Проективная линия над кольцом

Проективная конструкция в теории колец

Восемь цветов иллюстрируют проективную линию над полем Галуа GF(7).

В математике проективная прямая над кольцом является расширением понятия проективной прямой над полем . Учитывая кольцо A (с 1), проективная прямая P ¹ ( A ) над A состоит из точек, отождествляемых проективными координатами . Пусть A ^× — группа единиц A ; пары ( a , b ) и ( c , d ) из A × A связаны, когда существует u в A ^× такой, что ua = c и ub = d . Это отношение является отношением эквивалентности . Типичный класс эквивалентности обозначается U [ a , b ] .

п ¹ ( А ) знак равно { U [ а , б ] | aA + bA = A } , то есть U [ a , b ] находится на проективной прямой, если односторонний идеал , порожденный a и b, полностью принадлежит  A .

Проективная прямая P1 ⁽ A ) снабжена группой гомографий . Гомографии выражаются через использование кольца матриц над A и его группы единиц V следующим образом: Если c находится в Z( A ^× ) , центре A ^× , то групповое действие матрицы на P ¹ ( A ) равно то же, что и действие единичной матрицы. Такие матрицы представляют нормальную подгруппу N группы V . Гомографии P1 ⁽ A ) соответствуют элементам факторгруппы V  /  N . ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}c&0\\0&c\end{smallmatrix}}\right)}$

P ¹ ( A ) считается расширением кольца A, поскольку оно содержит копию A благодаря вложению E  : a → U [ a , 1] . Мультипликативное обратное отображение u → 1/ u , обычно ограниченное A ^× , выражается гомографией на P ¹ ( A ):

${\displaystyle U[a,1]{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}=U[1,a]\thicksim U[a^{-1},1].}$

Более того, для u , v ∈ A ^× отображение a → uav можно расширить до гомографии:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u&0\\0&v\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle U[a,1]{\begin{pmatrix}v&0\\0&u\end{pmatrix}}=U[av,u]\thicksim U[u^{-1}av,1].}$

Поскольку u произвольно, его можно заменить на u ⁻¹ . Гомографии на P ¹ ( A ) называются дробно-линейными преобразованиями, поскольку

${\displaystyle U[z,1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}=U[za+b,zc+d]\thicksim U[(zc+d)^{-1}(za+b),1].}$

Экземпляры

Шесть цветов иллюстрируют проективную линию над полем Галуа GF(5).

Кольца, являющиеся полями, наиболее знакомы: проективная прямая над GF(2) состоит из трех элементов: U [0, 1] , U [1, 0] и U [1, 1] . Его группа гомографии является группой перестановок этих трех. ^{[1] : 29}

Кольцо Z  /3 Z или GF(3) имеет элементы 1, 0 и −1; его проективная линия состоит из четырех элементов U [1, 0] , U [1, 1] , U [0, 1] , U [1, −1], поскольку и 1, и −1 являются единицами . Группа гомографии на этой проективной прямой состоит из 12 элементов, также описываемых матрицами или перестановками. ^{[1] : 31} Для конечного поля GF( q ) проективная линия представляет собой геометрию Галуа PG(1, q ) . Дж. В. П. Хиршфельд описал гармонические тетрады в проективных прямых для q = 4, 5, 7, 8, 9. ^[2]

Над дискретными кольцами

Рассмотрим P ¹ ( Z  /  n Z ) , когда n – составное число . Если p и q — различные простые числа, делящие n , то ⟨ p ⟩ и ⟨ q ⟩ — максимальные идеалы в Z  /  n Z и по тождеству Безу существуют a и b в Z такие, что ap + bq = 1 , так что U [ p , q ] находится в P ¹ ( Z  /  n Z ) , но не является образом элемента при каноническом вложении. Весь P ¹ ( Z  /  n Z ) заполнен элементами U [ up , vq ] , где u ≠ v и u , v ∈ A ^× , A ^× являются единицами Z  /  n Z. Здесь приведены случаи Z  /  n Z для n = 6, 10 и 12, где согласно модулярной арифметике группа единиц кольца равна ( Z  / 6 Z ) ^× = {1, 5} , ( Z  / 10 Z ) ^× = {1, 3, 7, 9} и ( Z  / 12 Z ) ^× = {1, 5, 7, 11} соответственно. Модульная арифметика подтвердит, что в каждой таблице данная буква представляет несколько точек. В этих таблицах точка U [ m , n ] помечена буквой m в строке внизу таблицы и n в столбце слева от таблицы. Например, точка на бесконечности A = U [ v , 0] , где v — единица кольца.

