Шестиугольник

Форма с шестью сторонами

В геометрии шестиугольник (от греческого ἕξ , hex , что означает «шесть», и γωνία , gonía , что означает « угол , угол») представляет собой шестигранный многоугольник . ^[1] Сумма внутренних углов любого простого (несамопересекающегося) шестиугольника равна 720°.

Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник имеет символ Шлефли {6} ^{[2] , а также} может быть построен как усеченный равносторонний треугольник t{3}, в котором чередуются два типа ребер.

Правильный шестиугольник определяется как шестиугольник, который является равносторонним и равноугольным . Он бицентричен , что означает, что он одновременно циклический (имеет описанную окружность) и касательный (имеет вписанную окружность).

Общая длина сторон равна радиусу описанной окружности или описанной окружности , что равно умножению на апофему (радиус вписанной окружности ). Все внутренние углы равны 120 градусов . Правильный шестиугольник имеет шесть вращательных симметрий ( вращательная симметрия шестого порядка ) и шесть отражательных симметрий ( шесть линий симметрии ), составляющих _группу диэдра D6 . Самые длинные диагонали правильного шестиугольника, соединяющие диаметрально противоположные вершины, в два раза превышают длину одной стороны. Отсюда видно, что треугольник с вершиной в центре правильного шестиугольника и одной стороной, разделяющей шестиугольник, является равносторонним и что правильный шестиугольник можно разбить на шесть равносторонних треугольников. ${\displaystyle {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}}$

Подобно квадратам и равносторонним треугольникам , правильные шестиугольники соединяются друг с другом без каких-либо зазоров, образуя мозаику плоскости (три шестиугольника встречаются в каждой вершине), и поэтому полезны для построения мозаики . По этой причине ячейки сотового улья имеют шестиугольную форму, а также потому, что такая форма позволяет эффективно использовать пространство и строительные материалы. Диаграмма Вороного правильной треугольной решетки представляет собой сотовую мозаику шестиугольников. Его обычно не считают триамбом , хотя он равносторонний.

Параметры

R = Окружной радиус ; г = внутренний радиус ; t = длина стороны

Максимальный диаметр (который соответствует длинной диагонали шестиугольника) D в два раза превышает максимальный радиус или радиус описанной окружности R , который равен длине стороны t . Минимальный диаметр или диаметр вписанной окружности (разделение параллельных сторон, расстояние между плоскостями, короткая диагональ или высота при опоре на плоское основание), d , в два раза превышает минимальный радиус или внутренний радиус , r . Максимумы и минимумы связаны одним и тем же фактором:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}d=r=\cos(30^{\circ })R={\frac {\sqrt {3}}{2}}R={\frac {\sqrt {3}}{2}}t}$   и, аналогично, ${\displaystyle d={\frac {\sqrt {3}}{2}}D.}$

Площадь правильного шестиугольника

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}R^{2}=3Rr=2{\sqrt {3}}r^{2}\\[3pt]&={\frac {3{\sqrt {3}}}{8}}D^{2}={\frac {3}{4}}Dd={\frac {\sqrt {3}}{2}}d^{2}\\[3pt]&\approx 2.598R^{2}\approx 3.464r^{2}\\&\approx 0.6495D^{2}\approx 0.866d^{2}.\end{aligned}}}$

Для любого правильного многоугольника площадь также можно выразить через апофему a и периметр p . Для правильного шестиугольника они определяются как a = r и p , поэтому ${\displaystyle {}=6R=4r{\sqrt {3}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ap}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt {3}}}{2}}=2r^{2}{\sqrt {3}}\\&\approx 3.464r^{2}.\end{aligned}}}$

Правильный шестиугольник заполняет часть описанной окружности . ${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270}$

Если правильный шестиугольник имеет последовательные вершины A, B, C, D, E, F и если P — любая точка описанной окружности между B и C, то PE + PF = PA + PB + PC + PD .

Из отношения радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу следует , что отношение высоты к ширине правильного шестиугольника составляет 1:1,1547005; то есть шестиугольник с длинной диагональю 1,0000000 будет иметь расстояние 0,8660254 между параллельными сторонами.

