Преобразования Лагерра

Преобразования Лагерра или аксиальные гомографии являются аналогом преобразований Мёбиуса над дуальными числами . ^{[1] [2] [3] [4]} При изучении этих преобразований двойственные числа часто интерпретируются как представляющие ориентированные линии на плоскости. ^[1] Преобразования Лагерра отображают линии в линии и включают, в частности, все изометрии плоскости .

Строго говоря, эти преобразования действуют на проективную прямую двойственного числа , которая сопрягает с двойственными числами множество точек, удаленных на бесконечность. Топологически эта проективная линия эквивалентна цилиндру. Точки на этом цилиндре находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с ориентированными линиями на плоскости.

Определение

Преобразование Лагерра — это дробно-линейное преобразование , в котором все двойственные числа лежат на проективной прямой двойственных чисел и не являются делителем нуля . ${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$ ${\displaystyle a,b,c,d}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle ad-bc}$

Двойственное число – это гиперкомплексное число вида где но . Это можно сравнить с комплексными числами вида где . ${\displaystyle x+y\varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$ ${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$ ${\displaystyle x+yi}$ ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Точки проективной линии двойного числа можно определить эквивалентно двумя способами:

1. Обычный набор двойственных чисел, но с некоторыми дополнительными «точками в бесконечности». Формально это набор . Точки на бесконечности можно выразить как где — произвольное действительное число. Разные значения соответствуют разным точкам на бесконечности. Эти точки бесконечны, потому что их часто понимают как бесконечно малое число, и поэтому они бесконечны. ${\displaystyle \{x+y\varepsilon \mid x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}\cup \left\{{\frac {1}{x\varepsilon }}\mid x\in \mathbb {R} \right\}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{x\varepsilon }}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle 1/\varepsilon }$
2. Однородные координаты [ x  : y ] с двойственными числами x и y , так что идеал , который они порождают, представляет собой целое кольцо двойственных чисел. Кольцо рассматривается через инъекцию x ↦ [ x  : 1]. Проективная прямая включает точки [1: yε ].

Координаты линии

Линия, образующая угол с осью X и точка пересечения которой обозначена , представлена ​​двойным числом. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle z=\tan(\theta /2)(1+\varepsilon s).}$

Вышеупомянутое не имеет смысла, когда линия параллельна оси X. В этом случае if then устанавливает , где находится точка пересечения линии по оси Y. Это может показаться неверным, поскольку происходит деление на делитель нуля, но это допустимая точка на проективной двойственной прямой. Если тогда установить . ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle z={\frac {-2}{\varepsilon R}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta =2\pi }$ ${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\varepsilon R}$

Наконец, обратите внимание, что эти координаты представляют собой ориентированные линии. Ориентированная линия — это обычная линия, к которой прикреплена одна из двух возможных ориентаций. Это видно из того факта, что при увеличении к этому времени результирующий представитель двойного числа не будет тем же самым. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pi }$

Матричные представления

Приведенные выше координаты линии можно выразить как однородные координаты, где — расстояние по перпендикуляру линии от начала координат. Такое представление имеет множество преимуществ. Одним из преимуществ является то, что нет необходимости разбивать на разные случаи, например, параллельность оси и непараллельность. Другое преимущество состоит в том, что эти однородные координаты можно интерпретировать как векторы , что позволяет нам умножать их на матрицы. ${\displaystyle z=\left[\sin \left({\frac {\theta +\varepsilon R}{2}}\right):\cos \left({\frac {\theta +\varepsilon R}{2}}\right)\right]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$

Каждое преобразование Лагерра можно представить в виде матрицы 2×2 , элементы которой являются двойственными числами. Матричное представление равно (но обратите внимание, что любое ненильпотентное скалярное кратное этой матрицы представляет одно и то же преобразование Лагерра). Кроме того, пока определитель матрицы 2×2 с элементами двойного числа не является нильпотентным , он представляет собой преобразование Лагерра. ${\displaystyle z\mapsto {\frac {pz+q}{rz+s}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}}$

(Обратите внимание, что выше мы представляем однородный вектор очевидным образом как вектор-столбец, а не как вектор-строку.) ${\displaystyle [z:w]}$

Точки, ориентированные линии и ориентированные окружности

Преобразования Лагерра не действуют на точки. Это связано с тем, что если три ориентированные прямые проходят через одну и ту же точку, их изображения при преобразовании Лагерра не обязательно должны встречаться в одной точке.