Дополнительные точки могут быть связаны с Q ⊂ R ⊂ C , рациональными числами в расширенной комплексной верхней полуплоскости . Группа гомографий на P1 ( ^Z  /  n Z ) называется главной конгруэнц - подгруппой . ^[3]

Для рациональных чисел Q однородность координат означает, что каждый элемент P1 ⁽ Q ) может быть представлен элементом P1 ⁽ Z ) . Аналогично, гомография P1 ⁽ Q ) соответствует элементу модулярной группы , автоморфизмам P1 ⁽ Z ) .

Над непрерывными кольцами

Проективная прямая над телом приводит к единственной вспомогательной точке ∞ = U [1, 0] . Примеры включают действительную проективную линию , комплексную проективную линию и проективную линию над кватернионами . Эти примеры топологических колец имеют проективную прямую в качестве одноточечной компактификации . В случае поля комплексных чисел C группа Мёбиуса является группой гомографий.

Проективная линия над двойственными числами была описана Йозефом Грюнвальдом в 1906 году. ^[4] Это кольцо включает ненулевой нильпотент n, удовлетворяющий nn = 0 . Плоскость { z = x + yn | x , y ∈ R } дуальных чисел имеет проективную прямую, включающую линию точек U [1, xn ], x ∈ R . ^[5] Исаак Яглом описал ее как «инверсивную плоскость Галилея», которая имеет топологию цилиндра, когда включена дополнительная линия. ^{[6] : 149–153} Аналогично, если A — локальное кольцо , то P ¹ ( A ) образовано примыкающими точками , соответствующими элементам максимального идеала кольца  A.

Проективная прямая над кольцом M расщепленных комплексных чисел вводит вспомогательные прямые { U [1, x (1 + j)] | x ∈ R } и { U [1, x (1 − j)] | x ∈ R } С помощью стереографической проекции плоскость расщепленных комплексных чисел замыкается этими прямыми до однолистного гиперболоида . ^{[6] : 174–200  [7]} Проективную прямую над M можно назвать плоскостью Минковского , если она характеризуется поведением гипербол при гомографическом отображении.

Модули

Проективную прямую P1 ⁽ A ) над кольцом A можно также назвать пространством проективных модулей в модуле A ⊕ A. Тогда элемент P ¹ ( A ) является прямым слагаемым A ⊕ A . Этот более абстрактный подход следует взгляду на проективную геометрию как геометрию подпространств векторного пространства , иногда связанному с теорией решеток Гаррета Биркгофа ^[8] или книгой Рейнхольда Бэра «Линейная алгебра и проективная геометрия» . В случае кольца целых рациональных чисел Z определение модульного слагаемого P1 ⁽ Z ) сужает внимание до U [ m , n ] , m, взаимно простых с n , и избавляет от вложений, которые являются основной особенностью ^P1 ( A ), когда A топологично. В статье В. Бенца, Ханса-Иоахима Самаги и Хельмута Шеффера 1981 года упоминается прямое определение слагаемого.

В статье «Проективные представления: проективные прямые над кольцами» ^[9] для определения проективной прямой над кольцом используются группа единиц кольца матриц M ₂ ( R ) и понятия модуля и бимодуля . Группа единиц обозначается GL(2, R ) , принимая обозначения из общей линейной группы , где R обычно считается полем.

