Кватернионное проективное пространство

Понятие в математике

В математике кватернионное проективное пространство является расширением идей действительного проективного пространства и комплексного проективного пространства на случай, когда координаты лежат в кольце кватернионов. Кватернионное проективное пространство размерности n обычно обозначается как ${\displaystyle \mathbb {H} .}$

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

и является замкнутым многообразием (действительной) размерности 4 n . Это однородное пространство для действия группы Ли , более чем одним способом. Кватернионная проективная прямая гомеоморфна 4-сфере. ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{1}}$

В координатах

Его прямая конструкция есть частный случай проективного пространства над алгеброй с делением . Однородные координаты точки можно записать

${\displaystyle [q_{0},q_{1},\ldots ,q_{n}]}$

где являются кватернионами, не все из которых равны нулю. Два набора координат представляют одну и ту же точку, если они «пропорциональны» левому умножению на ненулевой кватернион c ; то есть мы отождествляем все ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle [cq_{0},cq_{1}\ldots ,cq_{n}]}$.

На языке групповых действий , является орбитальным пространством по действию , мультипликативной группы ненулевых кватернионов. Сначала проецируя на единичную сферу внутри, можно также рассматривать как орбитальное пространство по действию , группу единичных кватернионов. ^[1] Сфера тогда становится главным Sp(1)-расслоением над : ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}\setminus \{(0,\ldots ,0)\}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ ${\displaystyle S^{4n+3}}$ ${\displaystyle {\text{Sp}}(1)}$ ${\displaystyle S^{4n+3}}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

${\displaystyle \mathrm {Sp} (1)\to S^{4n+3}\to \mathbb {HP} ^{n}.}$

Это расслоение иногда называют (обобщенным) расслоением Хопфа .

Существует также построение с помощью двумерных комплексных подпространств , то есть лежит внутри комплексного грассманиана . ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2n}}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$

Топология

Теория гомотопии

Пространство , определяемое как объединение всех конечных ' по включению, является классифицирующим пространством BS ³ . Гомотопические группы задаются как Известно, что эти группы очень сложны и, в частности, они не равны нулю для бесконечного числа значений . Однако у нас есть, что ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \pi _{i}(\mathbb {HP} ^{\infty })=\pi _{i}(BS^{3})\cong \pi _{i-1}(S^{3}).}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \pi _{i}(\mathbb {HP} ^{\infty })\otimes \mathbb {Q} \cong {\begin{cases}\mathbb {Q} &i=4\\0&i\neq 4\end{cases}}}$

Отсюда следует, что рационально, т.е. после локализации пространства, есть пространство Эйленберга–Маклейна . То есть (ср. пример K(Z,2) ). См. рациональную гомотопическую теорию . ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{\infty }}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Q} ,4)}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} _{\mathbb {Q} }^{\infty }\simeq K(\mathbb {Z} ,4)_{\mathbb {Q} }.}$

В общем случае имеет ячеистую структуру с одной ячейкой в ​​каждом измерении, кратном 4, вплоть до . Соответственно, его когомологическое кольцо равно , где — 4-мерный генератор. Это аналогично комплексному проективному пространству. Это также следует из рациональной гомотопической теории, которая имеет бесконечные гомотопические группы только в размерностях 4 и . ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [v]/v^{n+1}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$ ${\displaystyle 4n+3}$

Дифференциальная геометрия

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}}$несет естественную риманову метрику, аналогичную метрике Фубини-Штуди на , относительно которой она является компактным кватернионно-кэлеровым симметричным пространством с положительной кривизной. ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Кватернионное проективное пространство можно представить как пространство смежных классов

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{n}=\operatorname {Sp} (n+1)/\operatorname {Sp} (n)\times \operatorname {Sp} (1)}$

где — компактная симплектическая группа . ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$

Характерные классы

Так как , его касательное расслоение стабильно тривиально. Касательные расслоения остальных имеют нетривиальные классы Штифеля–Уитни и Понтрягина . Общие классы задаются следующими формулами: ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{1}=S^{4}}$

${\displaystyle w(\mathbb {HP} ^{n})=(1+u)^{n+1}}$

${\displaystyle p(\mathbb {HP} ^{n})=(1+v)^{2n+2}(1+4v)^{-1}}$

где — генератор, а — его сокращение по модулю 2. ^[2] ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle H^{4}(\mathbb {HP} ^{n};\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle u}$

Особые случаи

Кватернионная проективная прямая

Одномерное проективное пространство над называется «проективной прямой» в обобщении комплексной проективной прямой . Например, оно было использовано (неявно) в 1947 году П. Г. Гормли для расширения группы Мёбиуса до контекста кватернионов с дробно-линейными преобразованиями . О дробно-линейных преобразованиях ассоциативного кольца с 1 см. проективная прямая над кольцом и группа гомографии GL(2, A ). ${\displaystyle \mathbb {H} }$

С топологической точки зрения кватернионная проективная прямая — это 4-сфера, и на самом деле это диффеоморфные многообразия. Расслоение, упомянутое ранее, происходит от 7-сферы и является примером расслоения Хопфа .

Явные выражения для координат для 4-сферы можно найти в статье о метрике Фубини–Штуди .

Кватернионная проективная плоскость

8-мерное пространство имеет действие окружности , посредством группы комплексных скаляров абсолютной величины 1, действующих с другой стороны (то есть справа, поскольку соглашение о действии c выше находится слева). Следовательно, фактор-многообразие ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}}$

${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}/\mathrm {U} (1)}$

можно взять, записав U(1) для группы окружности . Было показано, что этот фактор является 7- сферой , результатом Владимира Арнольда из 1996 года, позже переоткрытой Эдвардом Виттеном и Майклом Атья .

Ссылки

1. Naber, Gregory L. (2011) [1997]. "Физическая и геометрическая мотивация". Топология, геометрия и калибровочные поля . Тексты по прикладной математике. Т. 25. Springer. стр. 50. doi :10.1007/978-1-4419-7254-5_0. ISBN 978-1-4419-7254-5.
2. Щарба, Р. Х. (1964). «О касательных расслоениях расслоенных пространств и факторпространств» (PDF) . American Journal of Mathematics . 86 (4): 685–697. doi :10.2307/2373152. JSTOR  2373152.

Дальнейшее чтение

• Арнольд, В.И. (1999). "Относительные отношения фактора комплексной проективной плоскости по комплексному сопряжению". Труды Матем. ин-та Стеклова . 224 : 56–6. CiteSeerX  10.1.1.50.6421 .Рассматривает аналог упомянутого результата для кватернионного проективного пространства и 13-сферы.
• Гормли, ПГ (1947), «Стереографическая проекция и линейная дробная группа преобразований кватернионов», Труды Королевской Ирландской академии, Раздел A , 51 : 67–85, JSTOR  20488472