Квадрат

Правильный четырехугольник

В евклидовой геометрии квадрат представляет собой правильный четырехугольник , что означает, что он имеет четыре равные стороны и четыре равных угла ( углы 90 градусов , радиальные углы π/2 или прямые углы ). Его также можно определить как прямоугольник с двумя смежными сторонами одинаковой длины. Это единственный правильный многоугольник , у которого все внутренние углы , центральный угол и внешний угол равны (90°), а все диагонали равны по длине. Квадрат с вершинами ABCD будет обозначаться ABCD . ^[1] ${\displaystyle \square }$

Характеристики

Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда он является одним из следующих: ^{[2] [3]}

• Прямоугольник , у которого две смежные равные стороны
• Ромб с прямым углом при вершине
• Ромб , у которого все углы равны
• Параллелограмм с одним прямым углом при вершине и двумя прилегающими к нему равными сторонами .
• Четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами .
• Четырехугольник, у которого диагонали равны и являются биссектрисами друг друга (т. е. ромб с равными диагоналями).
• Выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d, площадь которого равна ^{[4] : ​​Следствие 15.} ${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}(a^{2}+c^{2})={\tfrac {1}{2}}(b^{2}+d^{2}).}$

Характеристики

Квадрат — это частный случай ромба (равные стороны, противоположные равные углы), воздушного змея (две пары смежных равных сторон), трапеции (одна пара противоположных сторон параллельна), параллелограмма (все противоположные стороны параллельны), четырехугольник или тетрагон (четырехсторонний многоугольник), а также прямоугольник (противоположные стороны равны, прямые углы), и поэтому обладает всеми свойствами всех этих фигур, а именно: ^[5]

• Все четыре внутренних угла квадрата равны (каждый равен 360°/4 = 90°, угол прямой).
• Центральный угол квадрата равен 90° (360°/4).
• Внешний угол квадрата равен 90°.
• Диагонали квадрата равны и делят друг друга пополам, сходясь под углом 90°.
• Диагональ квадрата делит его внутренний угол пополам, образуя прилежащие углы по 45°.
• Все четыре стороны квадрата равны.
• Противоположные стороны квадрата параллельны .
• Квадрат имеет символ Шлефли {4}. Усеченный квадрат t {4} — это восьмиугольник {8}. Перемеженный квадрат h {4} является двуугольником {2} .
• Квадрат представляет собой случай n = 2 семейств n - гиперкубов и n - ортоплексов .

Периметр и площадь

Площадь квадрата равна произведению длин его сторон.

Периметр квадрата, четыре стороны которого имеют длину , равен ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle P=4\ell }$

а площадь А _

${\displaystyle A=\ell ^{2}.}$^[1]

Поскольку четыре в квадрате равняются шестнадцати, площадь квадрата четыре на четыре равна его периметру. Единственный четырехугольник, обладающий таким свойством, — это прямоугольник размером три на шесть.

В классические времена вторая степень описывалась через площадь квадрата, как в приведенной выше формуле. Это привело к использованию термина « квадрат» для обозначения возведения во вторую степень.

Площадь также можно вычислить с помощью диагонали d по формуле

${\displaystyle A={\frac {d^{2}}{2}}.}$

Если рассматривать радиус описанной окружности R , то площадь квадрата равна

${\displaystyle A=2R^{2};}$

поскольку площадь круга равна квадрату, заполняющему описанный в нем круг . ${\displaystyle \pi R^{2},}$ ${\displaystyle 2/\pi \approx 0.6366}$

С точки зрения радиуса r площадь квадрата равна

${\displaystyle A=4r^{2};}$

следовательно, площадь вписанного круга равна площади квадрата. ${\displaystyle \pi /4\approx 0.7854}$

Поскольку это правильный многоугольник , квадрат представляет собой четырехугольник наименьшего периметра, охватывающий заданную площадь. Двойственно, квадрат — это четырёхугольник, содержащий наибольшую площадь в пределах заданного периметра. ^[6] Действительно, если A и P — площадь и периметр, окруженные четырехугольником, то имеет место следующее изопериметрическое неравенство :

${\displaystyle 16A\leq P^{2}}$

с равенством тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом.