Проективная линия — это множество орбит относительно GL(2, R ) свободного циклического подмодуля R (1, 0) модуля R × R . Расширяя коммутативную теорию Бенца, существование правого или левого мультипликативного обратного элемента кольца связано с P ¹ ( R ) и GL(2, R ) . Охарактеризовано свойство дедекиндовой конечности . Наиболее важно, что представление P ¹ ( R ) в проективном пространстве над телом K осуществляется с помощью ( K , R ) -бимодуля U , который является левым K -векторным пространством и правым R -модулем. Точки P ¹ ( R ) являются подпространствами P ¹ ( K , U × U ) , изоморфными своим дополнениям.

Перекрестное соотношение

Гомография h , которая переводит три конкретных кольцевых элемента a , b , c в точки проективной прямой U [0, 1] , U [1, 1] , U [1, 0], называется гомографией перекрестных отношений . Иногда ^{[10] [11]} перекрестное отношение принимают за значение h в четвертой точке x  : ( x , a , b , c ) = h ( x ) .

Чтобы построить h из a , b , c, гомографии генератора

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}u&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

используются с вниманием к фиксированным точкам : +1 и −1 фиксируются при инверсии, U [1, 0] фиксируются при перемещении, а «поворот» с u оставляет U [0, 1] и U [1, 0 ] зафиксированный. Инструкции заключаются в том, чтобы сначала поместить c , затем перенести a в U [0, 1] с помощью перемещения и, наконец, использовать вращение для перемещения b в U [1, 1] .

Лемма: Если A — коммутативное кольцо и все b − a , c — b , c — a — единицы, то ( b — c ) ⁻¹ + ( c — a ) ⁻¹ — единица.

Доказательство: Очевидно, что это единица, как и требовалось. ${\displaystyle {\frac {b-a}{(b-c)(c-a)}}={\frac {(b-c)+(c-a)}{(b-c)(c-a)}}}$

Теорема: Если ( b − c ) ⁻¹ + ( c − a ) ⁻¹ единица, то существует гомография h в G( A ) такая, что

час ( а ) = U [0, 1] , час ( б ) = U [1, 1] и час ( c ) = U [1, 0] .

Доказательство: точка p = ( b − c ) ⁻¹ + ( c − a ) ⁻¹ является образом b после того, как a было присвоено значение 0, а затем инвертировано в U [1, 0] , а образ c перенесен до U [0, 1] . Поскольку p является единицей измерения, ее инверсия, используемая при вращении, переместит p в U [1, 1] , в результате чего a , b , c будут правильно размещены. Лемма относится к достаточным условиям существования h .

Одно из применений перекрестного отношения определяет проективно-гармоническое сопряжение тройки a , b , c как элемент x , удовлетворяющий ( x , a , b , c ) = −1 . Такая четверка является гармонической тетрадой . Гармонические тетрады на проективной прямой над конечным полем GF( q ) использовались в 1954 году для разграничения проективных линейных групп PGL(2, q ) для q = 5, 7 и 9 и демонстрации случайных изоморфизмов . ^[12]

Цепи

Действительная линия в комплексной плоскости переставляется с окружностями и другими вещественными линиями в результате преобразований Мёбиуса , которые фактически меняют каноническое вложение вещественной проективной линии в комплексную проективную прямую . Предположим, что A — алгебра над полем F , что обобщает случай, когда F — поле действительных чисел, а A — поле комплексных чисел. Каноническое вложение P ¹ ( F ) в P ¹ ( A ) есть

${\displaystyle U_{F}[x,1]\mapsto U_{A}[x,1],\quad U_{F}[1,0]\mapsto U_{A}[1,0].}$

Цепь — это образ P1 ⁽ F ) при гомоографии на P1 ⁽ A ) . Четыре точки лежат на цепи тогда и только тогда, когда их двойное отношение находится в F . Карл фон Штаудт использовал это свойство в своей теории «настоящих ударов» [Рейлер Цуг]. ^[13]

