Линейное дробное преобразование

В математике дробно -линейное преобразование — это, грубо говоря, обратимое преобразование вида

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}.

Точное определение зависит от природы $a, b, c, d$ и $z$ . Другими словами, дробно-линейное преобразование — это преобразование , которое представлено дробью , числитель и знаменатель которой линейны .

В самом простом случае $a, b, c, d$ и $z$ являются комплексными числами (в этом случае преобразование также называется преобразованием Мёбиуса ) или, в более общем смысле, элементами поля . Тогда условие обратимости будет $ad - bc \neq 0$ . Над полем дробно-линейное преобразование — это ограничение на поле проективного преобразования или гомографии проективной прямой .

Когда $a, b, c, d$ являются целыми числами (или, в более общем смысле, принадлежат области целой области ), предполагается, что $z$ является рациональным числом (или принадлежит полю дробных области целой области. В этом случае условие обратимости состоит в том, что $ad - bc$ должно быть единицей области определения (то есть $1$ или $-1$ в случае целых чисел ^{[1] ).}

В самом общем случае $a, b, c, d$ и $z$ являются элементами кольца , например квадратными матрицами . Примером такого дробно-линейного преобразования является преобразование Кэли , которое первоначально было определено на кольце вещественных матриц 3×3 .

Дробно-линейные преобразования широко используются в различных областях математики и ее приложениях к технике, таких как классическая геометрия , теория чисел (они используются, например, в доказательстве Уайлса Великой теоремы Ферма ), теория групп , теория управления .

Общее определение

В общем, дробно-линейное преобразование — это гомография P $(A)$ , проективной прямой над кольцом $A.$ Когда $A$ — коммутативное кольцо , то дробно-линейное преобразование имеет знакомый вид

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}},

где $a, b, c, d$ — элементы $A$ такие, что $ad$ $- bc является$ единицей A ( то есть $ad$ $-$ $bc$ имеет мультипликативную инверсию в $A$ )

В некоммутативном кольце $A$ с $(z, t)$ в $A 2$ единицы $u$ определяют отношение эквивалентности. Класс эквивалентности в проективной прямой над A обозначается $U$ $[$ $z$ $:$ $t$ $]$ , где скобки обозначают проективные координаты . Тогда дробно-линейные преобразования действуют справа от элемента $P($ $A$ $)$ : $(z,t)\sim (uz,ut).$

U[z:t]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+tb:\ zc+td]\sim U[(zc+td)^{-1 }(za+tb):\ 1].

Кольцо вложено в свою проективную прямую по $z \to U [z : 1]$ , поэтому $t = 1$ восстанавливает обычное выражение. Это дробно-линейное преобразование четко определено, поскольку $U [za + tb : zc + td]$ не зависит от того, какой элемент выбран из его класса эквивалентности для операции.

Дробно-линейные преобразования над $A$ образуют группу , проективную линейную группу , обозначаемую $\operatorname {PGL} _{2}(A).$

Группа дробно-линейных преобразований называется модулярной группой . Оно широко изучалось из-за его многочисленных приложений к теории чисел , к которым относится, в частности, доказательство Уайлса Великой теоремы Ферма . $\operatorname {PGL} _{2}(\mathbb {Z})$

Использование в гиперболической геометрии

На комплексной плоскости обобщенная окружность представляет собой либо линию, либо окружность. После завершения точки, находящейся в бесконечности, обобщенные круги на плоскости соответствуют кругам на поверхности сферы Римана , выражению комплексной проективной линии. Дробно-линейные преобразования переставляют местами эти окружности на сфере и соответствующие им конечные точки обобщенных окружностей на комплексной плоскости.

