Псевдовектор Паули – Любанского

Оператор в квантовой теории поля

В физике псевдовектор Паули -Любанского — это оператор , определяемый импульсом и угловым моментом , используемый в квантово-релятивистском описании углового момента. Он назван в честь Вольфганга Паули и Юзефа Любанского , ^[1]

Он описывает спиновые состояния движущихся частиц. ^[2] Это генератор маленькой группы группы Пуанкаре , то есть максимальной подгруппы (с четырьмя генераторами), оставляющей собственные значения вектора четырехимпульсов P µ _{инвариантными} . ^[3]

Определение

Обычно он обозначается W (реже S ) и определяется как: ^{[4] [5] [6]}

${\displaystyle W_{\mu }\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\tfrac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },}$

где

• ${\displaystyle \varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }}$— четырехмерный полностью антисимметричный символ Леви-Чивита ;
• ${\displaystyle J^{\nu \rho }}$– релятивистский оператор тензора углового момента ( ); ${\displaystyle M^{\nu \rho }}$
• ${\displaystyle P^{\sigma }}$— оператор четырех импульсов .

На языке внешней алгебры его можно записать как двойственный по Ходжу тривектор , ^[7]

$${\displaystyle \mathbf {W} =\star (\mathbf {J} \wedge \mathbf {p} ).}$$

Обратите внимание , а Где – генератор вращений и – генератор бустов. ${\displaystyle W_{0}={\vec {J}}\cdot {\vec {P}}}$ ${\displaystyle {\vec {W}}=E{\vec {J}}-{\vec {P}}\times {\vec {K}}.}$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle {\vec {K}}}$

W _µ, очевидно, удовлетворяет

$${\displaystyle P^{\mu }W_{\mu }=0,}$$

а также следующие коммутаторные соотношения:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[P^{\mu },W^{\nu }\right]&=0,\\\left[J^{\mu \nu },W^{\rho }\right]&=i\left(g^{\rho \nu }W^{\mu }-g^{\rho \mu }W^{\nu }\right),\end{aligned}}}$$

Следовательно,

$${\displaystyle \left[W_{\mu },W_{\nu }\right]=-i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }W^{\rho }P^{\sigma }.}$$

Скаляр W _µ W ^µ является лоренц-инвариантным оператором, коммутирует с четырехимпульсом и, таким образом, может служить меткой для неприводимых унитарных представлений группы Пуанкаре . То есть он может служить меткой для спина , особенности пространственно-временной структуры представления, помимо релятивистски-инвариантной метки P _µ P ^µ для массы всех состояний в представлении.

Маленькая группа

На собственном пространстве оператора 4-импульса с собственным значением 4-импульса гильбертова пространства квантовой системы (или, если уж на то пошло, стандартного представления с ℝ ⁴ , интерпретируемого как пространство импульса , на которое действуют матрицы 5 × 5 с верхним левым 4 × 4 блокирует обычное преобразование Лоренца, последний столбец зарезервирован для сдвигов и действий, воздействующих на элементы (векторы-столбцы) импульсного пространства с добавленной 1 в качестве пятой строки, см. стандартные тексты ^{[8] [9]} ) имеет место следующее: ^{[10 ]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$

• Компоненты с, замененные на, образуют алгебру Ли. Это алгебра Ли группы Литтла , т.е. подгруппа однородной группы Лоренца, которая оставляет инвариант. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle P^{\mu }}$ ${\displaystyle k^{\mu }}$ ${\displaystyle L_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
• Для каждого неприводимого унитарного представления существует неприводимое унитарное представление полной группы Пуанкаре, называемое индуцированным представлением . ${\displaystyle L_{k}}$
• Пространство представления индуцированного представления может быть получено последовательным применением элементов полной группы Пуанкаре к ненулевому элементу и продолжению по линейности. ${\displaystyle S}$

Неприводимые унитарные представления группы Пуанкаре характеризуются собственными значениями двух операторов Казимира и . Лучший способ убедиться в том, что неприводимое унитарное представление действительно получено, — это продемонстрировать его действие на элемент с произвольным собственным значением 4-импульса в полученном таким образом пространстве представления. ^{[11] : 62–74} Неприводимость следует из конструкции пространства представления. ${\displaystyle P^{2}}$ ${\displaystyle W^{2}}$ ${\displaystyle p}$