Точечная параллельность

Две точки P1 ⁽ A ) параллельны , если их не соединяет цепь. Было принято соглашение, что точки параллельны сами себе. Это отношение инвариантно относительно действия гомографии на проективную прямую. Учитывая три попарно непараллельные точки, существует единственная цепь, соединяющая их. ^[14]

История

Август Фердинанд Мёбиус исследовал преобразования Мёбиуса между своей книгой «Барицентрическое исчисление» (1827 г.) и своей статьей 1855 г. «Теория дер Kreisverwandtschaft в узде геометрического дарстеллунга». Карлу Вильгельму Фейербаху и Юлиусу Плюкеру также приписывают использование однородных координат. Эдуард Стью в 1898 году и Эли Картан в 1908 году написали статьи о гиперкомплексных числах для немецкой и французской энциклопедий математики соответственно, где они используют эту арифметику с дробно-линейными преобразованиями , имитируя арифметику Мёбиуса. В 1902 году Теодор Вален опубликовал короткую, но получившую много ссылок статью, в которой исследовались некоторые дробно-линейные преобразования алгебры Клиффорда . ^[15] Кольцо двойных чисел D дало Йозефу Грюнвальду возможность продемонстрировать P ¹ ( D ) в 1906 году. ^[4] Коррадо Сегре (1912) продолжил разработку этого кольца. ^[5]

Артур Конвей , один из первых последователей теории относительности посредством бикватернионных преобразований, рассмотрел кватернион-мультипликативно-обратное преобразование в своем исследовании теории относительности 1911 года. ^[16] В 1947 году некоторые элементы инверсной кватернионной геометрии были описаны П.Г. Гормли в Ирландии. ^[17] В 1968 году на английском языке в переводе с русского вышла книга Исаака Яглома « Комплексные числа в геометрии» . Там он использует P ¹ ( D ) для описания линейной геометрии на евклидовой плоскости и P ¹ ( M ) для описания ее на плоскости Лобачевского. Текст Яглома «Простая неевклидова геометрия» появился на английском языке в 1979 году. Там на страницах с 174 по 200 он развивает геометрию Минковского и описывает P ¹ ( M ) как «инверсную плоскость Минковского». Русский оригинал текста Яглома был опубликован в 1969 году. Между двумя изданиями Вальтер Бенц (1973) опубликовал свою книгу ^[7] , в которую вошли однородные координаты, взятые  из М.

