Группа Пуанкаре

Группа плоских симметрий пространства-времени

Анри Пуанкаре

Группа Пуанкаре , названная в честь Анри Пуанкаре (1906), ^[1] была впервые определена Германом Минковским (1908) как группа изометрий пространства-времени Минковского . ^{[2] [3]} Это десятимерная неабелева группа Ли , которая играет важную роль в нашем понимании самых основных основ физики .

Обзор

Изометрия пространства-времени Минковского обладает тем свойством, что интервал между событиями остается неизменным. Например, если бы все было отложено на два часа, включая два события и путь, по которому вы прошли от одного к другому, то интервал времени между событиями, зафиксированный секундомером, который вы носили с собой, был бы одинаковым. Или если бы все сместилось на пять километров к западу или повернулось на 60 градусов вправо, вы бы тоже не увидели никаких изменений в интервале. Оказывается, такой сдвиг не влияет и на собственную длину объекта. Обращение времени или пространства (отражение) также является изометрией этой группы.

В пространстве Минковского (т. е. без учета эффектов гравитации ) существует десять степеней свободы изометрий , которые можно рассматривать как перемещение во времени или пространстве (четыре степени, по одной на каждое измерение); отражение через плоскость (три степени, свобода ориентации этой плоскости); или « ускорение » в любом из трех пространственных направлений (три градуса). Композиция преобразований — это операция группы Пуанкаре, при которой собственные вращения производятся как композиция четного числа отражений.

В классической физике группа Галилея представляет собой сравнимую группу с десятью параметрами, действующую на абсолютное время и пространство . Вместо ускорений он использует сдвиговые отображения для связи сопутствующих систем отсчета.

Симметрия Пуанкаре

Симметрия Пуанкаре — это полная симметрия специальной теории относительности . Оно включает:

• трансляции (смещения) во времени и пространстве ( P ), образующие абелеву группу Ли сдвигов в пространстве-времени;
• вращения в пространстве, образующие неабелеву группу Ли трехмерных вращений ( J );
• повышения , преобразования, соединяющие два равномерно движущихся тела ( К ).

Последние две симметрии, J и K , вместе составляют группу Лоренца (см. также Лоренц-инвариантность ); полупрямое произведение группы переводов и группы Лоренца затем дает группу Пуанкаре. Говорят, что объекты, инвариантные относительно этой группы, обладают инвариантностью Пуанкаре или релятивистской инвариантностью .

10 генераторов (в четырех измерениях пространства-времени), связанных с симметрией Пуанкаре, по теореме Нётер , подразумевают 10 законов сохранения: ^{[4] [5]}

• 1 для энергии – связано с перемещением во времени.
• 3 для импульса – связан с перемещением через пространственные измерения.
• 3 для углового момента, связанного с вращением между пространственными измерениями.
• 3 для скорости центра масс, связанной с гиперболическими вращениями между каждым пространственным измерением и временем.

Группа Пуанкаре

Группа Пуанкаре — это группа изометрий пространства-времени Минковского . Это десятимерная некомпактная группа Ли . Абелева группа переводов — нормальная подгруппа , а группа Лоренца — также подгруппа, стабилизатор начала координат. Сама группа Пуанкаре является минимальной подгруппой аффинной группы , которая включает в себя все сдвиги и преобразования Лоренца . Точнее, это полупрямое произведение сдвигов и группы Лоренца,

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)\,,}$

с групповым умножением

${\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)}$. ^[6]

Другими словами, группа Пуанкаре является групповым расширением группы Лоренца посредством ее векторного представления ; ее иногда неофициально называют неоднородной группой Лоренца . В свою очередь, его также можно получить как групповое сжатие группы де Ситтера SO(4, 1) ~ Sp(2, 2) при стремлении радиуса де Ситтера к бесконечности.

Его унитарные неприводимые представления с положительной энергией индексируются массой (неотрицательное число) и спином ( целое или полуцелое) и связаны с частицами в квантовой механике (см. классификацию Вигнера ).

В соответствии с программой Эрлангена геометрия пространства Минковского определяется группой Пуанкаре: пространство Минковского рассматривается как однородное пространство для группы.

