Четырехмерное пространство ( 4D ) — это математическое расширение концепции трехмерного пространства (3D). Трехмерное пространство — это простейшая возможная абстракция наблюдения, что для описания размеров или местоположений объектов в повседневном мире нужны только три числа, называемые измерениями . Например, объем прямоугольной коробки находится путем измерения и умножения ее длины, ширины и высоты (часто обозначаемых как x , y и z ). Эта концепция обычного пространства называется евклидовым пространством , потому что она соответствует геометрии Евклида , которая изначально была абстрагирована от пространственного опыта повседневной жизни.
Идея добавления четвертого измерения появляется в работе Жана Лерона Д'Аламбера «Измерения», опубликованной в 1754 году, [1] но математика более трех измерений появилась только в 19 веке . Общая концепция евклидова пространства с любым числом измерений была полностью разработана швейцарским математиком Людвигом Шлефли до 1853 года. Работа Шлефли привлекла мало внимания при его жизни и была опубликована только посмертно, в 1901 году, [2] но тем временем четвертое евклидово измерение было заново открыто другими. В 1880 году Чарльз Говард Хинтон популяризировал его в эссе «Что такое четвертое измерение?», в котором он объяснил концепцию «четырехмерного куба » с пошаговым обобщением свойств линий, квадратов и кубов. Простейшая форма метода Хинтона — нарисовать два обычных 3D-куба в 2D-пространстве, один охватывающий другой, разделенные «невидимым» расстоянием, а затем нарисовать линии между их эквивалентными вершинами. Это можно увидеть в сопровождающей анимации, когда она показывает меньший внутренний куб внутри большего внешнего куба. Восемь линий, соединяющих вершины двух кубов, в этом случае представляют одно направление в «невидимом» четвертом измерении.
Пространства более высокой размерности (больше трех) с тех пор стали одной из основ формального выражения современной математики и физики. Значительная часть этих тем не могла бы существовать в их нынешних формах без использования таких пространств. Теория относительности Эйнштейна сформулирована в четырехмерном пространстве, хотя и не в евклидовом четырехмерном пространстве. Концепция пространства- времени Эйнштейна имеет структуру Минковского, основанную на неевклидовой геометрии с тремя пространственными измерениями и одним временным измерением, а не на четырех симметричных пространственных измерениях евклидова четырехмерного пространства Шлефли .
Отдельные местоположения в евклидовом 4D пространстве могут быть заданы как векторы или 4-кортежи , т. е. как упорядоченные списки чисел, такие как ( x , y , z , w ) . Только когда такие местоположения связаны вместе в более сложные формы, проявляется полное богатство и геометрическая сложность многомерных пространств. Намек на эту сложность можно увидеть в сопровождающей 2D анимации одного из простейших возможных регулярных 4D объектов , тессеракта , который аналогичен 3D кубу .
Лагранж писал в своей работе «Аналитическая механика» (опубликованной в 1788 году, основанной на работе, выполненной около 1755 года), что механику можно рассматривать как действующую в четырехмерном пространстве — три измерения пространства и одно измерение времени. [3] Еще в 1827 году Мёбиус понял, что четвертое пространственное измерение позволит вращать трехмерную форму относительно ее зеркального отображения. [4] Общая концепция евклидова пространства с любым числом измерений была полностью разработана швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века, в то время, когда Кэли , Грассман и Мёбиус были единственными людьми, которые когда-либо задумывались о возможности геометрии в более чем трех измерениях. [5] К 1853 году Шлефли открыл все правильные многогранники , которые существуют в более высоких измерениях, включая четырехмерные аналоги Платоновых тел .
Арифметика четырех пространственных измерений, называемых кватернионами , была определена Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году. Эта ассоциативная алгебра была источником науки векторного анализа в трех измерениях, как изложено Майклом Дж. Кроу в «Истории векторного анализа» . Вскоре после этого были введены тессарины и кокватернионы как другие четырехмерные алгебры над R. В 1886 году Виктор Шлегель описал [6] свой метод визуализации четырехмерных объектов с помощью диаграмм Шлегеля .