Смотрите также

• сад Евклида

Примечания и ссылки

1. Ранкин, Р.А. (1977), Модульные формы и функции , Cambridge University Press , ISBN 0-521-21212-Х
2. Хиршфельд, JWP (1979). Проективные геометрии над конечными полями . Издательство Оксфордского университета . п. 129. ИСБН 978-0-19-850295-1.
3. Санига, Метод; Планат, Мишель; Киблер, Морис Р.; Пракна, Петр (2007), «Классификация проективных линий над маленькими кольцами», Chaos, Solitons & Fractals , 33 (4): 1095–1102, arXiv : math/0605301 , Bibcode : 2007CSF....33.1095S, doi :10.1016/j.chaos.2007.01.008, MR  2318902
4. Грюнвальд, Йозеф (1906), «Über Duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie», Monatshefte für Mathematik , 17 : 81–136, doi : 10.1007/BF01697639
5. Коррадо Сегре (1912) «Le geometrie proiettive nei Campi di numeri Duali», Paper XL of Opere , также Atti della R. Academia della Scienze di Torino , том XLVII.
6. Яглом, Исаак (1979), Простая неевклидова геометрия и ее физическая основа , Springer, ISBN 0387-90332-1, МР  0520230
7. Walter Benz (1973) Vorlesungen über Geometrie der Algebren , §2.1 Projective Gerade über einem Ring, §2.1.2 Die Projective Gruppe, §2.1.3 Transitivitätseigenschaften, §2.1.4 Doppelverhaltnisse, Springer ISBN 0-387-05786-2 МР 353137 
8. Биркгоф и Маклейн (1953) Обзор современной алгебры , стр. 293–298, или издание AKP Classics 1997 г., стр. 312–317
9. Бланк, А.; Хавличек, Х. (2000), «Проективные представления: проективные линии над кольцами», Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg , 70 : 287–299, doi : 10.1007/BF02940921, MR  1809553. В этой статье используется альтернативное определение проективной прямой над кольцом, которое ограничивает элементы проективной прямой над Z элементами формы U [ m , n ) , где m и n взаимно просты.
10. Джонс, Гарет; Сингерман, Дэвид (1987), Комплексные функции , издательство Кембриджского университета , стр. 23, 24.
11. Джозеф А. Тас (1968/9) «Перекрестное отношение упорядоченной четверки точек на проективной прямой над ассоциативной алгеброй с единичным элементом» (на голландском языке) Саймон Стевин 42: 97–111 MR 0266032
12. Дьедонне, Жан (1954), «Исключительные изоморфизмы в конечных классических группах», Canadian Journal of Mathematics , 6 : 305–315, doi : 10.4153/CJM-1954-029-0
13. фон Штаудт, Карл (1856), Beträge zur Geometrie der Lage
14. Вальтер Бенц , Ханс-Иоахим Самага и Гельмут Шеффер (1981) «Взаимные отношения и объединяющая трактовка понятия фон Штаудта о Reeller Zug», стр. 127–150 в «Геометрии» - точка зрения фон Штаудта , Питер Плауманн и Карл Страмбах редакторы, Труды Института перспективных исследований НАТО, Бад-Виндсхайм, июль/август 1980 г., Д. Райдель , ISBN 90-277-1283-2 , MR 0621313 
15. Вален, Теодор (1902), «Über Bewegungen und complexe Zahlen», Mathematische Annalen , 55 (4): 585–593, doi : 10.1007/BF01450354
16. Конвей, Артур (1911), «О применении кватернионов к некоторым недавним разработкам теории электричества», Proceedings of the Royal Irish Academy , 29 : 1–9, особенно стр. 9
17. Гормли, П.Г. (1947), «Стереографическая проекция и дробно-линейная группа преобразований кватернионов», Труды Королевской ирландской академии , Раздел A , 51 : 67–85

• Брюэр, Скай (2012), «Проективное перекрестное отношение гиперкомплексных чисел», Достижения в прикладной алгебре Клиффорда , doi : 10.1007/s00006-12-0335-7 (неактивно 30 июня 2024 г.){{citation}}: CS1 maint: DOI inactive as of June 2024 (link)
• Яглом И.М. (1968), Комплексные числа в геометрии.

дальнейшее чтение

• Анкочеа, Г. (1942), «Теорема фон Штаудта в проективной кватернионной геометрии», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 184 : 193–198, doi : 10.1515/crll.1942.184.193
• Лимае, Н.Б. (1972), «Взаимные отношения и проективности линии», Mathematische Zeitschrift , 129 : 49–53, doi : 10.1007/BF01229540, MR  0314823
• Лимайе, Б.В.; Лимае, Н.Б. (1977), «Фундаментальная теорема для проективной прямой над коммутативными кольцами», Aequationes Mathematica , 16 (3): 275–281, doi : 10.1007/BF01836039, MR  0513873
• Лимайе, Б.В.; Лимай, Н.Б. (1977), «Фундаментальная теорема для проективной прямой над некоммутативными локальными кольцами», Archiv der Mathematik , 28 (1): 102–109, doi : 10.1007/BF01223897, MR  0480495
• Уайлд, Марсель (2006), «Фундаментальная теорема проективной геометрии для модуля произвольной длины два», Rocky Mountain Journal of Mathematics , 36 (6): 2075–2080, doi : 10.1216/rmjm/1181069362

Внешние ссылки

• Митод Санига (2006) Проективные линии над конечными кольцами (pdf) из Астрономического института Словацкой академии наук.