В квантовой теории поля универсальное накрытие группы Пуанкаре

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} ),}$

который можно отличить по двойной крышке

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {Spin} (1,3),}$

более важно, поскольку представления не способны описывать поля со спином 1/2; то есть фермионы . Вот группа комплексных матриц с единичным определителем, изоморфная спиновой группе Лоренца . ${\displaystyle \operatorname {SO} (1,3)}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbf {C} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Spin} (1,3)}$

Алгебра Пуанкаре

Алгебра Пуанкаре — это алгебра Ли группы Пуанкаре. Это расширение алгебры Ли алгебры Ли группы Лоренца. Точнее, собственная ( ), ортохронная ( ) часть подгруппы Лоренца (ее единичный компонент ), , связана с единицей и, таким образом, обеспечивается возведением в степень этой алгебры Ли . В компонентной форме алгебра Пуанкаре задается коммутационными соотношениями: ^{[7] [8]} ${\textstyle \det \Lambda =1}$ ${\textstyle {\Lambda ^{0}}_{0}\geq 1}$ ${\textstyle \mathrm {SO} (1,3)_{+}^{\uparrow }}$ ${\textstyle \exp \left(ia_{\mu }P^{\mu }\right)\exp \left({\frac {i}{2}}\omega _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },P_{\rho }]&=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,\\{\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]&=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,,\end{aligned}}}$

где – генератор сдвигов, – генератор преобразований Лоренца, – метрика Минковского (см. Соглашение о знаках ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle (+,-,-,-)}$

Нижнее коммутационное соотношение представляет собой («однородную») группу Лоренца, состоящую из вращений и повышений . В этих обозначениях вся алгебра Пуанкаре выражается на нековариантном (но более практичном) языке как ${\textstyle J_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{imn}M^{mn}}$ ${\textstyle K_{i}=M_{i0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}[][J_{m},P_{n}]&=i\epsilon _{mnk}P_{k}~,\\[][J_{i},P_{0}]&=0~,\\[][K_{i},P_{k}]&=i\eta _{ik}P_{0}~,\\[][K_{i},P_{0}]&=-iP_{i}~,\\[][J_{m},J_{n}]&=i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\\[][J_{m},K_{n}]&=i\epsilon _{mnk}K_{k}~,\\[][K_{m},K_{n}]&=-i\epsilon _{mnk}J_{k}~,\end{aligned}}}$

где нижний коммутатор двух повышающих частот часто называют «вращением Вигнера». Упрощение позволяет свести подалгебру Лоренца к связанным с ней представлениям и эффективно обрабатывать их . По физическим параметрам имеем ${\textstyle [J_{m}+iK_{m},\,J_{n}-iK_{n}]=0}$ ${\textstyle {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\mathcal {H}},p_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},L_{i}\right]&=0\\\left[{\mathcal {H}},K_{i}\right]&=i\hbar cp_{i}\\\left[p_{i},p_{j}\right]&=0\\\left[p_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}p_{k}\\\left[p_{i},K_{j}\right]&={\frac {i\hbar }{c}}{\mathcal {H}}\delta _{ij}\\\left[L_{i},L_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\\\left[L_{i},K_{j}\right]&=i\hbar \epsilon _{ijk}K_{k}\\\left[K_{i},K_{j}\right]&=-i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}\end{aligned}}}$

Инвариантами Казимира этой алгебры являются и где – псевдовектор Паули–Любанского ; они служат ярлыками для репрезентаций группы. ${\textstyle P_{\mu }P^{\mu }}$ ${\textstyle W_{\mu }W^{\mu }}$ ${\textstyle W_{\mu }}$

Группа Пуанкаре является полной группой симметрии любой релятивистской теории поля . В результате все элементарные частицы попадают в представления этой группы . Они обычно определяются квадратом четырехимпульса каждой частицы (т.е. квадратом ее массы) и собственными квантовыми числами , где – спиновое квантовое число, – четность , а – квантовое число зарядового сопряжения . На практике зарядовое сопряжение и четность нарушаются многими квантовыми теориями поля ; где это происходит, и утрачиваются. Поскольку симметрия CPT инвариантна в квантовой теории поля, квантовое число обращения времени может быть построено на основе заданных чисел. ${\textstyle J^{PC}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$

Как топологическое пространство группа имеет четыре связных компонента: компонент идентичности; компонент, обращенный во времени; компонент пространственной инверсии; и компонент, который одновременно обращен во времени и в пространстве. ^[9]

Другие размеры

Приведенные выше определения можно легко обобщить на произвольные измерения. d -мерная группа Пуанкаре аналогично определяется полупрямым произведением

${\displaystyle \operatorname {IO} (1,d-1):=\mathbf {R} ^{1,d-1}\rtimes \operatorname {O} (1,d-1)}$

с аналогичным умножением

${\displaystyle (\alpha ,f)\cdot (\beta ,g)=(\alpha +f\cdot \beta ,\;f\cdot g)}$. ^[6]

Алгебра Ли сохраняет свою форму, а индексы µ и ν теперь принимают значения от 0 до d − 1 . Альтернативное представление в терминах J _i и Ki не имеет аналога в более высоких измерениях _.