Одним из первых популярных толкователей четвертого измерения был Чарльз Говард Хинтон , начавший в 1880 году со своего эссе « Что такое четвертое измерение?» , опубликованного в журнале Дублинского университета . [7] Он ввел термины тессеракт , ана и ката в своей книге «Новая эра мысли» и представил метод визуализации четвертого измерения с использованием кубов в книге «Четвертое измерение » . [8] [9] Идеи Хинтона вдохновили Мартина Гарднера на фантазию о «Церкви четвертого измерения», представленную в его колонке «Математические игры » в журнале Scientific American в январе 1962 года .
Многомерные неевклидовы пространства были поставлены на прочную основу диссертацией Бернхарда Римана 1854 года « О гипотезах относительно геометрии, лежащей в основе» , в которой он считал «точкой» любую последовательность координат ( x 1 , ..., x n ) . В 1908 году Герман Минковский представил статью [10], в которой обосновывалась роль времени как четвертого измерения пространства-времени , основы специальной и общей теорий относительности Эйнштейна . [11] Но геометрия пространства-времени, будучи неевклидовой , глубоко отличается от той, которую исследовал Шлефли и популяризировал Хинтон. Изучение пространства Минковского потребовало математики Римана, которая существенно отличается от математики четырехмерного евклидова пространства, и поэтому развивалась в совершенно иных направлениях. Это разделение было не столь четким в массовом сознании, поскольку художественная литература и философия размывали это различие, поэтому в 1973 году Х. С. М. Коксетер счел необходимым написать:
Мало что, если вообще что-то, достигается представлением четвертого евклидова измерения как времени . Фактически, эта идея, столь привлекательно развитая Гербертом Уэллсом в «Машине времени» , привела таких авторов, как Джон Уильям Данн ( Эксперимент со временем ) , к серьезному заблуждению относительно теории относительности. Геометрия пространства-времени Минковского не является евклидовой и, следовательно, не имеет никакой связи с настоящим исследованием.
— HSM Коксетер , Правильные многогранники [12]
Математически четырехмерное пространство — это пространство , которому для определения точки в нем нужны четыре параметра. Например, общая точка может иметь вектор положения a , равный
Это можно записать в терминах четырех стандартных базисных векторов ( e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) , заданных как
поэтому общий вектор a равен
Векторы складываются, вычитаются и масштабируются как в трех измерениях.
Скалярное произведение евклидова трехмерного пространства обобщается на четыре измерения как
Его можно использовать для вычисления нормы или длины вектора,
и вычислить или определить угол между двумя ненулевыми векторами как
Пространство-время Минковского — это четырехмерное пространство, геометрия которого определяется невырожденным спариванием , отличным от скалярного произведения:
Например, квадрат расстояния между точками (0,0,0,0) и (1,1,1,0) равен 3 как в евклидовом, так и в минковском 4-пространстве, тогда как квадрат расстояния между (0,0,0,0) и (1,1,1,1) равен 4 в евклидовом пространстве и 2 в пространстве Минковского; увеличение b 4 уменьшает метрическое расстояние. Это приводит ко многим известным кажущимся «парадоксам» относительности.
Перекрестное произведение не определено в четырех измерениях. Вместо этого для некоторых приложений используется внешнее произведение , которое определяется следующим образом:
Это бивекторное значение, с бивекторами в четырех измерениях, образующими шестимерное линейное пространство с базисом ( e 12 , e 13 , e 14 , e 23 , e 24 , e 34 ) . Их можно использовать для генерации вращений в четырех измерениях.
В привычном трехмерном пространстве повседневной жизни есть три оси координат — обычно обозначаемые x , y , и z — причем каждая ось ортогональна (т. е. перпендикулярна) двум другим. Шесть основных направлений в этом пространстве можно назвать вверх , вниз , восток , запад , север и юг . Положения вдоль этих осей можно назвать высотой , долготой и широтой . Длины, измеренные вдоль этих осей, можно назвать высотой , шириной и глубиной .
