Расширение Александрофф

Способ расширения некомпактного топологического пространства

В математической области топологии расширение Александрова — это способ расширения некомпактного топологического пространства путем присоединения единственной точки таким образом, что полученное пространство становится компактным . Оно названо в честь русского математика Павла Александрова . Точнее, пусть X — топологическое пространство. Тогда расширение Александрова пространства X — это определенное компактное пространство X * вместе с открытым вложением c  :  X  →  X * таким, что дополнение X в X * состоит из единственной точки, обычно обозначаемой ∞. Отображение c является хаусдорфовой компактификацией тогда и только тогда, когда X — локально компактное некомпактное хаусдорфово пространство . Для таких пространств расширение Александрова называется одноточечной компактификацией или александровской компактификацией . Преимущества александровской компактификации заключаются в ее простой, часто геометрически осмысленной структуре и в том факте, что она в точном смысле минимальна среди всех компактификаций; Недостаток заключается в том, что он дает только компактификацию Хаусдорфа на классе локально компактных некомпактных хаусдорфовых пространств, в отличие от компактификации Стоуна–Чеха , которая существует для любого топологического пространства (но обеспечивает вложение именно для тихоновских пространств ).

Пример: обратная стереографическая проекция

Геометрически привлекательный пример одноточечной компактификации даёт обратная стереографическая проекция . Напомним, что стереографическая проекция S даёт явный гомеоморфизм из единичной сферы за вычетом северного полюса (0,0,1) в евклидову плоскость. Обратная стереографическая проекция представляет собой открытое плотное вложение в компактное хаусдорфово пространство, полученное присоединением дополнительной точки . При стереографической проекции широтные окружности отображаются в плоские окружности . Из этого следует, что удалённый базис окрестностей , заданный проколотыми сферическими шапками, соответствует дополнениям замкнутых плоских дисков . Более качественно, базис окрестностей в предоставляется множествами , когда K пробегает компактные подмножества . Этот пример уже содержит ключевые понятия общего случая. ${\displaystyle S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}}$ ${\displaystyle \infty =(0,0,1)}$ ${\displaystyle z=c}$ ${\textstyle r={\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$ ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle c\leq z<1}$ ${\textstyle r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Мотивация

Пусть будет вложением из топологического пространства X в компактное хаусдорфово топологическое пространство Y с плотным образом и одноточечным остатком . Тогда c ( X ) открыто в компактном хаусдорфовом пространстве, поэтому является локально компактным хаусдорфовым, следовательно, его гомеоморфный прообраз X также является локально компактным хаусдорфовым. Более того, если бы X было компактным, то c ( X ) было бы замкнуто в Y и, следовательно, не плотно. Таким образом, пространство может допускать хаусдорфову одноточечную компактификацию, только если оно локально компактно, некомпактно и хаусдорфово. Более того, в такой одноточечной компактификации образ окрестностного базиса для x в X дает окрестностный базис для c ( x ) в c ( X ), и — поскольку подмножество компактного хаусдорфова пространства компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто — открытые окрестности должны быть всеми множествами, полученными присоединением к образу под c подмножества X с компактным дополнением. ${\displaystyle c:X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle \{\infty \}=Y\setminus c(X)}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$

Расширение Александрофф

Пусть будет топологическим пространством. Положим и топологизируем , взяв в качестве открытых множеств все открытые множества в X вместе со всеми множествами вида , где C замкнуто и компактно в X. Здесь обозначает дополнение к в Обратите внимание, что является открытой окрестностью и, таким образом, любое открытое покрытие будет содержать все, кроме компактного подмножества , подразумевая, что является компактным (Kelley 1975, стр. 150). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \},}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle V=(X\setminus C)\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle X\setminus C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \infty ,}$ ${\displaystyle \{\infty \}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X^{*},}$ ${\displaystyle X^{*}}$

Пространство называется расширением Александрова пространства X (Уиллард, 19А). Иногда то же самое название используется для отображения включения ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle c:X\to X^{*}.}$

