Присоединиться (топология)

Геометрическое соединение двух отрезков . Исходные пространства показаны зеленым и синим цветом. Соединение представляет собой трехмерное тело, двуклиноид , серого цвета.

В топологии , области математики , соединение двух топологических пространств и , часто обозначаемое как или , является топологическим пространством, образованным путем взятия несвязного объединения двух пространств и присоединения отрезков прямых, соединяющих каждую точку в с каждой точкой в ​​. Соединение пространства с самим собой обозначается как . Соединение определяется несколько по-разному в разных контекстах ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\ast B}$ ${\displaystyle A\star B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{\star 2}:=A\star A}$

Геометрические множества

Если и являются подмножествами евклидова пространства , то: ^{[1] : 1} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ \{t\cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\in A,b\in B,t\in [0,1]\}}$,

то есть множество всех отрезков между точкой в ​​и точкой в ​​. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Некоторые авторы ^{[2] : 5} ограничивают определение подмножествами, которые являются соединяемыми : любые два различных отрезка, соединяющие точку A с точкой B, встречаются не более чем в общей конечной точке (то есть они не пересекаются внутри). Каждые два подмножества можно сделать «соединяемыми». Например, если находится в и находится в , то и соединяемы в . На рисунке выше показан пример для m=n=1, где и являются отрезками. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle A\times \{0^{m}\}\times \{0\}}$ ${\displaystyle \{0^{n}\}\times B\times \{1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+m+1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Примеры

• Объединение двух симплексов является симплексом: объединение n -мерного и m -мерного симплексов является ( m + n +1)-мерным симплексом. Некоторые особые случаи:
  • Соединение двух непересекающихся точек представляет собой интервал ( m = n =0).
  • Соединение точки и интервала представляет собой треугольник (m=0, n=1).
  • Соединение двух отрезков гомеоморфно сплошному тетраэдру или двуклиноиду , показанному на рисунке выше справа ( m = n =1).
  • Соединение точки и ( n -1)-мерного симплекса является n -мерным симплексом.
• Соединение точки и многоугольника (или любого многогранника ) — это пирамида , как соединение точки и квадрата — это квадратная пирамида . Соединение точки и куба — это кубическая пирамида .
• Соединение точки и окружности — это конус , а соединение точки и сферы — это гиперконус .

Топологические пространства

Если и — какие-либо топологические пространства, то: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ A\sqcup _{p_{0}}(A\times B\times [0,1])\sqcup _{p_{1}}B,}$

где цилиндр прикреплен к исходным пространствам и вдоль естественных проекций граней цилиндра: ${\displaystyle A\times B\times [0,1]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {A\times B\times \{0\}}\xrightarrow {p_{0}} A,}$

${\displaystyle {A\times B\times \{1\}}\xrightarrow {p_{1}} B.}$

Обычно неявно предполагается, что и непусты, и в этом случае определение часто формулируется немного иначе: вместо присоединения граней цилиндра к пространствам и , эти грани просто сжимаются способом, предложенным проекциями присоединения : мы образуем фактор-пространство ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\times B\times [0,1]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$

${\displaystyle A\star B\ :=\ (A\times B\times [0,1])/\sim ,}$

где отношение эквивалентности генерируется ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle (a,b_{1},0)\sim (a,b_{2},0)\quad {\mbox{for all }}a\in A{\mbox{ and }}b_{1},b_{2}\in B,}$

${\displaystyle (a_{1},b,1)\sim (a_{2},b,1)\quad {\mbox{for all }}a_{1},a_{2}\in A{\mbox{ and }}b\in B.}$

В конечных точках это сворачивается до и до . ${\displaystyle A\times B\times \{0\}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times B\times \{1\}}$ ${\displaystyle B}$

Если и являются ограниченными подмножествами евклидова пространства , а и , где являются непересекающимися подпространствами , размерность их аффинной оболочки которых равна (например, две непересекающиеся непараллельные прямые в ), то топологическое определение сводится к геометрическому определению, то есть «геометрическое соединение» гомеоморфно «топологическому соединению»: ^{[3] : 75, Предл. 4.2.4} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle A\subseteq U}$ ${\displaystyle B\subseteq V}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle dimU+dimV+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