Другие факты

• Диагонали квадрата (около 1,414) раза превышают длину стороны квадрата. Это значение, известное как квадратный корень из 2 или постоянная Пифагора, ^[1] было первым числом, иррациональность которого была доказана . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• Квадрат также можно определить как параллелограмм с равными диагоналями, делящими углы пополам.
• Если фигура одновременно является прямоугольником (прямые углы) и ромбом (равные длины ребер), то это квадрат.
• Квадрат имеет большую площадь, чем любой другой четырехугольник с таким же периметром. ^[7]
• Квадратная мозаика — одна из трёх правильных мозаик плоскости (остальные — равносторонний треугольник и правильный шестиугольник ).
• Квадрат входит в два семейства многогранников в двух измерениях: гиперкуб и перекрестный многогранник . Символ Шлефли для квадрата — {4}.
• Квадрат — очень симметричный объект. Существует четыре линии отражательной симметрии и вращательная симметрия 4-го порядка (до 90 °, 180 ° и 270 °). Его группой симметрии является группа диэдра  D ₄ .
• Внутри любого правильного многоугольника можно вписать квадрат . Единственный другой многоугольник, обладающий этим свойством, — это равносторонний треугольник .
• Если вписанная окружность в квадрат ABCD имеет точки касания E с AB , F с BC , G с CD и H с DA , то для любой точки P на вписанной окружности ^[8]

${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$

• Если – расстояние от произвольной точки плоскости до i -й вершины квадрата, а – радиус описанной квадрата, то ^[9] ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$

• Если и — расстояния от произвольной точки плоскости до центра тяжести квадрата и четырех его вершин соответственно, то ^[10] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$

и

${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$

где радиус описанной квадрата. ${\displaystyle R}$

Координаты и уравнения

${\displaystyle |x|+|y|=2}$построенный в декартовых координатах .

Координаты вершин квадрата с вертикальными и горизонтальными сторонами с центром в начале координат и длиной стороны 2 равны (±1, ±1), а внутренняя часть этого квадрата состоит из всех точек ( xi _, y _i ) с -1 < Икс _я < 1 и -1 < y _я < 1 . Уравнение

${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=1}$

определяет границу этого квадрата. Это уравнение означает: « x ² или y ² , в зависимости от того, что больше, равно 1». Радиус описанной окружности этого квадрата (радиус окружности, проведенной через вершины квадрата) равен половине диагонали квадрата и равен Тогда описанная окружность имеет уравнение ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2.}$

Альтернативно уравнение

${\displaystyle \left|x-a\right|+\left|y-b\right|=r.}$

также может использоваться для описания границы квадрата с координатами центра ( a , b ) и горизонтальным или вертикальным радиусом r . _{Таким образом ,} квадрат имеет форму топологического шара в соответствии с метрикой расстояния L1 .

Строительство

Следующие анимации показывают, как построить квадрат с помощью циркуля и линейки . Это возможно как 4 = 2 ² , степень двойки .

Квадрат на данной описанной окружности

Симметрия

Двугранные симметрии делятся в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров). Циклические симметрии в среднем столбце помечены буквой g для их центрального порядка вращения. Полная симметрия квадрата равна r8 , отсутствие симметрии отмечено буквой a1 .

Квадрат имеет симметрию Dih _{4 ,} порядок 8. Имеется 2 диэдральные подгруппы: Dih ₂ , Dih ₁ и 3 циклические подгруппы: Z 4 _, Z ₂ и Z ₁ .

