В геометрии многогранник ( например, многоугольник или многогранник ) или мозаика является изогональным или вершинно-транзитивным , если все его вершины эквивалентны относительно симметрии фигуры. Это означает, что каждая вершина окружена гранями одного и того же типа в том же или обратном порядке и с одинаковыми углами между соответствующими гранями.
Технически говорят, что для любых двух вершин существует симметрия многогранника, отображающая первую изометрически на вторую. Другими способами это можно сказать, что группа автоморфизмов многогранника действует транзитивно на его вершинах или что вершины лежат внутри одной орбиты симметрии .
Все вершины конечной n -мерной изогональной фигуры существуют на ( n −1) -сфере . [ нужна цитата ]
Термин изогональный издавна использовался для обозначения многогранников. Вершинно-транзитивный — это синоним, заимствованный из современных идей, таких как группы симметрии и теория графов .
Псевдоромбокубооктаэдр , который не является изогональным, демонстрирует, что простое утверждение о том, что «все вершины выглядят одинаково», не так ограничительно, как используемое здесь определение, которое включает группу изометрий, сохраняющих многогранник или мозаику .
Все правильные многоугольники , апейрогоны и правильные звездчатые многоугольники изогональны . Двойственным изогональному многоугольнику является изотоксальный многоугольник .
Некоторые односторонние многоугольники и апейрогоны , у которых чередуются две длины ребер, например прямоугольник , являются изогональными .
Все плоские изогональные 2 n -угольники имеют двугранную симметрию (D n , n = 2, 3, ...) с линиями отражения через точки среднего края.
Изогональный многогранник и двумерная мозаика имеют вершины одного типа. Изогональный многогранник со всеми правильными гранями также является однородным многогранником и может быть представлен обозначением конфигурации вершин , упорядочивающим грани вокруг каждой вершины. Геометрически искаженным вариантам однородных многогранников и мозаик также можно придать конфигурацию вершин.
Изогональные многогранники и двумерные мозаики можно дополнительно классифицировать:
Эти определения могут быть распространены на многогранники и мозаики более высокой размерности . Все однородные многогранники изогональны , например, однородные 4-многогранники и выпуклые однородные соты .
Двойственным изогональному многограннику является равногранная фигура , транзитивная на своих гранях .
Многогранник или мозаику можно назвать k -изогональным , если его вершины образуют k классов транзитивности. Более ограничительный термин, k -uniform, определяется как k-изогональная фигура , построенная только из правильных многоугольников . Их можно визуально представить цветами различных однородных раскрасок .