Присоединенное представление

Математический термин

В математике присоединенное представление (или присоединенное действие ) группы Ли G — это способ представления элементов группы как линейных преобразований алгебры Ли группы , рассматриваемой как векторное пространство . Например, если G — это группа Ли вещественных обратимых матриц размером n на n , то присоединенное представление — это групповой гомоморфизм, который переводит обратимую матрицу размером n на n в эндоморфизм векторного пространства всех линейных преобразований матрицы. определяется: . ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$

Для любой группы Ли это естественное представление получается путем линеаризации (т. е. взятия дифференциала ) действия G на себя путем сопряжения . Присоединенное представление может быть определено для линейных алгебраических групп над произвольными полями .

Определение

Пусть G — группа Ли и пусть

${\displaystyle \Psi :G\to \operatorname {Aut} (G)}$

— отображение g ↦ Ψ _g , где Aut( G ) группа автоморфизмов группы G и Ψ g _: G → G , заданная внутренним автоморфизмом (сопряжением)

${\displaystyle \Psi _{g}(h)=ghg^{-1}~.}$

Это Ψ является гомоморфизмом группы Ли .

Для каждого g в G определите Ad _g как производную от Ψ _g в начале координат:

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G}$

где d — дифференциал и — касательное пространство в начале координат e ( e — единичный элемент группы G ). Поскольку Ad g является автоморфизмом группы Ли, Ad _g является автоморфизмом алгебры Ли ; т.е. обратимое линейное преобразование в себя, сохраняющее скобку Ли . Более того, поскольку является гомоморфизмом группы, то также является гомоморфизмом группы. ^[1] Следовательно, отображение ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{e}G}$ ${\displaystyle \Psi _{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle g\mapsto \Psi _{g}}$ ${\displaystyle g\mapsto \operatorname {Ad} _{g}}$

${\displaystyle \mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto \mathrm {Ad} _{g}}$

представляет собой групповое представление , называемое присоединенным представлением G .

Если G — погруженная подгруппа Ли общей линейной группы (называемой иммерсально линейной группой Ли), то алгебра Ли состоит из матриц, а экспоненциальное отображение является матричной экспонентой для матриц X с малыми операторными нормами. Мы вычислим производную от at . Для g в G и малого X в кривая имеет производную при t = 0, тогда получается: ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {exp} (X)=e^{X}}$ ${\displaystyle \Psi _{g}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle t\to \exp(tX)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(X)=(d\Psi _{g})_{e}(X)=(\Psi _{g}\circ \exp(tX))'(0)=(g\exp(tX)g^{-1})'(0)=gXg^{-1}}$

где справа у нас есть произведения матриц. Если — замкнутая подгруппа (то есть G — матричная группа Ли), то эта формула справедлива для всех g в G и всех X в . ${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Вкратце, присоединенное представление — это представление изотропии , связанное с действием сопряжения G вокруг единичного элемента G .

Производное от объявления

Всегда можно перейти от представления группы Ли G к представлению ее алгебры Ли , взяв производную в единице.

Взяв производную присоединенного отображения

${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$

в единичном элементе дает присоединенное представление алгебры Ли группы G : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ad} :&\,{\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})\\&\,x\mapsto \operatorname {ad} _{x}=d(\operatorname {Ad} )_{e}(x)\end{aligned}}}$

где - алгебра Ли которой может быть отождествлена ​​с алгеброй вывода . Это можно показать ${\displaystyle \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Lie} (\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,}$

для всех , где правая часть задана (индуцирована) скобкой Ли векторных полей . Действительно, ^[2] напоминает, что, если рассматривать его как алгебру Ли левоинвариантных векторных полей на G , скобка on задается как: ^[3] для левоинвариантных векторных полей X , Y , ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(d\varphi _{-t}(Y)-Y)}$

где обозначает поток , порождаемый X. Как выяснилось, примерно потому, что обе стороны удовлетворяют одному и тому же ОДУ, определяющему поток. То есть где обозначает правильное умножение на . С другой стороны, поскольку по правилу цепочки ${\displaystyle \varphi _{t}:G\to G}$ ${\displaystyle \varphi _{t}(g)=g\varphi _{t}(e)}$ ${\displaystyle \varphi _{t}=R_{\varphi _{t}(e)}}$ ${\displaystyle R_{h}}$ ${\displaystyle h\in G}$ ${\displaystyle \Psi _{g}=R_{g^{-1}}\circ L_{g}}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=d(R_{g^{-1}}\circ L_{g})(Y)=dR_{g^{-1}}(dL_{g}(Y))=dR_{g^{-1}}(Y)}$

поскольку Y левоинвариантен. Следовательно,

${\displaystyle [X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(\operatorname {Ad} _{\varphi _{t}(e)}(Y)-Y)}$,

что и нужно было показать.