Супер-Алгебра Пуанкаре

Связанное с этим наблюдение заключается в том, что представления группы Лоренца включают пару неэквивалентных двумерных комплексных спинорных представлений , тензорное произведение которых является присоединенным представлением . Этот последний бит можно отождествить с самим четырехмерным пространством Минковского (в отличие от отождествления его с частицей со спином 1, как это обычно делается для пары фермионов , например, пиона , состоящего из пары кварк -антикварк). Это убедительно свидетельствует о том, что алгебру Пуанкаре можно расширить, включив в нее спиноры. Это приводит непосредственно к понятию супералгебры Пуанкаре . Математическая привлекательность этой идеи заключается в том, что мы работаем с фундаментальными представлениями , а не с присоединенными представлениями. Физическая привлекательность этой идеи заключается в том, что фундаментальные представления соответствуют фермионам , которые наблюдаются в природе. Однако до сих пор подразумеваемая здесь суперсимметрия , симметрия между пространственным и фермионным направлениями, не наблюдалась экспериментально в природе. Экспериментальную проблему можно грубо сформулировать как вопрос: если мы живем в присоединенном представлении (пространстве-времени Минковского), то где скрывается фундаментальное представление? ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\overline {2}}}$ ${\displaystyle 2\otimes {\overline {2}}=3\oplus 1}$

Смотрите также

• Евклидова группа
• Галилейская группа
• Теория представлений группы Пуанкаре
• Классификация Вигнера
• Симметрия в квантовой механике
• Псевдовектор Паули – Любанского
• Физика элементарных частиц и теория представлений
• Частица с непрерывным спином

Примечания

1. Пуанкаре, Анри (декабрь 1906 г.), «Sur la Dynamique de l'Electron»  , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129–176, Бибкод : 1906RCMP...21..129P, doi : 10.1007/bf03013466, hdl :2027/uiug.30112063899089, S2CID  120211823( Перевод из Wikisource : О динамике электрона). Группу, определенную в этой статье, теперь можно было бы описать как однородную группу Лоренца со скалярными множителями.
2. Минковский, Герман, «Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern»  , Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse : 53–111(Перевод из Wikisource: Фундаментальные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах).
3. Минковский, Герман, «Raum und Zeit»  , Physikalische Zeitschrift , 10 : 75–88.
4. «Обзор симметрии и законов сохранения: больше Пуанкаре» (PDF) . www.frankwilczek.com . Проверено 14 февраля 2021 г.
5. Барнетт, Стивен М (01.06.2011). «О шести компонентах оптического углового момента». Журнал оптики . 13 (6): 064010. Бибкод : 2011JOpt...13f4010B. дои : 10.1088/2040-8978/13/6/064010. ISSN  2040-8978. S2CID  55243365.
6. Облак, Благое (01 августа 2017 г.). Частицы БМС в трех измерениях. Спрингер. п. 80. ИСБН 9783319618784.
7. Н. Н. Боголюбов (1989). Общие принципы квантовой теории поля (2-е изд.). Спрингер. п. 272. ИСБН 0-7923-0540-Х.
8. Т. Олссон (2011). Релятивистская квантовая физика: от продвинутой квантовой механики к вводной квантовой теории поля. Издательство Кембриджского университета. п. 10. ISBN 978-1-13950-4324.
9. «Темы: Группа Пуанкаре» . www.phy.olemiss.edu . Проверено 18 июля 2021 г.

Рекомендации

• У-Ки Тунг (1985). Теория групп в физике . Мировое научное издательство. ISBN 9971-966-57-3.
• Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей . Том. 1. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55001-7.
• Л. Х. Райдер (1996). Квантовая теория поля (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 62. ИСБН 0-52147-8146.