${\displaystyle {\big (}(A\times B\times [0,1])/\sim {\big )}\simeq \{t\cdot a+(1-t)\cdot b~|~a\in A,b\in B,t\in [0,1]\}}$

Абстрактные симплициальные комплексы

Если и являются любыми абстрактными симплициальными комплексами , то их соединение является абстрактным симплициальным комплексом, определяемым следующим образом: ^{[3] : 74, Опр.4.2.1} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

• Множество вершин представляет собой непересекающееся объединение и . ${\displaystyle V(A\star B)}$ ${\displaystyle V(A)}$ ${\displaystyle V(B)}$
• Симплексы являются непересекающимися объединениями симплекса с симплексом : (в частном случае, когда и непересекающиеся, соединение просто ). ${\displaystyle A\star B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\star B:=\{a\sqcup b:a\in A,b\in B\}}$ ${\displaystyle V(A)}$ ${\displaystyle V(B)}$ ${\displaystyle \{a\cup b:a\in A,b\in B\}}$

Примеры

• Предположим , что и , то есть два множества с одной точкой. Тогда , что представляет собой отрезок прямой. Обратите внимание, что множества вершин A и B не пересекаются; в противном случае мы должны были бы сделать их непересекающимися. Например, где a ₁ и a ₂ — это две копии одного элемента в V(A). Топологически результат тот же, что и — отрезок прямой. ${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$ ${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\}\}}$ ${\displaystyle A\star B=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$ ${\displaystyle A^{\star 2}=A\star A=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}$ ${\displaystyle A\star B}$
• Предположим, что и . Тогда , что представляет собой треугольник. ${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$ ${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{b\},\{c\},\{b,c\}\}}$ ${\displaystyle A\star B=P(\{a,b,c\})}$
• Предположим , что и , то есть два множества с двумя дискретными точками. Тогда — комплекс с гранями , представляющий собой «квадрат». ${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}$ ${\displaystyle B=\{\emptyset ,\{c\},\{d\}\}}$ ${\displaystyle A\star B}$ ${\displaystyle \{a,c\},\{b,c\},\{a,d\},\{b,d\}}$

Комбинаторное определение эквивалентно топологическому определению в следующем смысле: ^[3] : ^{77, Упражнение.3} для любых двух абстрактных симплициальных комплексов и , гомеоморфно , где обозначает любую геометрическую реализацию комплекса . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ||A\star B||}$ ${\displaystyle ||A||\star ||B||}$ ${\displaystyle ||X||}$ ${\displaystyle X}$

Карты

При наличии двух карт и их соединение определяется на основе представления каждой точки в соединении как , для некоторых : ^{[3] : 77} ${\displaystyle f:A_{1}\to A_{2}}$ ${\displaystyle g:B_{1}\to B_{2}}$ ${\displaystyle f\star g:A_{1}\star B_{1}\to A_{2}\star B_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}\star B_{1}}$ ${\displaystyle t\cdot a+(1-t)\cdot b}$ ${\displaystyle a\in A_{1},b\in B_{1}}$

${\displaystyle f\star g~(t\cdot a+(1-t)\cdot b)~~=~~t\cdot f(a)+(1-t)\cdot g(b)}$

Особые случаи

Конус топологического пространства , обозначаемый , является соединением с одной точкой. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle CX}$ ${\displaystyle X}$

Подвеска топологического пространства , обозначаемая , является соединением с (0-мерной сферой , или дискретным пространством с двумя точками) . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle SX}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{0}}$

Характеристики

Коммутативность

Объединение двух пространств коммутативно с точностью до гомеоморфизма , т.е. ${\displaystyle A\star B\cong B\star A}$