Для сравнения, четырехмерное пространство имеет дополнительную координатную ось, ортогональную трем другим, которая обычно обозначается как w . Для описания двух дополнительных основных направлений Чарльз Говард Хинтон ввел термины ana и kata , от греческих слов, означающих «вверх по направлению» и «вниз от» соответственно. [8] : 160
Как упоминалось выше, Герман Минковский использовал идею четырех измерений для обсуждения космологии, включая конечную скорость света . Добавляя временное измерение к трехмерному пространству, он указал альтернативную перпендикулярность, гиперболическую ортогональность . Это понятие обеспечивает его четырехмерное пространство модифицированной одновременностью , соответствующей электромагнитным отношениям в его космосе. Мир Минковского преодолел проблемы, связанные с традиционной абсолютной космологией пространства и времени , ранее использовавшейся во вселенной с тремя пространственными измерениями и одним временным измерением.
Геометрия четырехмерного пространства намного сложнее, чем трехмерного, из-за дополнительной степени свободы.
Так же, как в трех измерениях существуют многогранники, состоящие из двумерных многоугольников , в четырех измерениях существуют многохоры, состоящие из многогранников. В трех измерениях существуют 5 правильных многогранников, известных как Платоновы тела . В четырех измерениях существуют 6 выпуклых правильных 4-многогранников , аналогов Платоновых тел. Ослабление условий регулярности порождает еще 58 выпуклых однородных 4-многогранников , аналогичных 13 полуправильным архимедовым телам в трех измерениях. Ослабление условий выпуклости порождает еще 10 невыпуклых правильных 4-многогранников.
В трех измерениях круг может быть выдавлен , чтобы сформировать цилиндр . В четырех измерениях существует несколько различных цилиндроподобных объектов. Сфера может быть выдавлена, чтобы получить сферический цилиндр (цилиндр со сферическими «крышками», известный как сфериндер ), а цилиндр может быть выдавлен, чтобы получить цилиндрическую призму (кубиндер). [ необходима цитата ] Декартово произведение двух кругов может быть взято, чтобы получить дуоцилиндр . Все три могут «катиться» в четырехмерном пространстве, каждый со своими свойствами.
В трех измерениях кривые могут образовывать узлы , а поверхности — нет (если только они не являются самопересекающимися). В четырех измерениях, однако, узлы, образованные с помощью кривых, можно тривиально развязать, сместив их в четвертом направлении, но двумерные поверхности могут образовывать нетривиальные, несамопересекающиеся узлы в четырехмерном пространстве. [13] [ нужна страница ] Поскольку эти поверхности двумерны, они могут образовывать гораздо более сложные узлы, чем струны в трехмерном пространстве. Бутылка Клейна является примером такой узловой поверхности. [ нужна цитата ] Другая такая поверхность — это действительная проективная плоскость . [ нужна цитата ]
Множество точек в евклидовом 4-пространстве, имеющих одинаковое расстояние R от фиксированной точки P 0, образует гиперповерхность, известную как 3-сфера . Гиперобъем замкнутого пространства равен:
Это часть метрики Фридмана–Леметра–Робертсона–Уокера в общей теории относительности , где R заменяется функцией R ( t ), где t означает космологический возраст Вселенной. Рост или сжатие R со временем означает расширение или коллапс Вселенной в зависимости от плотности массы внутри. [14]
Исследования с использованием виртуальной реальности показывают, что люди, несмотря на то, что живут в трехмерном мире, могут без специальной практики делать пространственные суждения об отрезках линий, встроенных в четырехмерное пространство, на основе их длины (одномерных) и угла (двумерных) между ними. [15] Исследователи отметили, что «участники нашего исследования имели минимальную практику в этих задачах, и остается открытым вопрос, можно ли получить более устойчивые, определенные и более богатые 4D-представления с увеличенным перцептивным опытом в 4D-виртуальных средах». [15] В другом исследовании [16] была проверена способность людей ориентироваться в 2D, 3D и 4D-лабиринтах. Каждый лабиринт состоял из четырех сегментов пути случайной длины и соединялся ортогональными случайными изгибами, но без ветвей или петель (т. е. фактически лабиринтов ). Графический интерфейс был основан на бесплатной игре Джона Макинтоша 4D Maze. [17] Участники должны были пройти по пути и, наконец, оценить линейное направление обратно к исходной точке. Исследователи обнаружили, что некоторые из участников смогли мысленно интегрировать свой путь после некоторой практики в 4D (случаи с меньшими размерами были предназначены для сравнения и для того, чтобы участники могли изучить метод).