Массивные поля

В квантовой теории поля в случае массивного поля инвариант Казимира W _μ W ^μ описывает полный спин частицы с собственными значениями

$${\displaystyle W^{2}=W_{\mu }W^{\mu }=-m^{2}s(s+1),}$$

sспиновое квантовое числоmмасса покоя

Это легко увидеть в системе покоя частицы: указанный выше коммутатор, действующий на состояние частицы, составляет [ W _j , W _k ] = i ε _jkl W _l m ; следовательно, W → = mJ → и W ⁰ = 0 , так что маленькая группа представляет собой группу вращения,

$${\displaystyle W_{\mu }W^{\mu }=-m^{2}{\vec {J}}\cdot {\vec {J}}.}$$

лоренц-инвариантная величина, то во всех остальных системах отсчета

Также принято брать W ³ для описания проекции спина по третьему направлению в системе покоя.

В движущихся системах отсчёта, разложение W = ( W ₀ , W → ) на компоненты ( W ₁ , W ₂ , W ₃ ) , где W ₁ и W ₂ ортогональны P → , а W ₃ параллельны P → , система Паули-Любанского вектор может быть выражен через вектор спина S → = ( ​​S ₁ , S ₂ , S ₃ ) (аналогично разложенный) как

$${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}&=PS_{3},&W_{1}&=mS_{1},&W_{2}&=mS_{2},&W_{3}&={\frac {E}{c^{2}}}S_{3},\end{aligned}}}$$

где

$${\displaystyle E^{2}=P^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}$$

соотношение энергии и импульса

Поперечные компоненты W1 , W2 _вместе с S3 удовлетворяют следующим коммутаторным соотношениям ( _{которые применяются вообще, а не только к представлениям} с ненулевой массой):

$${\displaystyle {\begin{aligned}[][W_{1},W_{2}]&={\frac {ih}{2\pi }}\left(\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {P}{c}}\right)^{2}\right)S_{3},&[W_{2},S_{3}]&={\frac {ih}{2\pi }}W_{1},&[S_{3},W_{1}]&={\frac {ih}{2\pi }}W_{2}.\end{aligned}}}$$

Для частиц с ненулевой массой и полей, связанных с такими частицами,

$${\displaystyle [W_{1},W_{2}]={\frac {ih}{2\pi }}m^{2}S_{3}.}$$

Безмассовые поля

Вообще в случае немассивных представлений можно выделить два случая. Для безмассовых частиц ^{[11] : 71–72.}

$${\displaystyle W^{2}=W_{\mu }W^{\mu }=-E^{2}\left((K_{2}-J_{1})^{2}+(K_{1}+J_{2})^{2}\right)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} -E^{2}\left(A^{2}+B^{2}\right),}$$

K →вектор динамического момента массы^P2 =W2 ⁼

Представления с непрерывным спином

В более общем случае компоненты W →, поперечные P →, могут быть ненулевыми, что дает семейство представлений, называемых цилиндрическими люксонами («люксон» — еще один термин для «безмассовой частицы»), их идентифицирующее свойство поскольку компоненты W → образуют подалгебру Ли, изоморфную двумерной евклидовой группе ISO(2) , причем продольный компонент W → играет роль генератора вращения, а поперечные компоненты - роль генераторов сдвига. Это равнозначно групповому сжатию SO (3) и приводит к так называемым представлениям непрерывного спина . Однако в этом семействе не известны физические случаи фундаментальных частиц или полей. Можно утверждать, что состояния с непрерывным спином обладают внутренней степенью свободы, не наблюдаемой у наблюдаемых безмассовых частиц. ^{[11] : 69–74.}