Ассоциативность

Неверно , что операция соединения, определенная выше, ассоциативна с точностью до гомеоморфизма для произвольных топологических пространств. Однако для локально компактных хаусдорфовых пространств имеем Поэтому можно определить k -кратное соединение пространства с самим собой, ( k раз). ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle (A\star B)\star C\cong A\star (B\star C).}$ ${\displaystyle A^{*k}:=A*\cdots *A}$

Можно определить другую операцию соединения , которая использует тот же базовый набор, что и , но другую топологию, и эта операция ассоциативна для всех топологических пространств. Для локально компактных хаусдорфовых пространств и соединения и совпадают. ^[4] ${\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}$ ${\displaystyle A\star B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\star B}$ ${\displaystyle A\;{\hat {\star }}\;B}$

Гомотопическая эквивалентность

Если и гомотопически эквивалентны , то и гомотопически эквивалентны. ^{[3] : 77, Упражнение.2} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A\star B}$ ${\displaystyle A'\star B}$

Сокращенное соединение

При наличии базовых CW-комплексов и , «редуцированное соединение» ${\displaystyle (A,a_{0})}$ ${\displaystyle (B,b_{0})}$

${\displaystyle {\frac {A\star B}{A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}}$

гомеоморфна восстановленной суспензии

${\displaystyle \Sigma (A\wedge B)}$

продукта smash . Следовательно, поскольку является стягиваемым , существует гомотопическая эквивалентность ${\displaystyle {A\star \{b_{0}\}\cup \{a_{0}\}\star B}}$

${\displaystyle A\star B\simeq \Sigma (A\wedge B).}$

Эта эквивалентность устанавливает изоморфизм . ${\displaystyle {\widetilde {H}}_{n}(A\star B)\cong H_{n-1}(A\wedge B)\ {\bigl (}=H_{n-1}(A\times B/A\vee B){\bigr )}}$

Гомотопическая связность

Для двух триангулируемых пространств гомотопическая связность ( ) их соединения равна по крайней мере сумме связностей его частей: ^{[3] : 81, Предложение 4.4.3} ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }}$

• ${\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)\geq \eta _{\pi }(A)+\eta _{\pi }(B)}$.

В качестве примера, пусть будет набором из двух несвязных точек. Между точками есть одномерное отверстие, поэтому . Соединение представляет собой квадрат, который гомеоморфен кругу, имеющему двухмерное отверстие, поэтому . Соединение этого квадрата с третьей копией представляет собой октаэдр , который гомеоморфен , отверстие которого трехмерно. В общем случае соединение n копий гомеоморфно и . ${\displaystyle A=B=S^{0}}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(A)=\eta _{\pi }(B)=1}$ ${\displaystyle A*B}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(A*B)=2}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{0}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle \eta _{\pi }(S^{n-1})=n}$

Удалено присоединиться

Удаленное соединение абстрактного комплекса A — это абстрактный комплекс, содержащий все непересекающиеся объединения непересекающихся граней A : ^{[3] : 112}

${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}:a_{1},a_{2}\in A,a_{1}\cap a_{2}=\emptyset \}}$

Примеры

• Предположим (отдельная точка). Тогда , то есть дискретное пространство с двумя непересекающимися точками (напомним, что = интервал). ${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\}\}}$ ${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}:=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\}\}}$ ${\displaystyle A^{\star 2}=\{\emptyset ,\{a_{1}\},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\}}$
• Предположим (две точки). Тогда — комплекс с гранями (два непересекающихся ребра). ${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\}\}}$ ${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$ ${\displaystyle \{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\}}$
• Предположим (ребро). Тогда — комплекс с гранями (квадрат). Напомним, что представляет собой сплошной тетраэдр. ${\displaystyle A=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$ ${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$ ${\displaystyle \{a_{1},b_{1}\},\{a_{1},b_{2}\},\{a_{2},b_{1}\},\{a_{2},b_{2}\}}$ ${\displaystyle A^{\star 2}}$
• Предположим, что A представляет собой ( n -1)-мерный симплекс (с n вершинами). Тогда соединение является ( 2n- 1)-мерным симплексом (с 2 n вершинами): это множество всех точек (x ₁ ,...,x _2n ) с неотрицательными координатами, такими что x ₁ +...+x _2n =1. Удаленное соединение можно рассматривать как подмножество этого симплекса: это множество всех точек (x ₁ ,...,x _2n ) в этом симплексе, такими что единственными ненулевыми координатами являются некоторые k координат в x ₁ ,..,x _n , и дополнительные nk координат в x _n+1 ,...,x _2n . ${\displaystyle A^{\star 2}}$ ${\displaystyle A_{\Delta }^{*2}}$