Из вышеизложенного вытекают следующие свойства:

• Отображение c является непрерывным и открытым: оно вкладывает X как открытое подмножество . ${\displaystyle X^{*}}$
• Пространство компактное. ${\displaystyle X^{*}}$
• Образ c ( X ) плотен в , если X некомпактно. ${\displaystyle X^{*}}$
• Пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда X хаусдорфово и локально компактно . ${\displaystyle X^{*}}$
• Пространство является T 1 тогда и только тогда, когда X является T ₁ . ${\displaystyle X^{*}}$

Компактификация одной точки

В частности, расширение Александрова является хаусдорфовой компактификацией X тогда и только тогда, когда X является хаусдорфовым , некомпактным и локально компактным. В этом случае оно называется одноточечной компактификацией или александровской компактификацией X. ${\displaystyle c:X\rightarrow X^{*}}$

Напомним из вышеизложенного обсуждения, что любая компактификация Хаусдорфа с остатком в одну точку обязательно (изоморфна) компактификации Александрова. В частности, если — компактное хаусдорфово пространство и — предельная точка ( т.е. не изолированная точка ) , — компактификация Александрова . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$

Пусть X — любое некомпактное тихоновское пространство . При естественном частичном упорядочении на множестве классов эквивалентности компактификаций любой минимальный элемент эквивалентен расширению Александрова (Энгелькинг, теорема 3.5.12). Отсюда следует, что некомпактное тихоновское пространство допускает минимальную компактификацию тогда и только тогда, когда оно локально компактно. ${\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}$

Нехаусдорфовы одноточечные компактификации

Пусть будет произвольным некомпактным топологическим пространством. Можно захотеть определить все компактификации (не обязательно хаусдорфовы) пространства , полученные добавлением одной точки, которые в этом контексте также можно было бы назвать одноточечными компактификациями . Поэтому хочется определить все возможные способы задать компактную топологию, такую, что является плотной в ней, а топология подпространства на , индуцированная из , совпадает с исходной топологией. Последнее условие совместимости топологии автоматически подразумевает, что является плотной в , поскольку не является компактной, поэтому она не может быть замкнутой в компактном пространстве. Кроме того, фактом является то, что отображение включения обязательно является открытым вложением, то есть должно быть открытым в , а топология на должна содержать каждый элемент из . ^[1] Таким образом, топология на определяется окрестностями из . Любая окрестность из обязательно является дополнением в замкнутого компактного подмножества из , как обсуждалось ранее. ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c:X\to X^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$

Топологии, которые делают его компактификацией, следующие: ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$

• Расширение Александрова определено выше. Здесь мы берем дополнения всех замкнутых компактных подмножеств в качестве окрестностей . Это самая большая топология, которая делает одноточечную компактификацию . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$
• Топология открытого расширения . Здесь мы добавляем одну окрестность , а именно все пространство . Это наименьшая топология, которая делает одноточечную компактификацию . ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle X}$
• Любая топология, промежуточная между двумя топологиями выше. Для окрестностей нужно выбрать подходящее подсемейство дополнений всех замкнутых компактных подмножеств ; например, дополнений всех конечных замкнутых компактных подмножеств или дополнений всех счетных замкнутых компактных подмножеств. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle X}$

Дополнительные примеры

Компактификации дискретных пространств

• Одноточечная компактификация множества натуральных чисел гомеоморфна пространству , состоящему из K = {0} U {1/ n | n — натуральное число} с топологией порядка.
• Последовательность в топологическом пространстве сходится к точке в тогда и только тогда, когда отображение, заданное для в и является непрерывным. Здесь имеет дискретную топологию . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X}$ ${\displaystyle f(n)=a_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(\infty )=a}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• Полиадические пространства определяются как топологические пространства, являющиеся непрерывным образом мощности одноточечной компактификации дискретного локально компактного хаусдорфова пространства.