Преобразования Лагерра можно рассматривать как действующие как на ориентированные окружности, так и на ориентированные прямые. Ориентированный круг — это обычный круг с прикрепленным к нему двоичным значением, которое равно или . Единственным исключением является круг нулевого радиуса, имеющий ориентацию, равную . Точка определяется как ориентированная окружность нулевого радиуса. Если ориентированная окружность имеет ориентацию, равную , то говорят, что окружность ориентирована « против часовой стрелки »; если он имеет ориентацию, равную тогда, он ориентирован « по часовой стрелке ». Радиус ориентированного круга определяется как радиус лежащего в основе неориентированного круга, умноженный на ориентацию. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle r}$

Образ ориентированной окружности при преобразовании Лагерра — это еще одна ориентированная окружность. Если две ориентированные фигуры — круги или линии — касаются друг друга, то их изображения при преобразовании Лагерра также касаются друг друга. Две ориентированные окружности считаются касающимися, если лежащие в их основе окружности касаются и их ориентации равны в точке контакта. Касание линий и окружностей определяется аналогично. Преобразование Лагерра может сопоставить точку с ориентированной окружностью, которая больше не является точкой.

Ориентированную окружность никогда нельзя отобразить в ориентированную линию. Точно так же ориентированная линия никогда не может быть отображена в ориентированную окружность. Это противоположно геометрии Мёбиуса , где линии и окружности могут быть сопоставлены друг с другом, но ни одна из них не может быть сопоставлена ​​с точками. И геометрия Мёбиуса, и геометрия Лагерра являются подгеометриями геометрии сферы Ли , где точки и ориентированные линии могут быть сопоставлены друг с другом, но касание остается сохраненным.

Матричные представления ориентированных окружностей (которые включают точки, но не прямые) представляют собой в точности обратимые косоэрмитовые двойственные числовые матрицы. Все они имеют форму (где все переменные действительны и ). Набор ориентированных прямых, касающихся ориентированной окружности, задается формулой где обозначает проективную линию над двойственными числами . Применение преобразования Лагерра, представленного к ориентированному кругу, представленному, дает ориентированный круг, представленный . Радиус ориентированной окружности равен половине трассы . Тогда ориентация является знаком следа. ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle H={\begin{pmatrix}\varepsilon a&b+c\varepsilon \\-b+c\varepsilon &\varepsilon d\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle b\neq 0}$ ${\displaystyle \{v\in \mathbb {DP} ^{1}\mid v^{*}Hv=0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {DP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (M^{-1})^{*}HM^{-1}}$

Профиль

Рисунок 1: Два круга изначально с противоположной ориентацией, подвергающиеся осевому расширению.

Обратите внимание, что на анимированных рисунках ниже показаны некоторые ориентированные линии, но без какого-либо визуального указания ориентации линии (поэтому две линии, которые различаются только ориентацией, отображаются одинаково); ориентированные окружности изображаются как набор ориентированных касательных линий, что приводит к определенному визуальному эффекту.

Следующее можно найти в книге Исаака Яглома « Комплексные числа в геометрии» и в статье Гутина, озаглавленной « Обобщения сингулярного разложения на двунумерованные матрицы» . ^{[1] [5]}

Унитарные матрицы

Отображения формы выражают движения твердого тела (иногда называемые прямыми евклидовыми изометриями ). Матричные представления этих преобразований охватывают подалгебру, изоморфную плоским кватернионам . ${\displaystyle z\mapsto {\frac {pz-q}{{\bar {q}}z+{\bar {p}}}}}$

Отображение представляет собой отражение относительно оси X. ${\displaystyle z\mapsto -z}$