Характеристики

Операция удаленного соединения коммутирует с соединением. То есть, для любых двух абстрактных комплексов A и B : ^{[3] : Лем.5.5.2}

${\displaystyle (A*B)_{\Delta }^{*2}=(A_{\Delta }^{*2})*(B_{\Delta }^{*2})}$

Доказательство . Каждый симплекс в левостороннем комплексе имеет вид , где , и не пересекаются. В силу свойств непересекающегося объединения последнее условие эквивалентно: не пересекаются и не пересекаются. ${\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1})\sqcup (a_{2}\sqcup b_{2})}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}$ ${\displaystyle (a_{1}\sqcup b_{1}),(a_{2}\sqcup b_{2})}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2}}$

Каждый симплекс в комплексе с правой стороны имеет вид , где , и не пересекаются и не пересекаются. Таким образом, наборы симплексов с обеих сторон совершенно одинаковы. □ ${\displaystyle (a_{1}\sqcup a_{2})\sqcup (b_{1}\sqcup b_{2})}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A,b_{1},b_{2}\in B}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2}}$ ${\displaystyle b_{1},b_{2}}$

В частности, удаленное соединение n-мерного симплекса с самим собой является n-мерным кроссполитопом , который гомеоморфен n-мерной сфере . ^{[3] : Cor.5.5.3} ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Обобщение

n -кратное k-удалённое соединение симплициального комплекса A определяется как:

${\displaystyle A_{\Delta (k)}^{*n}:=\{a_{1}\sqcup a_{2}\sqcup \cdots \sqcup a_{n}:a_{1},\cdots ,a_{n}{\text{ are k-wise disjoint faces of }}A\}}$, где «k-wise disjoint» означает, что каждое подмножество k имеет пустое пересечение.

В частности, n -кратное n -кратное удаленное соединение содержит все непересекающиеся объединения n граней, пересечение которых пусто, а n -кратное 2-кратное удаленное соединение меньше: оно содержит только непересекающиеся объединения n граней, которые попарно непересекаются. 2-кратное 2-кратное удаленное соединение — это простое удаленное соединение, определенное выше.

N - кратное 2-удалённое соединение дискретного пространства с m точками называется ( m , n ) -комплексом шахматной доски .

Смотрите также

• Десуспензия

Ссылки

1. Колин П. Рурк и Брайан Дж. Сандерсон (1982). Введение в кусочно-линейную топологию. Нью-Йорк: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-642-81735-9. ISBN 978-3-540-11102-3.
2. Брайант, Джон Л. (2001-01-01), Дэверман, Р. Дж.; Шер, Р. Б. (ред.), «Глава 5 — Кусочно-линейная топология», Справочник по геометрической топологии , Амстердам: Северная Голландия, стр. 219–259, ISBN 978-0-444-82432-5, получено 2022-11-15
3. Matoušek, Jiří (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером., Раздел 4.3
4. Фоменко, Анатолий; Фукс, Дмитрий (2016). Гомотопическая топология (2-е изд.). Springer. стр. 20.

• Хэтчер, Аллен , Алгебраическая топология. Cambridge University Press, Кембридж, 2002. xii+544 стр. ISBN 0-521-79160-X и ISBN 0-521-79540-0  
• В данной статье использованы материалы Join on PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
• Браун, Рональд , Топология и группоиды, Раздел 5.7. Соединения.