В геометрии многоугольник Петри для правильного многогранника n измерений — это косой многоугольник , в котором каждая n –1 последовательная сторона (но не n ) принадлежит одной из граней . Многоугольник Петри правильного многоугольника сам по себе является правильным многоугольником; Правильный многогранник — это косой многоугольник, у которого каждые две последовательные стороны (но не три) принадлежат одной из граней . [1] Многоугольники Петри названы в честь математика Джона Флиндерса Петри .
Для каждого правильного многогранника существует ортогональная проекция на плоскость такая, что один многоугольник Петри становится правильным многоугольником, а остальная часть проекции находится внутри него. Рассматриваемая плоскость — это плоскость Кокстера группы симметрии многоугольника, а количество сторон h — это число Кокстера группы Кокстера . Эти многоугольники и проецируемые графы полезны для визуализации симметричной структуры правильных многогранников более высокой размерности.
Полигоны Петри можно определить в более общем смысле для любого встроенного графа . Они образуют грани другого вложения того же графа, обычно на другой поверхности, называемой двойственной Петри . [2]
Джон Флиндерс Петри (1907–1972) был сыном египтологов Хильды и Флиндерса Петри . Он родился в 1907 году и еще школьником проявил замечательные математические способности. В периоды интенсивной концентрации он мог отвечать на вопросы о сложных четырехмерных объектах, визуализируя их .
Он первым отметил важность правильных косых многоугольников, которые появляются на поверхности правильных многогранников и высших многогранников. В 1937 году Коксетер объяснил, как он и Петри начали расширять классическую тему правильных многогранников:
В 1938 году Петри сотрудничал с Кокстером, Патриком дю Валем и Х. Т. Флатером для подготовки к публикации книги «Пятьдесят девять икосаэдров» . [4] Понимая геометрическую легкость косых многоугольников, использованных Петри, Коксетер назвал их в честь своего друга, когда он написал « Правильные многогранники» .
Позднее идея многоугольников Петри была распространена на полуправильные многогранники .
Правильные двойственные числа { p , q } и { q , p } содержатся в одном и том же спроецированном многоугольнике Петри. На изображениях дуальных соединений справа видно, что их многоугольники Петри имеют прямоугольные пересечения в точках соприкосновения ребер с общей срединной сферой .
Многоугольники Петри многогранников Кеплера–Пуансо представляют собой шестиугольники {6} и декаграммы {10/3}.
Бесконечные правильные косые многоугольники ( апейрогоны ) также можно определить как многоугольники Петри правильных мозаик с углами 90, 120 и 60 градусов на их квадратных, шестиугольных и треугольных гранях соответственно.
Бесконечные правильные косые многоугольники также существуют как многоугольники Петри правильных гиперболических мозаик, таких как треугольная мозаика 7-го порядка , {3,7}:
Многоугольник Петри для правильной полихоры { p , q , r } также может быть определен так, что каждые три последовательные стороны (но не четыре) принадлежат одной из ячеек полихоры. Поскольку поверхность 4-многогранника представляет собой 3-мерное пространство ( 3-сфера ), многоугольник Петри правильного 4-многогранника представляет собой 3-мерную спираль на этой поверхности.
Проекции многоугольников Петри полезны для визуализации многогранников размерности четыре и выше.
Гиперкуб размерности n имеет многоугольник Петри размера 2 n , что также соответствует числу его граней .
Таким образом, каждый из ( n − 1)-кубов, образующих его поверхность , имеет среди своих ребер n − 1 сторону многоугольника Петри.
В этой таблице представлены проекции многоугольников Петри трех правильных семейств ( симплекс , гиперкуб , ортоплекс ) и исключительной группы Ли En , которые порождают полуправильные и однородные многогранники для размерностей от 4 до 8.