Компактификации непрерывных пространств

• Одноточечная компактификация n -мерного евклидова пространства R ⁿ гомеоморфна n -сфере S ⁿ . Как и выше, отображение может быть задано явно как n -мерная обратная стереографическая проекция.
• Одноточечная компактификация произведения копий полузамкнутого интервала [0,1), то есть , (гомеоморфна) . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle [0,1)^{\kappa }}$ ${\displaystyle [0,1]^{\kappa }}$
• Поскольку замыкание связного подмножества связно, расширение Александрова некомпактного связного пространства связно. Однако одноточечная компактификация может «связать» несвязное пространство: например, одноточечная компактификация несвязного объединения конечного числа копий интервала (0,1) является клином окружностей . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• Одноточечная компактификация несвязного объединения счетного числа копий интервала (0,1) — это гавайская серьга . Это отличается от клина счетного числа окружностей, который не является компактным.
• При наличии компактного Хаусдорфа и любого замкнутого подмножества одноточечная компактификация имеет вид , где косая черта обозначает факторпространство . ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\setminus C}$ ${\displaystyle X/C}$
• Если и локально компактны Хаусдорфовы, то где — произведение smash . Напомним, что определение произведения smash: где — сумма клина , и снова, / обозначает факторпространство. ^[2] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)}$ ${\displaystyle A\vee B}$

Как функтор

Расширение Александрова можно рассматривать как функтор из категории топологических пространств с собственными непрерывными отображениями в качестве морфизмов в категорию , объектами которой являются непрерывные отображения и для которой морфизмы из в являются парами непрерывных отображений такими, что . В частности, гомеоморфные пространства имеют изоморфные расширения Александрова. ${\displaystyle c\colon X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle c_{1}\colon X_{1}\rightarrow Y_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}}$ ${\displaystyle f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}}$ ${\displaystyle f_{Y}\circ c_{1}=c_{2}\circ f_{X}}$

Смотрите также

• Компактификация Бора  – компактная группа Хаусдорфа, связанная с топологической группойPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Компактное пространство  – Тип математического пространства
• Компактификация (математика)  – вложение топологического пространства в компактное пространство в качестве плотного подмножества.
• Конец (топология)  — в топологии связные компоненты «идеальной границы» пространства.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Расширенная прямая действительных чисел  – Действительные числа с добавленными знаками «бесконечность» и «бесконечность»
• Нормальное пространство  – Тип топологического пространства
• Точечное множество  – Базовая концепция теории множеств
• Сфера Римана  – Модель расширенной комплексной плоскости плюс точка на бесконечности
• Стереографическая проекция  – особое отображение, проецирующее сферу на плоскость.
• Компактификация Стоуна–Чеха  – Концепция в топологии
• Компактификация Уолмэна  – Компактификация топологических пространств T ₁

Примечания

1. «Общая топология – Нехаусдорфовы одноточечные компактификации».
2. Джозеф Дж. Ротман , Введение в алгебраическую топологию (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 (См. главу 11 для доказательства.) 

Ссылки

• Александрофф, Павел С. (1924), «Über die Metrisation der im Kleinen kompakten topologischen Räume», Mathematische Annalen , 92 (3–4): 294–301, doi : 10.1007/BF01448011, JFM  50.0128.04, S2CID  121699713
• Браун, Рональд (1973), «Последовательно правильные отображения и последовательная компактификация», Журнал Лондонского математического общества , Серия 2, 7 (3): 515–522, doi :10.1112/jlms/s2-7.3.515, Zbl  0269.54015

• Энгелькинг, Рышард (1989), Общая топология , Helderman Verlag Berlin, ISBN 978-0-201-08707-9, МР  1039321
• Федорчук, В.В. (2001) [1994], "Александровская компактификация", Энциклопедия математики , EMS Press
• Келли, Джон Л. (1975), Общая топология , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1, МР  0370454
• Манкрес, Джеймс (1999), Топология (2-е изд.), Prentice Hall , ISBN 0-13-181629-2, ЗБЛ  0951.54001
• Уиллард, Стивен (1970), Общая топология , Эддисон-Уэсли , ISBN 3-88538-006-4, MR  0264581, Zbl  0205.26601