : 10.1080/0025570X.1989.11977419. JSTOR  2690391.
3. Блюменсон, LE (1960). «Вывод n-мерных сферических координат». Американский математический ежемесячник . 67 (1): 63–66. дои : 10.2307/2308932. JSTOR  2308932.
4. Н.Я. Виленкин, А.Ю. Климык, Представление групп Ли и специальные функции, Vol. 2: Представления I класса, специальные функции и интегральные преобразования , перевод с русского В. А. Грозы и А. А. Грозы, Матем. Приложение, вып. 74, Клювер Акад. Публикация, Дордрехт, 1992, ISBN 0-7923-1492-1 , стр. 223–226. 
5. Фёлкер, Аарон Р.; Госманн, Ян; Стюарт, Терренс К. (2017). Эффективная выборка векторов и координат из n-сферы и n-шара (Отчет). Центр теоретической нейронауки. дои :10.13140/RG.2.2.15829.01767/1.
6. Ливан, Джакомо; Новаес, Марсель; Виво, Пьерпаоло (2018), Ливан, Джакомо; Новаес, Марсель; Виво, Пьерпаоло (ред.), «Один пейджер о собственных векторах», « Введение в случайные матрицы: теория и практика », SpringerBriefs in Mathematical Physics, Cham: Springer International Publishing, стр. 65–66, doi : 10.1007/978-3-319 -70885-0_9, ISBN 978-3-319-70885-0, получено 19 мая 2023 г.
7. Стиллвелл, Джон (1993), Классическая топология и комбинаторная теория групп, Тексты для аспирантов по математике, том. 72, Спрингер, с. 247, ISBN 9780387979700.
8. Агрикола, Илька ; Баццони, Джованни; Герчес, Оливер; Константис, Панайотис; Ролленске, Зёнке (2018). «К истории проблемы Хопфа». Дифференциальная геометрия и ее приложения . 57 : 1–9. arXiv : 1708.01068 . doi :10.1016/j.difgeo.2017.10.014. S2CID  119297359.
9. Мешулам, Рой (1 января 2001 г.). «Комплекс клик и сопоставление гиперграфов». Комбинаторика . 21 (1): 89–94. дои : 10.1007/s004930170006. ISSN  1439-6912. S2CID  207006642.

Рекомендации

• Марсалья, Г. (1972). «Выбор точки на поверхности сферы». Анналы математической статистики . 43 (2): 645–646. дои : 10.1214/aoms/1177692644 .
• Хубер, Грег (1982). «Вывод гамма-функции объемов n-сфер». амер. Математика. Ежемесячно . 89 (5): 301–302. дои : 10.2307/2321716. JSTOR  2321716. МР  1539933.
• Уикс, Джеффри Р. (1985). Форма пространства: как визуализировать поверхности и трехмерные многообразия . Марсель Деккер. ISBN 978-0-8247-7437-0(Глава 14: Гиперсфера).{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)
• Калниньш Е.Г.; Миллер, В. (1986). «Разделение переменных на n-мерных римановых многообразиях. I. n-сфера S_n и евклидова n-разреженная R_n». Дж. Математика. Физ . 27 : 1721–1746. дои : 10.1063/1.527088 . HDL : 10289/1219 .
• Фландрия, Харли (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN 978-0-486-66169-8.
• Моура, Эдуарда; Хендерсон, Дэвид Г. (1996). Знакомство с геометрией: на плоскости и сфере . Прентис Холл . ISBN 978-0-13-373770-7(Глава 20: 3-сферы и гиперболические 3-пространства).{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)
• Барнеа, Нир (1999). «Гиперсферические функции с произвольной перестановочной симметрией: обратная конструкция». Физ. Преподобный А. 59 (2): 1135–1146. Бибкод : 1999PhRvA..59.1135B. doi : 10.1103/PhysRevA.59.1135.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперсфера». Математический мир .