Преобразование выражает отражение относительно оси Y. ${\displaystyle z\mapsto 1/z}$

Заметьте, что если — матричное представление любой комбинации трех вышеуказанных преобразований, но нормализованное так, чтобы иметь определитель , то удовлетворяет условиям где означает . Мы будем называть эти унитарные матрицы. Однако обратите внимание, что они унитарные в смысле двойственных, а не комплексных чисел. Унитарные матрицы точно выражают евклидовы изометрии . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle UU^{*}=U^{*}U=I}$ ${\displaystyle U^{*}}$ ${\displaystyle {\overline {U}}^{\mathrm {T} }}$

Матрицы осевого расширения

Осевое расширение на единицы – это трансформация формы . Осевое расширение на единицы увеличивает радиус всех ориентированных окружностей на единицы, сохраняя при этом их центры. Если круг имеет отрицательную ориентацию, то его радиус считается отрицательным, и поэтому при некоторых положительных значениях круг фактически сжимается. Осевое расширение изображено на рисунке 1, на котором два круга противоположной ориентации подвергаются одному и тому же осевому расширению. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\frac {z+(\varepsilon t/2)}{(-\varepsilon t/2)z+1}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

На линиях осевое расширение на единицы отображает любую линию в линию , такую, что и параллельны, а расстояние по перпендикуляру между и равно . Линии, параллельные, но имеющие противоположную ориентацию, движутся в противоположных направлениях. ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle t}$

Действительные диагональные матрицы

Рисунок 2: Сетка линий, подвергающихся изменениям между и . ${\displaystyle z\mapsto kz}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 10}$

Рисунок 3: Два круга, которые изначально различаются только ориентацией, претерпевают трансформацию при изменении от и . ${\displaystyle z\mapsto kz}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 10}$

Преобразование реального значения сохраняет точку пересечения линии по оси X, изменяя при этом ее угол относительно оси x. См. рисунок 2, чтобы наблюдать эффект на сетке линий (включая ось X посередине), и рисунок 3, чтобы наблюдать эффект на двух кругах, которые изначально отличаются только ориентацией (чтобы увидеть, что результат чувствителен к ориентации). ${\displaystyle z\mapsto kz}$ ${\displaystyle k}$

Общее разложение

Объединив все это вместе, общее преобразование Лагерра в матричной форме может быть выражено как где и унитарны, и представляет собой матрицу либо вида, либо где и являются действительными числами. Матрицы и выражают евклидовы изометрии . Матрица представляет собой либо трансформацию формы , либо осевое расширение. Сходство с разложением по сингулярным значениям должно быть очевидным. ^[5] ${\displaystyle USV^{*}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\varepsilon \\b\varepsilon &a\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle z\mapsto kz}$

Примечание. В случае осевого расширения коэффициент можно установить в соответствии с единичной матрицей. Это следует из того, что если унитарно и представляет собой осевое расширение, то видно, что , где обозначает транспонирование . Так . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle SV={\begin{cases}VS,&\det(V)=+1\\VS^{\mathrm {T} },&\det(V)=-1\end{cases}}}$ ${\displaystyle S^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle USV^{*}={\begin{cases}(UV^{*})S,&\det(V)=+1\\(UV^{*})S^{\mathrm {T} },&\det(V)=-1\end{cases}}}$

