В геометрии многоугольники объединяются в пары, называемые двойственными , где вершины одного соответствуют краям другого.
Правильные многоугольники самодвойственны .
Двойственный изогональному (вершинно-транзитивному) многоугольнику является изотоксальный (транзитивный по ребру) многоугольник. Например, (изогональный) прямоугольник и (изотоксальный) ромб являются двойственными.
В циклическом многоугольнике более длинные стороны соответствуют большим внешним углам в двойном ( тангенциальном многоугольнике ), а более короткие стороны — меньшим углам. [ нужна цитата ] Кроме того, конгруэнтные стороны в исходном многоугольнике дают равные углы в двойственном, и наоборот. Например, двойником острого равнобедренного треугольника является тупоугольный равнобедренный треугольник.
В конструкции Дормана-Люка каждая грань двойственного многогранника является двойственным многоугольником соответствующей вершинной фигуры .
В качестве примера двойственности боковых углов многоугольников мы сравниваем свойства вписанных и касательных четырехугольников . [1]
Эта двойственность, возможно, становится еще более очевидной при сравнении равнобедренной трапеции с воздушным змеем .
Простейшее качественное построение двойного многоугольника — это операция выпрямления , при которой края многоугольника усекаются до вершин в центре каждого исходного края. Между этими новыми вершинами образуются новые ребра.
Эта конструкция необратима. То есть многоугольник, сгенерированный двойным применением, в целом не похож на исходный многоугольник.
Как и в случае с двойственными многогранниками, можно взять окружность (будь то вписанная окружность , описанная окружность или, если они существуют, их средняя окружность ) и совершить в ней полярное возвратно-поступательное движение .
В соответствии с проективной двойственностью двойственная точка является линией, а линия является точкой - таким образом, двойственная многоугольнику является многоугольником, края которого соответствуют вершинам двойственной, и наоборот.
С точки зрения двойственной кривой , где каждой точке кривой соответствует точка, двойственная к ее касательной в этой точке, проективно-двойственную кривую можно интерпретировать следующим образом:
Комбинаторно можно определить многоугольник как набор вершин, набор ребер и отношение инцидентности (какие вершины и ребра соприкасаются): две соседние вершины определяют ребро, а два соседних ребра определяют вершину. Тогда двойной многоугольник получается простой перестановкой вершин и ребер.
Таким образом, для треугольника с вершинами {A, B, C} и ребрами {AB, BC, CA} двойственный треугольник имеет вершины {AB, BC, CA} и ребра {B, C, A}, где B соединяет AB. & БК и так далее.
Это не особенно плодотворный путь, поскольку с комбинаторной точки зрения существует одно семейство многоугольников (задаваемое количеством сторон); геометрическая двойственность многоугольников более разнообразна, как и комбинаторно- двойственные многогранники .