Точка в плоскости

Для произвольной точки плоскости правильного шестиугольника с радиусом описанной окружности , расстояния которой до центра тяжести правильного шестиугольника и шести его вершин равны и соответственно, имеем ^[3] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{4}^{2}=d_{2}^{2}+d_{5}^{2}=d_{3}^{2}+d_{6}^{2}=2\left(R^{2}+L^{2}\right),}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}+d_{5}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+d_{6}^{2}=3\left(R^{2}+L^{2}\right),}$

${\displaystyle d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{5}^{4}=d_{2}^{4}+d_{4}^{4}+d_{6}^{4}=3\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right).}$

Если – расстояния от вершин правильного шестиугольника до любой точки описанной вокруг него окружности, то ^[3] ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{2}\right)^{2}=4\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{4}.}$

Симметрия

Шесть линий отражения правильного шестиугольника с симметрией Dih ₆ или r12 , 12-го порядка.

Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров). Циклические симметрии в среднем столбце помечены буквой g для их центрального порядка вращения. Полная симметрия правильной формы — это r12 , а симметрия не помечена как a1 .

Правильный шестиугольник имеет симметрию _D6 . Всего 16 подгрупп. Их 8 с точностью до изоморфизма: сам (D6 ₎ , 2 двугранника: (D3 _, D2 ), 4 циклических _: ( _Z6 , _Z3 , _Z2 , _Z1 ) и тривиальный (д)

Эти симметрии выражают девять различных симметрий правильного шестиугольника. Джон Конвей маркирует их буквенным и групповым порядком. ^[4] r12 — полная симметрия, а a1 — отсутствие симметрии. p6 , изогональный шестиугольник, построенный из трех зеркал, может чередовать длинные и короткие ребра, и d6 , изотоксальный шестиугольник, построенный с равными длинами ребер, но вершины чередуют два разных внутренних угла. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного шестиугольника. Формы i4 представляют собой правильные шестиугольники, сплюснутые или вытянутые вдоль одного направления симметрии. Его можно рассматривать как вытянутый ромб , а d2 и p2 можно рассматривать как вытянутые по горизонтали и вертикали воздушные змеи . Шестиугольники g2 , у которых противоположные стороны параллельны, также называются шестиугольными параллелогонами .

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Лишь подгруппа g6 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Шестиугольники симметрии g2 , i4 и r12 , как параллелогоны , могут замощить евклидову плоскость путем перемещения. Другие шестиугольные формы могут располагать плитку с разной ориентацией.

Группы А2 и G2

Шесть корней простой группы Ли A2 , представленной диаграммой Дынкина. , имеют правильную шестиугольную форму. Два простых корня имеют угол между собой 120°.

12 корней исключительной группы Ли G2 , представленных диаграммой Дынкина. также имеют шестиугольную форму. Два простых корня разной длины имеют между собой угол 150°.

Диссекция

Коксетер утверждает, что каждый зоногон (2- метровый прямоугольник, противоположные стороны которого параллельны и одинаковой длины) можно разрезать на параллелограммы размером 1 ⁄ 2 м ( m − 1) . ^[5] В частности, это верно для правильных многоугольников с четным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Это разложение правильного шестиугольника основано на многоугольной проекции куба Петри с 3 из 6 квадратных граней. Остальные параллелогоны и проективные направления куба расчленены внутри прямоугольных кубоидов .

Связанные многоугольники и мозаики

Правильный шестиугольник имеет символ Шлефли {6}. Правильный шестиугольник — это часть правильной шестиугольной мозаики {6,3} с тремя шестиугольными гранями вокруг каждой вершины.

Правильный шестиугольник также можно создать как усеченный равносторонний треугольник с символом Шлефли t{3}. Если рассматривать эту форму с двумя типами (цветами) ребер, то она имеет только симметрию D ₃ .

Усеченный шестиугольник t{6} — это додекагон {12}, в котором чередуются два типа (цвета) ребер. Перемеженный шестиугольник h{6} представляет собой равносторонний треугольник {3}. Правильный шестиугольник может быть звездчатым с равносторонними треугольниками на его краях, образуя гексаграмму . Правильный шестиугольник можно разрезать на шесть равносторонних треугольников , добавив центральную точку. Этот узор повторяется внутри обычной треугольной мозаики .

Правильный шестиугольник можно расширить до правильного двенадцатиугольника , добавив вокруг него чередующиеся квадраты и равносторонние треугольники . Этот узор повторяется внутри ромбо-гексагональной мозаики .

Самопересекающиеся шестиугольники

Существует шесть самопересекающихся шестиугольников с расположением вершин правильного шестиугольника:

Шестиугольные структуры

Дорога гигантов крупным планом

От пчелиных сот до Дороги гигантов , шестиугольные узоры широко распространены в природе благодаря своей эффективности. В шестиугольной сетке каждая линия должна быть настолько короткой, насколько это возможно, если большая площадь должна быть заполнена наименьшим количеством шестиугольников. Это означает, что для изготовления сот требуется меньше воска , и они приобретают большую прочность при сжатии .