Другие системы счисления ипараллельный постулат

Комплексные числа и эллиптическая геометрия

Возникает вопрос: что произойдет, если роль двойственных чисел, указанных выше, изменить на комплексные числа? В этом случае комплексные числа представляют собой ориентированные линии в эллиптической плоскости (плоскости, над которой действует эллиптическая геометрия). В этом отличие от двойственных чисел, которые представляют собой ориентированные линии в евклидовой плоскости. Эллиптическая плоскость по сути представляет собой сферу (но в которой идентифицированы противоположные точки ), а линии, таким образом, представляют собой большие круги . Мы можем выбрать произвольный большой круг в качестве экватора . Ориентированный большой круг, который пересекает экватор по долготе и образует с экватором угол в точке пересечения, может быть представлен комплексным числом . В случае, когда (когда линия буквально такая же, как экватор, но ориентирована в направлении, противоположном тому, когда ) ориентированная линия обозначается как . Как и в случае с двойственными числами, унитарные матрицы действуют как изометрии эллиптической плоскости . Набор «эллиптических преобразований Лагерра» (которые являются аналогами преобразований Лагерра в этом случае) можно разложить с помощью разложения по сингулярным значениям комплексных матриц аналогично тому, как мы разлагали евклидовы преобразования Лагерра, используя аналог разложения по сингулярным значениям. для двучисловых матриц. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \tan(\theta /2)(\cos(s)+i\sin(s))}$ ${\displaystyle \theta =\pi }$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \infty }$

Сплит-комплексные числа и гиперболическая геометрия

Пример последовательности гиперболических преобразований Лагерра, которые отображают круг в орицикл в гиперцикл и сходятся к прямой. Здесь используются расщепленные комплексные числа.

Если роль двойственных чисел или комплексных чисел изменить на расщепленные комплексные числа , то аналогичный формализм можно разработать для представления ориентированных прямых на гиперболической плоскости вместо евклидовых или эллиптических плоскостей: можно записать расщепленное комплексное число. в виде , поскольку рассматриваемая алгебра изоморфна . (Обратите внимание, что в *-алгебре , в отличие от простой алгебры , расщепляемые комплексные числа не разлагаются таким образом). Члены и представляют собой точки на границе гиперболической плоскости; они соответственно являются начальной и конечной точками ориентированной линии. Так как граница гиперболической плоскости гомеоморфна проективной прямой , то нам необходимо и принадлежать проективной прямой, а не аффинной прямой . Действительно, это намекает на это . ${\displaystyle (a,-b^{-1})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (a,-b^{-1})}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} )\mathbb {P} ^{1}\cong \mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}\oplus \mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}}$

Аналогом унитарных матриц над расщепленными комплексными числами являются изометрии гиперболической плоскости . Это показывает Яглом. ^[1] Кроме того, набор дробно-линейных преобразований можно разложить способом, напоминающим разложение по сингулярным значениям, но который также объединяет его с разложением Джордана . ^{[6] [1]}

Краткое содержание

Таким образом, у нас есть соответствие между тремя плоскими системами счисления (комплексными, двойственными и расщепленно-комплексными числами) и тремя неевклидовыми геометриями . Система счисления, соответствующая евклидовой геометрии, — это двойственные числа .

В высших измерениях

евклидов

n-мерное пространство Лагерра изоморфно n + 1 пространству Минковского . Чтобы связать точку в пространстве Минковского с ориентированной гиперсферой, пересеките световой конус с центром в гиперплоскости. Группа преобразований Лагерра тогда изоморфна группе Пуанкаре . Эти преобразования — это именно те преобразования, которые сохраняют своего рода квадрат расстояния между ориентированными кругами, называемый их произведением Дарбу . Прямые преобразования Лагерра определяются как подгруппа . В двумерном пространстве прямые преобразования Лагерра могут быть представлены двойственными числовыми матрицами размером 2×2. Если двойственные числовые матрицы 2 × 2 понимать как составляющие алгебру Клиффорда , то аналогичные алгебраические представления Клиффорда возможны в более высоких измерениях. ${\displaystyle P=(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},r)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}\rtimes \operatorname {O} (n,1)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}\rtimes \operatorname {O} ^{+}(n,1)}$ ${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2,0,1}(\mathbb {R} )}$

Если мы вложим пространство Минковского в проективное пространство , сохранив при этом группу преобразований, то точки на бесконечности станут ориентированными плоскостями. Мы называем их «плоскими», потому что их форма плоская. В двух измерениях это ориентированные линии. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n,1}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{n+1}}$