Однако обзор 2020 года подчеркнул, что эти исследования состоят из небольшой выборки субъектов и в основном из студентов колледжей. Он также указал на другие проблемы, которые должны решить будущие исследования: устранение артефактов (они могут быть вызваны, например, стратегиями решения требуемой задачи, которые не используют 4D-представление/4D-рассуждение и обратную связь, предоставленную исследователями для ускорения процесса адаптации) и анализ межсубъектной изменчивости (если 4D-восприятие возможно, его приобретение может быть ограничено подгруппой людей, определенным критическим периодом или вниманием или мотивацией людей). Кроме того, не определено, существует ли более подходящий способ проецирования 4-мерности (поскольку нет ограничений на то, как можно проецировать 4-мерность). Исследователи также выдвинули гипотезу, что приобретение человеком 4D-восприятия может привести к активации зрительных областей мозга и энторинальной коры . Если это так, они предполагают, что это можно использовать в качестве сильного индикатора приобретения восприятия 4D-пространства. Авторы также предложили использовать различные архитектуры нейронных сетей (с различными априорными предположениями), чтобы понять, какие из них способны к обучению, а какие нет. [18]
Чтобы понять природу четырехмерного пространства, обычно используется прием, называемый размерной аналогией . Размерная аналогия — это изучение того, как ( n − 1 ) измерений соотносятся с n измерениями, а затем вывод о том, как n измерений будут соотноситься с ( n + 1 ) измерениями. [19]
Аналогия измерений была использована Эдвином Эбботом Эбботом в книге «Flatland» , в которой рассказывается история о квадрате, живущем в двумерном мире, подобном поверхности листа бумаги. С точки зрения этого квадрата, трехмерное существо обладает, казалось бы, богоподобными силами, такими как способность доставать предметы из сейфа, не взламывая его (перемещая их через третье измерение), видеть все, что с двумерной точки зрения заключено за стенами, и оставаться полностью невидимым, стоя в нескольких дюймах от него в третьем измерении.
Применяя пространственную аналогию, можно сделать вывод, что четырехмерное существо было бы способно на подобные подвиги с трехмерной точки зрения. Руди Рукер иллюстрирует это в своем романе Spaceland , в котором главный герой сталкивается с четырехмерными существами, которые демонстрируют такие способности.
Когда трехмерный объект проходит через двумерную плоскость, двумерные существа в этой плоскости будут наблюдать только поперечное сечение трехмерного объекта в этой плоскости. Например, если сфера пройдет через лист бумаги, существа в бумаге сначала увидят одну точку. Круг постепенно увеличивается, пока не достигнет диаметра сферы, а затем снова уменьшается, пока не сожмется до точки и не исчезнет. Двумерные существа не увидят круг так же, как трехмерные существа; вместо этого они видят только одномерную проекцию круга на своей одномерной «сетчатке». Аналогично, если четырехмерный объект пройдет через трехмерную (гипер)поверхность, можно будет наблюдать трехмерное поперечное сечение четырехмерного объекта. Например, гиперсфера сначала появится как точка, затем как растущая сфера (пока не достигнет «гипердиаметра» гиперсферы), а затем сфера сожмется до одной точки, а затем исчезнет. [20] Этот способ визуализации аспектов четвертого измерения использовался в романе «Флатландия» , а также в нескольких работах Чарльза Говарда Хинтона . [8] : 11–14 И, таким же образом, трехмерные существа (например, люди с двухмерной сетчаткой) могут видеть все стороны и внутреннюю часть двухмерной фигуры одновременно, четырехмерное существо может видеть все грани и внутреннюю часть трехмерной фигуры одновременно с помощью своей трехмерной сетчатки.