Неправильные шестиугольники с параллельными противоположными краями называются параллелогонами и также могут замостить плоскость путем перемещения. В трех измерениях шестиугольные призмы с параллельными противоположными гранями называются параллелоэдрами , и они могут мозаику трехмерного пространства путем перемещения.

Мозаика шестиугольниками

В дополнение к правильному шестиугольнику, который определяет уникальную мозаику плоскости, любой неправильный шестиугольник, удовлетворяющий критерию Конвея, замостит плоскость.

Шестиугольник, вписанный в коническое сечение

Теорема Паскаля (также известная как «Теорема Hexagrammum Mysticum») гласит, что если произвольный шестиугольник вписан в любое коническое сечение и пары противоположных сторон продлены до тех пор, пока они не встретятся, то три точки пересечения будут лежать на прямой линии, Pascal line» этой конфигурации.

Циклический шестиугольник

Шестиугольник Лемуана — это циклический шестиугольник (один из которых вписан в окружность) с вершинами, заданными шестью пересечениями ребер треугольника и тремя прямыми, параллельными ребрам, проходящим через его симмедианную точку .

Если последовательные стороны вписанного шестиугольника — это a , b , c , d , e , f , то три основные диагонали пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда ace = bdf . ^[6]

Если для каждой стороны вписанного шестиугольника смежные стороны продолжены до их пересечения, образуя треугольник, внешний по отношению к данной стороне, то отрезки, соединяющие центры описанных окружностей противоположных треугольников, совпадают . ^[7]

Если шестиугольник имеет вершины на описанной окружности остроугольного треугольника в шести точках (включая три вершины треугольника), где расширенные высоты треугольника пересекаются с описанной окружностью, то площадь шестиугольника в два раза больше площади треугольника. ^{[8] : с. 179}

Шестиугольник, касательный к коническому сечению

Пусть ABCDEF — шестиугольник, образованный шестью касательными к коническому сечению. Тогда теорема Брианшона утверждает, что три главные диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

В шестиугольнике, касательно окружности и имеющем последовательные стороны a , b , c , d , e и f , ^[9]

${\displaystyle a+c+e=b+d+f.}$

Равносторонние треугольники на сторонах произвольного шестиугольника

Равносторонние треугольники на сторонах произвольного шестиугольника

Если на каждой стороне любого шестиугольника снаружи построить равносторонний треугольник , то середины отрезков, соединяющих центры тяжести противоположных треугольников, образуют другой равносторонний треугольник. ^{[10] : Thm. 1}

Косой шестиугольник

Правильный косой шестиугольник, видимый как ребра (черные) треугольной антипризмы , симметрия D _3d , [2 ⁺ ,6], (2*3), порядок 12.

Косой шестиугольник — это косой многоугольник с шестью вершинами и ребрами, но не расположенный в одной плоскости. Внутренняя часть такого шестиугольника обычно не определена. Косой зигзагообразный шестиугольник имеет вершины, чередующиеся в двух параллельных плоскостях.

Правильный косой шестиугольник является вершинно-транзитивным с равными длинами ребер. В трех измерениях это будет зигзагообразный косой шестиугольник, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях треугольной антипризмы с той же симметрией D _3d , [2 ⁺ ,6], порядка 12.

Куб и октаэдр (так же, как треугольная антипризма) имеют правильные косые шестиугольники как многоугольники Петри .

Полигоны Петри

Правильный косой шестиугольник — это многоугольник Петри для этих правильных , однородных и двойственных многогранников и многогранников более высоких размерностей, показанных в этих косых ортогональных проекциях :

Выпуклый равносторонний шестиугольник

Главная диагональ шестиугольника — это диагональ, которая делит шестиугольник на четырехугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике (у которого все стороны равны) с общей стороной a существует ^{[11] : с.184, #286.3} главная диагональ d ₁ такая, что

${\displaystyle {\frac {d_{1}}{a}}\leq 2}$

и главную диагональ d ₂ такую, что

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}.}$

Многогранники с шестиугольниками

Не существует Платонова тела, состоящего только из правильных шестиугольников, потому что шестиугольники мозаичны , не позволяя результату «сворачиваться». Архимедовы тела с некоторыми шестиугольными гранями — это усеченный тетраэдр , усеченный октаэдр , усеченный икосаэдр (известный по футбольному мячу и фуллерену ), усеченный кубоктаэдр и усеченный икосододекаэдр . Эти шестиугольники можно считать усеченными треугольниками с диаграммами Кокстера видаи.