Кроме того, существует два неэквивалентных определения преобразования Лагерра: либо как преобразование сферы Ли , сохраняющее ориентированные плоскости, либо как преобразование сферы Ли, сохраняющее произведение Дарбу. В этой статье мы используем последнее соглашение. Обратите внимание, что даже в двумерном пространстве первая группа преобразований является более общей, чем вторая: гомотетия, например , отображает ориентированные прямые в ориентированные прямые, но, как правило, не сохраняет произведение Дарбу. Это можно продемонстрировать, используя гомотетию с центром в единицах . Теперь рассмотрим действие этого преобразования на два круга: один представляет собой просто точку , а другой представляет собой круг рейдусов с центром в . Эти два круга имеют произведение Дарбу, равное . Их изображения при гомотетии имеют произведение Дарбу, равное . Следовательно, это дает преобразование Лагерра только тогда, когда . ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle -t^{2}}$ ${\displaystyle t^{2}=1}$

Конформная интерпретация

В этом разделе мы интерпретируем преобразования Лагерра иначе, чем в остальной части статьи. При воздействии на линейные координаты преобразования Лагерра не считаются конформными в описанном здесь смысле. Это наглядно продемонстрировано на рисунке 2.

Преобразования Лагерра сохраняют углы, когда определен правильный угол для двойственной числовой плоскости. Когда луч y = mx , x ≥ 0 и положительная ось x принимаются за стороны угла, наклон m является величиной этого угла.

Это число m соответствует площади со знаком прямоугольного треугольника с основанием на отрезке [(√2,0), (√2, m √2)] . Линия {1 + aε : a ∈ ℝ} с умножением двойственных чисел образует подгруппу единичных двойственных чисел, причем каждый элемент представляет собой сдвиговое отображение при действии на двойственной числовой плоскости. В результате такого действия создаются другие углы в плоскости, и, поскольку отображение сдвига сохраняет площадь, размер этих углов такой же, как и исходный.

Обратите внимание, что инверсия z в 1/ z оставляет размер угла неизменным. Поскольку общее преобразование Лагерра генерируется трансляциями, расширениями, сдвигами и инверсиями, и все они оставляют угол инвариантным, общее преобразование Лагерра конформно в смысле этих углов. ^{[2] : 81}

Смотрите также

• Эдмон Лагерр
• Самолет Лагерра
• Исаак Яглом
• Координаты линии

Рекомендации

1. Яглом, Исаак Моисеевич (1968). Комплексные числа в геометрии. Академическая пресса.Первоначально опубликовано как « Комплексные числа и их применение в геометрии» (на русском языке). Москва: Физматгиз. 1963 год
2. Болт, Майкл; Фердинандс, Тимоти; Кавли, Лэндон (2009). «Наиболее общие плоские преобразования, отображающие параболы в параболы». Включите: Математический журнал . 2 (1): 79–88. дои : 10.2140/involve.2009.2.79 . ISSN  1944-4176.
3. Филлмор, Джей П.; Спрингер, Артур (1 марта 1995 г.). «Новые евклидовы теоремы с использованием преобразований Лагерра — Некоторые геометрии (2+1)-пространства Минковского». Журнал геометрии . 52 (1): 74–90. дои : 10.1007/BF01406828. ISSN  1420-8997. S2CID  122511184.
4. Барретт, Дэвид Э.; Болт, Майкл (июнь 2010 г.). «Длина дуги Лагерра по функциям расстояния». Азиатский математический журнал . 14 (2): 213–234. дои : 10.4310/AJM.2010.v14.n2.a3 . ISSN  1093-6106.
5. Гутин, Ран (23 марта 2021 г.). «Обобщения разложения по сингулярным числам на двунумерованные матрицы». Линейная и полилинейная алгебра : 1–8. дои : 10.1080/03081087.2021.1903830 . ISSN  0308-1087.
6. Гутин, Ран (17 мая 2021 г.). «Матричное разложение по расщепленным комплексным числам». arXiv : 2105.08047 [math.RA].

Внешние ссылки

• «Ориентированные круги и трехмерная релятивистская геометрия» Элементарное видео, знакомящее с концепциями геометрии Лагерра. Видео представлено с точки зрения рациональной тригонометрии.