Для построения моделей гиперболической плоскости в качестве точек используются единичный круг и верхняя полуплоскость . Этим подмножествам комплексной плоскости предоставляется метрика с метрикой Кэли – Клейна . Затем расстояние между двумя точками вычисляется с использованием обобщенного круга, проходящего через точки и перпендикулярного границе подмножества, используемого для модели. Этот обобщенный круг пересекает границу в двух других точках. Все четыре точки используются в перекрестном отношении , которое определяет метрику Кэли-Клейна. Дробно-линейные преобразования оставляют перекрестные отношения инвариантными, поэтому любое дробно-линейное преобразование, которое оставляет стабильным единичный диск или верхние полуплоскости, является изометрией метрического пространства гиперболической плоскости . Поскольку Анри Пуанкаре объяснил эти модели, они были названы в его честь: модель диска Пуанкаре и модель полуплоскости Пуанкаре . Каждая модель имеет группу изометрий, которая является подгруппой группы Мебиуса : группа изометрии для модели диска - $SU(1, 1)$ , где дробно-линейные преобразования являются «специальными унитарными», а для верхней полуплоскости изометрия группа — это $PSL(2, R)$ , проективная линейная группа дробно-линейных преобразований с вещественными элементами и определителем, равным единице. ^[2]

Использование в высшей математике

Преобразования Мёбиуса обычно появляются в теории цепных дробей и в аналитической теории чисел эллиптических кривых и модулярных форм , поскольку она описывает автоморфизмы верхней полуплоскости под действием модулярной группы . Он также представляет собой канонический пример расслоения Хопфа , где геодезический поток , индуцированный дробно-линейным преобразованием, разлагает комплексное проективное пространство на стабильные и неустойчивые многообразия , при этом орициклы появляются перпендикулярно геодезическим. См. «Поток Аносова» для проработанного примера расслоения: в этом примере геодезические задаются дробным линейным преобразованием.

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot i\exp(t)={\frac {ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d }},

с $a$ , $b$ , $c$ и $d$ вещественными, с $ad - bc = 1$ . Грубо говоря, центральное многообразие порождается параболическими преобразованиями , неустойчивое многообразие — гиперболическими преобразованиями, а устойчивое многообразие — эллиптическими преобразованиями.

Использование в теории управления

Дробно-линейные преобразования широко используются в теории управления для решения задач взаимоотношений объекта и контроллера в машиностроении и электротехнике . ^[3]^[4] Общая процедура объединения дробно-линейных преобразований со звездным произведением Редхеффера позволяет применять их к теории рассеяния общих дифференциальных уравнений, включая S-матричный подход в квантовой механике и квантовой теории поля, рассеяние акустические волны в средах (например, термоклины и подводные лодки в океанах и т. д.) и общий анализ рассеяния и связанных состояний в дифференциальных уравнениях. Здесь компоненты матрицы 3 × 3 относятся к входящему, связанному и исходящему состояниям. Возможно, самый простой пример применения дробно-линейных преобразований происходит при анализе затухающего гармонического осциллятора . Другое элементарное применение — получение нормальной формы Фробениуса , т. е. сопутствующей матрицы многочлена.

Конформное свойство

Коммутативные кольца расщепленных комплексных чисел и двойственных чисел присоединяются к обычным комплексным числам как кольца, выражающие угол и «вращение». В каждом случае экспоненциальное отображение , примененное к мнимой оси, производит изоморфизм между однопараметрическими группами в $(A, + )$ и в группе единиц $(U, \times )$ : ^[5]

\exp(yj)=\cosh y+j\sinh y,\quad j^{2}=+1,

\exp(y\epsilon)=1+y\epsilon,\quad \epsilon ^{2}=0,

\exp(yi)=\cos y+i\sin y,\quad i^{2}=-1.

«Угол» $y$ — это гиперболический угол , наклон или круговой угол в зависимости от основного кольца.

Показано, что дробно-линейные преобразования являются конформными отображениями путем рассмотрения их образующих : мультипликативной инверсии $z \to 1/ z$ и аффинных преобразований $z \to az + b$ . Конформность можно подтвердить, показав, что все генераторы конформны. Перевод $z \to z + b$ представляет собой изменение начала координат и не влияет на угол. Чтобы увидеть, что $z$ $\to az конформно$ , рассмотрим полярное разложение a и $z$ . В каждом случае угол $a$ добавляется к углу $z,$ в результате чего получается конформное отображение. Наконец, инверсия конформна, поскольку $z$ $\to 1/$ $z$ отправляет $\exp(yb)\mapsto \exp(-yb),\quad b^{2}=1,0,-1.$