Полезное применение размерной аналогии в визуализации более высоких измерений — проекция . Проекция — это способ представления n -мерного объекта в n − 1 измерении. Например, экраны компьютеров двумерны, и все фотографии трехмерных людей, мест и вещей представлены в двух измерениях путем проецирования объектов на плоскую поверхность. При этом измерение, ортогональное экрану ( глубина ), удаляется и заменяется косвенной информацией. Сетчатка глаза также представляет собой двумерный массив рецепторов , но мозг может воспринимать природу трехмерных объектов путем вывода из косвенной информации (такой как затенение, ракурс , бинокулярное зрение и т. д.). Художники часто используют перспективу, чтобы придать иллюзию трехмерной глубины двумерным изображениям. Тень , отбрасываемая фиктивной сеточной моделью вращающегося тессеракта на плоскую поверхность, как показано на рисунках, также является результатом проекций.
Аналогично, объекты в четвертом измерении могут быть математически спроецированы в знакомые три измерения, где их можно более удобно исследовать. В этом случае «сетчатка» четырехмерного глаза представляет собой трехмерный массив рецепторов. Гипотетическое существо с таким глазом воспринимало бы природу четырехмерных объектов, выводя четырехмерную глубину из косвенной информации в трехмерных изображениях на своей сетчатке.
Перспективная проекция трехмерных объектов на сетчатку глаза вносит артефакты, такие как ракурс, который мозг интерпретирует как глубину в третьем измерении. Таким же образом, перспективная проекция из четырех измерений производит похожие эффекты ракурса. Применяя пространственную аналогию, можно вывести четырехмерную «глубину» из этих эффектов.
В качестве иллюстрации этого принципа следующая последовательность изображений сравнивает различные виды трехмерного куба с аналогичными проекциями четырехмерного тессеракта в трехмерное пространство.
Тесно связанным с проекцией понятием является отбрасывание теней.
Если свет падает на трехмерный объект, то отбрасывается двумерная тень. По размерной аналогии, свет, падающий на двумерный объект в двумерном мире, отбрасывает одномерную тень, а свет, падающий на одномерный объект в одномерном мире, отбрасывает нульмерную тень, то есть точку не-света. Идя в другую сторону, можно сделать вывод, что свет, падающий на четырехмерный объект в четырехмерном мире, отбрасывает трехмерную тень.
Если каркас куба освещен сверху, то результирующая тень на плоской двумерной поверхности представляет собой квадрат внутри квадрата с соответствующими соединенными углами. Аналогично, если каркас тессеракта был освещен «сверху» (в четвертом измерении), его тень будет тенью трехмерного куба внутри другого трехмерного куба, подвешенного в воздухе («плоская» поверхность с четырехмерной перспективы). (Обратите внимание, что технически визуальное представление, показанное здесь, является двумерным изображением трехмерной тени четырехмерной каркасной фигуры.)
Аналогия измерений также помогает вывести основные свойства объектов в более высоких измерениях, такие как ограничивающая область . Например, двумерные объекты ограничены одномерными границами: квадрат ограничен четырьмя ребрами. Трехмерные объекты ограничены двумерными поверхностями: куб ограничен 6 квадратными гранями.
Применяя размерную аналогию, можно сделать вывод, что четырехмерный куб, известный как тессеракт , ограничен трехмерными объемами. И действительно, это так: математика показывает, что тессеракт ограничен 8 кубами. Знание этого является ключом к пониманию того, как интерпретировать трехмерную проекцию тессеракта. Границы тессеракта проецируются на объемы на изображении, а не просто на двумерные поверхности.
4-объем или гиперобъем в 4D можно вычислить в замкнутой форме для простых геометрических фигур, таких как тессеракт ( s 4 , для длины стороны s ) и 4-шар ( для радиуса r ).