Существуют и другие многогранники симметрии с вытянутыми или сплющенными шестиугольниками, например многогранник Гольдберга G (2,0):

Также существует 9 тел Джонсона с правильными шестиугольниками:

Галерея натуральных и искусственных шестиугольников

• 
  Идеальная кристаллическая структура графена представляет собой гексагональную сетку.
• 
  Сегменты зеркала E-ELT в сборе
• 
  Улей соты
• 
  Щитки панциря черепахи
• 
  Шестиугольник Сатурна — шестиугольный узор облаков вокруг северного полюса планеты.
• 
  Микрофотография снежинки
• 
  Бензол — простейшее ароматическое соединение гексагональной формы.
• 
  Шестиугольный порядок пузырьков в пене.
• 
  Кристаллическая структура молекулярного шестиугольника , состоящего из гексагональных ароматических колец.
• 
  Базальтовые колонны естественной формы с Дороги гигантов в Северной Ирландии ; большие массы должны медленно остывать, чтобы образовался полигональный рисунок излома.
• 
  Вид с воздуха на форт Джефферсон в национальном парке Драй-Тортугас.
• 
  Зеркало космического телескопа Джеймса Уэбба состоит из 18 шестиугольных сегментов.
• 
  По-французски l'Hexagone относится к метрополии Франции из-за ее неопределенно шестиугольной формы.
• 
  Кристалл гексагонального ханксита , один из многих минералов гексагональной кристаллической системы.
• 
  Шестиугольный сарай
• 
  Шестиугольник , шестиугольный театр в Ридинге, Беркшир.
• 
  Шестиугольные шахматы Владислава Глинского.
• 
  Павильон Тайваньского ботанического сада
• 
  Шестиугольное окно

Смотрите также

• 24 ячейки : четырехмерная фигура, которая, как и шестиугольник, имеет ортоплексные грани, является самодвойственной и мозаикой евклидова пространства.
• Шестиугольная кристаллическая система
• Шестиугольное число
• Шестиугольная мозаика : правильная мозаика шестиугольников на плоскости.
• Гексаграмма : шестигранная звезда внутри правильного шестиугольника.
• Уникурсальная гексаграмма : один путь, шестигранная звезда внутри шестиугольника.
• Гипотеза о сотах
• Гаванна : абстрактная настольная игра, в которую играют на шестиугольной сетке.

Рекомендации

1. Изображение куба
2. Веннингер, Магнус Дж. (1974), Модели многогранников, Cambridge University Press, стр. 9, ISBN 9780521098595, заархивировано из оригинала 02 января 2016 г. , получено 6 ноября 2015 г..
3. Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел». Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 31 января 2024 г.).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI неактивен по состоянию на январь 2024 г. ( ссылка )
4. Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275- 278) 
5. Коксетер , Математические развлечения и очерки, тринадцатое издание, стр.141
6. Картенсен, Йенс, «О шестиугольниках», Mathematical Spectrum 33 (2) (2000–2001), 37–40.
7. Дергиадес, Николаос (2014). «Теорема Дао о шести центрах описанной окружности, связанных с вписанным шестиугольником». Форум Геометрикорум . 14 : 243–246. Архивировано из оригинала 5 декабря 2014 г. Проверено 17 ноября 2014 г.
8. Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publications, 2007 (оригинал 1960).
9. Гутьеррес, Антонио, «Шестиугольник, вписанный круг, касательная, полупериметр», [1] Архивировано 11 мая 2012 г. на Wayback Machine , по состоянию на 17 апреля 2012 г.
10. Дао Тхань Оай (2015). «Равносторонние треугольники и перспективы Киперта в комплексных числах». Форум Геометрикорум . 15 : 105–114. Архивировано из оригинала 5 июля 2015 г. Проверено 12 апреля 2015 г.
11. Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , [2] Архивировано 30 августа 2017 г. в Wayback Machine .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Шестиугольник». Математический мир .

• Определение и свойства шестиугольника с интерактивной анимацией и построением с помощью циркуля и линейки.
• Введение в шестиугольную геометрию на Hexnet, веб-сайте, посвященном математике шестиугольников.
• Hexagons is the Bestagons на YouTube — анимированное интернет-видео о шестиугольниках от CGP Grey .