Кросс-многогранник

Правильный многогранник, двойственный гиперкубу в любом количестве измерений.

В геометрии перекрестный многогранник , [ ^1] гипероктаэдр , ортоплекс , ^[2] или кокуб — ​​это правильный , выпуклый многогранник , который существует в n - мерном евклидовом пространстве . 2-мерный перекрестный многогранник — это квадрат, 3-мерный перекрестный многогранник — правильный октаэдр , а 4-мерный перекрестный многогранник — это 16-клеточный . Его грани представляют собой симплексы предыдущего измерения, а фигура вершины перекрестного многогранника представляет собой другой перекрестный многогранник из предыдущего измерения.

Вершины перекрестного многогранника можно выбрать в качестве единичных векторов, указывающих вдоль каждой оси координат, т.е. всех перестановок (±1, 0, 0, ..., 0) . Кросс-многогранник — это выпуклая оболочка его вершин. n -мерный кросс-многогранник также можно определить как замкнутый единичный шар (или, по мнению некоторых авторов, его границу) в ℓ ₁ -норме на R ⁿ :

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.}$

В 1 измерении перекрестный многогранник представляет собой просто отрезок [−1, +1], в 2 измерениях это квадрат (или ромб) с вершинами {(±1, 0), (0, ±1)}. В трех измерениях это октаэдр — один из пяти выпуклых правильных многогранников , известных как Платоновы тела . Это можно обобщить на более высокие измерения, при этом n -ортоплекс строится как бипирамида с ( n -1)-ортоплексом в основании.

Кросс-многогранник — это двойственный многогранник гиперкуба . 1- скелет n -мерного кросс -многогранника представляет собой граф Турана T (2 n , n ).

4 измерения

Четырехмерный перекрестный многогранник также известен под названием гексадекашорон или 16-клеточный . Это один из шести выпуклых правильных 4-многогранников . Эти 4-многогранники были впервые описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века.

Высшие измерения

Семейство кросс-многогранников — одно из трех семейств правильных многогранников , обозначенных Коксетером как β _n , два других — это семейство гиперкубов , обозначенное как γ _n , и семейство симплексов , обозначенное как α _n . Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов , он обозначил _как δn . ^[3]

n -мерный кросс-многогранник имеет 2 n вершин и 2 ⁿ граней (( n  - 1)-мерные компоненты), все из которых являются ( n  - 1) -симплексами . Все вершинные фигуры представляют собой ( n  − 1)-кросс-многогранники. Символ Шлефли перекрестного многогранника — {3,3,...,3,4}.

Двугранный угол n -мерного перекрестного многогранника равен . Это дает: δ ₂ = arccos(0/2) = 90°, δ ₃ = arccos(−1/3) = 109,47°, δ ₄ = arccos(−2/4) = 120°, δ ₅ = arccos(− 3/5) = 126,87°, ... δ _∞ = arccos(−1) = 180°. ${\displaystyle \delta _{n}=\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)}$

Гиперобъем n -мерного кросс-многогранника равен

${\displaystyle {\frac {2^{n}}{n!}}.}$

Для каждой пары непротивоположных вершин существует соединяющее их ребро. В более общем смысле, каждый набор из k  + 1 ортогональных вершин соответствует отдельному k -мерному компоненту, который их содержит. Таким образом , количество k -мерных компонентов (вершин, ребер, граней, ..., граней) в n -мерном перекрестном многограннике определяется выражением (см. Биномиальный коэффициент ):

${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}$^[4]

Расширенный f-вектор для n -ортоплекса может быть вычислен с помощью ( 1,2 ) ⁿ , как и коэффициенты полиномиальных произведений . Например, 16-ячейка — это ( 1,2 ) ⁴ = ( 1,4,4 ) ² = ( 1,8,24,32,16 ).

Существует множество возможных орфографических проекций , которые могут отображать перекрестные многогранники в виде двумерных графов. Проекции многоугольников Петри отображают точки в правильные 2 n -угольники или правильные многоугольники более низкого порядка. Вторая проекция использует 2( n -1)-гональный многоугольник Петри нижнего измерения, рассматриваемый как бипирамида , проецируемый вниз по оси, с двумя вершинами, отображаемыми в центре.

Все вершины перекрестного многогранника, ориентированного по осям, находятся на одинаковом расстоянии друг от друга на манхэттенском расстоянии ( норма L 1 ). Гипотеза Куснера утверждает, что этот набор из 2 d точек является максимально возможным эквидистантным набором для этого расстояния. ^[5]

Обобщенный ортоплекс

Регулярные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве , называемом обобщенными ортоплексами (или перекрестными многогранниками), β^п
_н= ₂ {3} ₂ {3}... ₂ {4} _p , или... Реальные решения существуют при p = 2, т.е. β²
_н= β _n = ₂ {3} ₂ {3}... ₂ {4} ₂ = {3,3,..,4}. При p > 2 они существуют в . p -обобщенный n -ортоплекс имеет pn вершин . Обобщенные ортоплексы имеют в качестве фасетов правильные симплексы (вещественные) . ^[6] Обобщенные ортоплексы образуют полные многодольные графы , β ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$^п
₂сделать K _{p , p} для полного двудольного графа , β^п
₃сделать K _{p , p , p} для полных трехдольных графов. β^п
_нсоздает K _{p ⁿ} . Можно определить ортогональную проекцию , которая отображает все вершины, расположенные на равном расстоянии от окружности, со всеми соединенными парами вершин, за исключением кратных n . Периметр правильного многоугольника в этих ортогональных проекциях называется многоугольником Петри .

Родственные семейства многогранников

Перекрестные многогранники можно комбинировать с их двойными кубами, образуя составные многогранники:

• В двух измерениях мы получаем октаграммную фигуру звезды {8/2},
• В трёх измерениях получаем соединение куба и октаэдра ,
• В четырех измерениях мы получаем соединение тессеракта и 16-клеточного .

Смотрите также

• Список правильных многогранников
• Гипероктаэдрическая группа , группа симметрии кросс-многогранника.

Цитаты

1. Коксетер 1973, стр. 121–122, §7.21. иллюстрация Рис. 7-2 B .
2. Конвей, Дж. Х.; Слоан, Нью-Джерси (1991). «Ячеистые структуры некоторых решеток». В Хилтоне, П.; Хирцебрух, Ф.; Реммерт, Р. (ред.). Разное Математика . Берлин: Шпрингер. стр. 89–90. дои : 10.1007/978-3-642-76709-8_5. ISBN 978-3-642-76711-1.
3. Коксетер 1973, стр. 120–124, §7.2.
4. Коксетер 1973, с. 121, §7.2.2..
5. Гай, Ричард К. (1983), «Олла-подрида открытых задач, часто странно поставленных», American Mathematical Monthly , 90 (3): 196–200, doi : 10.2307/2975549, JSTOR  2975549.
6. Коксетер, Правильные комплексные многогранники, с. 108

Рекомендации

• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
  • стр. 121-122, §7.21. см. рисунок Рис. 7.2 B
  • п. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Перекрестный многогранник». Математический мир .