Таким образом, совпадает с тем же, что и определенный в § Присоединенное представление алгебры Ли ниже. Ad и ad связаны экспоненциальным отображением : в частности, Ad _{exp( x )} = exp(ad _x ) для всех x в алгебре Ли. ^[4] Это следствие общего результата, связывающего гомоморфизмы группы Ли и алгебры Ли через экспоненциальное отображение. ^[5] ${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$

Если G — иммерсально линейная группа Ли, то приведенное выше вычисление упрощается: действительно, как отмечалось ранее и, следовательно, с , ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{g}(Y)=gYg^{-1}}$ ${\displaystyle g=e^{tX}}$

${\displaystyle \operatorname {Ad} _{e^{tX}}(Y)=e^{tX}Ye^{-tX}}$.

Взяв производную от этого , мы имеем: ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{X}Y=XY-YX}$.

Общий случай также можно вывести из линейного случая: действительно, пусть — иммерсально линейная группа Ли, имеющая ту же алгебру Ли, что и G . Тогда производная Ad в единице для G и для G ' совпадают; следовательно, без ограничения общности, G можно считать G ' . ${\displaystyle G'}$

Обозначение верхнего/строчного регистра широко используется в литературе. Так, например, вектор x в алгебре порождает векторное поле X в группе G . Аналогично, сопряженное отображение ad _x y = [ x , y ] векторов в гомоморфно ^{[ необходимы пояснения ]} производной Ли L _X Y = [ X , Y ] векторных полей на группе G , рассматриваемой как многообразие . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Далее смотрите производную экспоненциального отображения .

Присоединенное представление алгебры Ли

Пусть – алгебра Ли над некоторым полем. Учитывая элемент x алгебры Ли , можно определить присоединенное действие x на как отображение ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]}$

для всех вас . Это называется присоединенным эндоморфизмом или присоединенным действием . ( также часто обозначается как .) Поскольку скобка билинейна, это определяет линейное отображение ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (x)}$

${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),[\;,\;])}$

задано x ↦ ad _x . Внутри End скобка по определению задается коммутатором двух операторов: ${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle [T,S]=T\circ S-S\circ T}$

где обозначает композицию линейных карт. Используя приведенное выше определение скобки, тождество Якоби ${\displaystyle \circ }$

${\displaystyle [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0}$

принимает форму

${\displaystyle \left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)}$

где x , y и z — произвольные элементы . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Это последнее тождество говорит о том, что ad является гомоморфизмом алгебры Ли; т. е. линейное отображение, которое переводит скобки в скобки. Следовательно, ad является представлением алгебры Ли и называется присоединенным представлением алгебры . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Если конечномерна и для нее выбран базис, то является алгеброй Ли квадратных матриц и композиция соответствует умножению матриц . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$

На более теоретико-модульном языке конструкция говорит, что это модуль над собой. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Ядро рекламы — это ее центр (это просто перефразирование определения). С другой стороны, для каждого элемента z в линейное отображение подчиняется закону Лейбница : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \delta =\operatorname {ad} _{z}}$

${\displaystyle \delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]}$

для всех x и y в алгебре (переформулировка тождества Якоби). Другими словами, ad _z является дифференцированием , а образ under ad является подалгеброй Der , пространством всех дифференцирований . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Когда — алгебра Ли группы Ли G , ad — дифференциал Ad в единичном элементе группы G. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$

Существует следующая формула, аналогичная формуле Лейбница : для скаляров и элементов алгебры Ли ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle (\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}[y,z]=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha )^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta )^{n-i}z\right].}$

Структурные константы

Явные матричные элементы присоединенного представления задаются структурными константами алгебры. То есть пусть {e ⁱ } будет набором базисных векторов алгебры с

${\displaystyle [e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.}$

Тогда матричные элементы для ad _{e ⁱ} имеют вид

${\displaystyle {\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.}$

Так, например, присоединенное представление su(2) является определяющим представлением so(3) .

Примеры

• Если G абелева размерности n , присоединенное представление G является тривиальным n -мерным представлением.
• Если G — матричная группа Ли (т. е. замкнутая подгруппа ), то ее алгебра Ли представляет собой алгебру матриц n × n с коммутатором для скобки Ли (т. е. подалгебра ). В этом случае сопряженное отображение определяется как Ad _g ( x ) = gxg ⁻¹ . ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}$
• Если G представляет собой SL(2, R ) (вещественные матрицы 2×2 с определителем 1), алгебра Ли группы G состоит из вещественных матриц 2×2 со следом 0. Представление эквивалентно представлению, заданному действием G линейным подстановка в пространстве бинарных (т. е. с двумя переменными) квадратичных форм .

Характеристики

В следующей таблице суммированы свойства различных карт, упомянутых в определении.