Представления спиральности

В частном случае параллельно или эквивалентно . Для ненулевого числа это ограничение может быть последовательно наложено только для люксонов ( безмассовых частиц ), поскольку коммутатор двух поперечных компонентов пропорционален Для этого семейства, а инвариант вместо этого равен предоставлено ${\displaystyle {\vec {W}}}$ ${\displaystyle {\vec {P}};}$ ${\displaystyle {\vec {W}}\times {\vec {P}}={\vec {\boldsymbol {0}}}.}$ ${\displaystyle {\vec {W}}}$ ${\displaystyle {\vec {W}}}$ ${\displaystyle m^{2}{\vec {J}}\cdot {\vec {P}}\,.}$ ${\displaystyle W^{2}=0}$ ${\displaystyle W^{\mu }=\lambda \,P^{\mu }}$

$${\displaystyle \left(W^{0}\right)^{2}=\left(W^{3}\right)^{2},}$$

$${\displaystyle W^{0}=-{\vec {J}}\cdot {\vec {P}},}$$

спиральности

$${\displaystyle W^{0}/P.}$$

Например , все частицы, которые взаимодействуют со слабым ядерным взаимодействием , попадают в это семейство, поскольку определение слабого ядерного заряда (слабого изоспина ) предполагает спиральность, которая, как указано выше, должна быть инвариантом. Появление ненулевой массы в таких случаях должно быть объяснено другими способами, например, механизмом Хиггса . Однако даже после учета таких механизмов генерации массы фотон (и, следовательно, электромагнитное поле) продолжает попадать в этот класс, хотя другие состояния собственной массы носителей электрослабого взаимодействия (т.е. Вт± бозон и антибозон и З0 бозон ) приобретают ненулевую массу.

Раньше считалось, что нейтрино также относятся к этому классу. Однако, поскольку наблюдалось, что нейтрино колеблются по аромату , теперь известно, что по крайней мере два из трех собственных состояний массы левоспиральных нейтрино и правоспиральных антинейтрино должны иметь ненулевую массу.

Смотрите также

• Центр масс (релятивистский)
• Классификация Вигнера
• Оператор углового момента
• Оператор Казимира
• Хиральность
• Псевдовектор
• Псевдосенсор
• Индуцированное представление

Примечания

1. Любаньский и 1942A, стр. 310–324 , Любаньский и 1942B, стр. 325–338. harvnb error: no target: CITEREFLubański1942A (help) harvnb error: no target: CITEREFLubański1942B (help)
2. Браун 1994, стр. 180–181.
3. Вигнер 1939, стр. 149–204.
4. Райдер 1996, с. 62
5. Боголюбов 1989, с. 273
6. Олссон 2011, с. 11
7. Пенроуз 2005, с. 568
8. Холл 2015, Формула 1.12.
9. Россманн 2002, Глава 2.
10. Тунг 1985, Теорема 10.13, Глава 10.
11. Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей . Том. 1. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521550017.

Рекомендации

• Боголюбов Н. Н. (1989). Общие принципы квантовой теории поля (2-е изд.). Спрингер Верлаг . ISBN 0-7923-0540-Х.
• Браун, Л.С. (1994). Квантовая теория поля . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-46946-3.
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Springer, номер документа : 10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN. 978-3319134666, ISSN  0072-5285
• Любаньский, Ю.К. (1942А). «Sur la theorie des particles élémentaires de spin quelconque. I». Физика (на французском языке). 9 (3): 310–324. Бибкод : 1942Phy.....9..310L. дои : 10.1016/S0031-8914(42)90113-7.
• Любанский, Ю.К. (1942B). «Sur la theorie des particles élémentaires de spin quelconque. II». Физика (на французском языке). 9 (3): 325–338. Бибкод : 1942Phy.....9..325L. дои : 10.1016/S0031-8914(42)90114-9.
• Олссон, Т. (2011). Релятивистская квантовая физика: от продвинутой квантовой механики к вводной квантовой теории поля. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-50432-4.
• Пенроуз, Р. (2005). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-09-944068-0.
• Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
• Райдер, Л.Х. (1996). Квантовая теория поля (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-47814-6.
• Тунг, Ву-Ки (1985). Теория групп в физике (1-е изд.). Нью-Джерси·Лондон·Сингапур·Гонконг: World Scientific . ISBN 978-9971966577.
• Вайнберг, С. (2002) [1995], Основы , Квантовая теория полей, том. 1, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-55001-7
• Вигнер, EP (1939). «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца». Анналы математики . 40 (1): 149–204. Бибкод : 1939AnMat..40..149W. дои : 10.2307/1968551. JSTOR  1968551. MR  1503456. S2CID  121773411.