Рассуждения по аналогии из знакомых меньших измерений могут быть прекрасным интуитивным руководством, но следует проявлять осторожность, чтобы не принимать результаты, которые не проверены более строго. Например, рассмотрим формулы для площади, ограниченной кругом в двух измерениях ( ) и объема, ограниченного сферой в трех измерениях ( ). Можно предположить, что объем, ограниченный сферой в четырехмерном пространстве, является рациональным кратным , но правильный объем равен . [12] Объем n -шара в произвольном измерении n вычисляется из рекуррентного соотношения, связывающего измерение n с измерением n - 2 .
Научно-фантастические тексты часто упоминают концепцию «измерения», когда речь идет о параллельных или альтернативных вселенных или других воображаемых планах существования . Такое использование происходит от идеи, что для путешествия в параллельные/альтернативные вселенные/планы существования нужно путешествовать в направлении/измерении помимо стандартных. По сути, другие вселенные/планы находятся всего лишь на небольшом расстоянии от наших, но это расстояние находится в четвертом (или более высоком) пространственном (или непространственном) измерении, а не в стандартных.
Одной из самых известных научно-фантастических историй, посвященных истинной геометрической размерности, и часто рекомендуемой в качестве отправной точки для тех, кто только начинает исследовать такие вопросы, является повесть 1884 года «Флатландия» Эдвина А. Эббота. Айзек Азимов в своем предисловии к изданию Signet Classics 1984 года описал «Флатландию» как «лучшее введение, которое можно найти в способ восприятия измерений».
Идея других измерений была включена во многие ранние научно-фантастические рассказы, появляясь заметно, например, в «Приложении и очках » Майлза Дж. Брейера ( 1928) и «Катапульте пятого измерения» Мюррея Лейнстера ( 1931); и нерегулярно появлялась в научной фантастике к 1940-м годам. Классические рассказы, включающие другие измерения, включают «И он построил скрюченный дом » Роберта А. Хайнлайна ( 1941), в котором калифорнийский архитектор проектирует дом на основе трехмерной проекции тессеракта; « Тигр за хвост» и «Вселенная между» Алана Э. Норса (обе 1951); и «Иф-оф-оф» (1957) Уолтера Тевиса . Другая ссылка — роман Мадлен Л'Энгл «Излом времени » (1962), в котором пятое измерение используется как способ «тессерактирования вселенной» или «складывания» пространства для быстрого перемещения по нему. Четвертое и пятое измерения также являются ключевыми компонентами книги « Мальчик, который перевернул себя» Уильяма Слейтора .
Иммануил Кант писал в 1783 году: «То, что везде пространство (которое само не является границей другого пространства) имеет три измерения и что пространство вообще не может иметь больше измерений, основано на положении, что не более трех линий могут пересекаться под прямым углом в одной точке. Это положение вообще не может быть показано из понятий, но непосредственно покоится на интуиции и, более того, на чистой интуиции a priori, поскольку она аподиктически (доказуемо) определена». [22]
«Пространство имеет четыре измерения» — короткий рассказ, опубликованный в 1846 году немецким философом и экспериментальным психологом Густавом Фехнером под псевдонимом «Доктор Мизес». Главный герой рассказа — тень, которая осознаёт и может общаться с другими тенями, но которая заперта на двухмерной поверхности. По словам Фехнера, этот «человек-тень» представлял себе третье измерение как измерение времени. [23] История имеет сильное сходство с « Аллегорией пещеры », представленной в « Государстве » Платона ( ок . 380 г. до н. э.).
Саймон Ньюкомб написал статью для Бюллетеня Американского математического общества в 1898 году под названием «Философия гиперпространства». [24] Линда Далримпл Хендерсон ввела термин «философия гиперпространства», используемый для описания письма, которое использует высшие измерения для исследования метафизических тем, в своей диссертации 1983 года о четвертом измерении в искусстве начала двадцатого века. [25] Примерами «философов гиперпространства» являются Чарльз Говард Хинтон , первый писатель, который в 1888 году использовал слово «тессеракт»; [26] и русский эзотерик П. Д. Успенский .