Образ G при присоединенном представлении обозначается Ad( G ) . Если G связна , то ядро ​​присоединенного представления совпадает с ядром Ψ, которое и является центром G. Следовательно, присоединенное представление связной группы Ли G является точным тогда и только тогда, когда G бесцентрна. В более общем смысле, если G несвязен, то ядро ​​присоединенного отображения является централизатором единичного компонента G ₀ группы G . По первой теореме об изоморфизме имеем

${\displaystyle \mathrm {Ad} (G)\cong G/Z_{G}(G_{0}).}$

Учитывая конечномерную вещественную алгебру Ли , по третьей теореме Ли , существует связная группа Ли , чья алгебра Ли является образом присоединенного представления (т. е .). Она называется присоединенной группой . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Теперь, если – алгебра Ли связной группы Ли G , то – образ присоединенного представления G : . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Ad} (G)}$

Корни полупростой группы Ли

Если G полупроста , ненулевые веса присоединенного представления образуют систему корней . ^[6] (Вообще, прежде чем продолжить, необходимо перейти к комплексификации алгебры Ли.) Чтобы увидеть, как это работает, рассмотрим случай G = SL( n , R ). Мы можем взять группу диагональных матриц Diag( t ₁ , ...,  t _n ) в качестве максимального тора T . Сопряжение элементом T отправляет

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.}$

Таким образом, T действует тривиально на диагональной части алгебры Ли группы G и с собственными векторами t _i t _j ⁻¹ на различных недиагональных элементах. Корнями G являются веса diag( t ₁ , ..., t _n ) → t _i t _j ⁻¹ . Это объясняет стандартное описание корневой системы G  = SL _n ( R ) как набора векторов формы e _i − e _j .

Пример SL(2, R)

При вычислении системы корней для одного из простейших случаев групп Ли группа SL(2, R ) двумерных матриц с определителем 1 состоит из набора матриц вида:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}}$

где a , b , c , d вещественные и ad  -  bc  = 1.

Максимальная компактная связная абелева подгруппа Ли или максимальный тор T задается подмножеством всех матриц вида

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&t_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\exp(\theta )&0\\0&\exp(-\theta )\\\end{bmatrix}}}$

с . Алгеброй Ли максимального тора является подалгебра Картана, состоящая из матриц ${\displaystyle t_{1}t_{2}=1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\theta &0\\0&-\theta \\\end{bmatrix}}=\theta {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}-\theta {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}=\theta (e_{1}-e_{2}).}$

Если мы сопрягаем элемент SL(2, R ) с элементом максимального тора, получим

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}at_{1}&bt_{1}\\c/t_{1}&d/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&bt_{1}^{2}\\ct_{1}^{-2}&d\\\end{bmatrix}}}$

Матрицы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}}$

тогда являются «собственными векторами» операции сопряжения с собственными значениями . Функция Λ, которая дает, является мультипликативным характером или гомоморфизмом тора группы в основное поле R. Функция λ, дающая θ, является весом алгебры Ли с весовым пространством, заданным размахом матриц. ${\displaystyle 1,1,t_{1}^{2},t_{1}^{-2}}$ ${\displaystyle t_{1}^{2}}$

Приятно показать мультипликативность характера и линейность веса. Далее можно доказать, что дифференциал Λ можно использовать для создания веса. Также полезно рассмотреть случай SL(3, R ).

Варианты и аналоги

Присоединенное представление также можно определить для алгебраических групп над любым полем. ^{[ нужны разъяснения ]}

Косопряженное представление является контргредиентным представлением присоединенного представления. Александр Кириллов заметил, что орбита любого вектора в косопряжённом представлении является симплектическим многообразием . Согласно философии теории представлений, известной как метод орбит (см. также формулу характера Кириллова ), неприводимые представления группы Ли G должны быть каким-то образом проиндексированы ее косопряженными орбитами. Эта связь наиболее близка в случае нильпотентных групп Ли .

Смотрите также

• Присоединенное расслоение  - расслоение алгебры Ли, связанное с любым основным расслоением присоединенным представлением.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback

Примечания

1. Действительно, по правилу цепочки , ${\displaystyle \operatorname {Ad} _{gh}=d(\Psi _{gh})_{e}=d(\Psi _{g}\circ \Psi _{h})_{e}=d(\Psi _{g})_{e}\circ d(\Psi _{h})_{e}=\operatorname {Ad} _{g}\circ \operatorname {Ad} _{h}.}$
2. Кобаяши и Номидзу 1996, стр. 41.
3. Кобаяши и Номидзу 1996, Предложение 1.9.
4. Зал 2015 г., Предложение 3.35.
5. Холл, 2015 г., Теорема 3.28.
6. Зал 2015 г., раздел 7.3.

Рекомендации

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. МР  1153249. OCLC  246650103.
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Том. 1 (Новое изд.). Уайли-Интерсайенс. ISBN 978-0-471-15733-5.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666.