Квадрат является частным случаем многих четырехугольников более низкой симметрии:

• Прямоугольник, у которого две смежные равные стороны
• Четырехугольник с четырьмя равными сторонами и четырьмя прямыми углами.
• Параллелограмм с одним прямым углом и двумя прилежащими равными сторонами.
• Ромб с прямым углом
• Ромб, у которого все углы равны
• Ромб с равными диагоналями

Эти 6 симметрий выражают 8 различных симметрий на квадрате. Джон Конвей маркирует их буквенным и групповым порядком. ^[11]

Каждая подгруппа симметрии допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных четырехугольников . r8 — полная симметрия квадрата, а a1 — отсутствие симметрии. d4 — симметрия прямоугольника , а p4 — симметрия ромба . Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии квадрата. d2 — симметрия равнобедренной трапеции , а p2 — симметрия воздушного змея . g2 определяет геометрию параллелограмма .

Только подгруппа g4 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как квадрат с направленными краями .

Квадраты, вписанные в треугольники

Каждый остроугольный треугольник имеет три вписанных квадрата (квадрата внутри него, такие, что все четыре вершины квадрата лежат на одной из сторон треугольника, поэтому две из них лежат на одной стороне и, следовательно, одна сторона квадрата совпадает с частью стороны). треугольника). В прямоугольном треугольнике два квадрата совпадают и имеют вершину под прямым углом треугольника, поэтому в прямоугольном треугольнике есть только два различных вписанных квадрата. В тупоугольный треугольник есть только один вписанный квадрат, сторона которого совпадает с частью самой длинной стороны треугольника.

Доля площади треугольника, заполняемая квадратом, не превышает 1/2.

Квадратура круга

Квадратирование круга , предложенное древними геометрами , представляет собой задачу построения квадрата той же площади, что и данный круг , используя только конечное число шагов с помощью циркуля и линейки .

В 1882 году была доказана невыполнимость задачи вследствие теоремы Линдемана-Вейерштрасса , доказывающей, что pi ( π ) — трансцендентное число , а не алгебраическое иррациональное число ; то есть он не является корнем какого-либо многочлена с рациональными коэффициентами.

Неевклидова геометрия

В неевклидовой геометрии квадраты чаще всего представляют собой многоугольники с четырьмя равными сторонами и равными углами.

В сферической геометрии квадрат — это многоугольник, края которого представляют собой дуги большого круга , находящиеся на равном расстоянии и пересекающиеся под равными углами. В отличие от квадрата плоской геометрии, углы такого квадрата больше прямого угла. Большие сферические квадраты имеют большие углы.

В гиперболической геометрии не существует квадратов с прямыми углами. Скорее, квадраты в гиперболической геометрии имеют углы меньше прямых. Большие гиперболические квадраты имеют меньшие углы.

Примеры:

Перечеркнутый квадрат

Перекрещенный квадрат

Перекрещенный квадрат — это огранка квадрата, самопересекающийся многоугольник, созданный путем удаления двух противоположных сторон квадрата и повторного соединения двумя его диагоналями. Он имеет половину симметрии квадрата, Dih ₂ , порядок 4. Он имеет то же расположение вершин , что и квадрат, и является вершинно-транзитивным . Он выглядит как два треугольника 45-45-90 с общей вершиной, но геометрическое пересечение не считается вершиной.

Перекрещенный квадрат иногда сравнивают с галстуком-бабочкой или бабочкой . скрещенный прямоугольник , как огранка прямоугольника, связан с обоими частными случаями скрещенных четырехугольников . ^[12]

Внутренняя часть скрещенного квадрата может иметь плотность многоугольников ±1 в каждом треугольнике, в зависимости от ориентации обмотки по часовой стрелке или против часовой стрелки.

Квадрат и скрещенный квадрат имеют следующие общие свойства:

• Противоположные стороны равны по длине.
• Обе диагонали равны по длине.
• Он имеет две линии отражательной симметрии и вращательную симметрию второго порядка (до 180°).

Он существует в вершинной фигуре однородного звездчатого многогранника — тетрагемигексаэдра .

Графики

3-симплекс (3D)

Полный граф K ₄ часто изображается в виде квадрата со всеми шестью возможными ребрами, поэтому он выглядит как квадрат с нарисованными обеими диагоналями. Этот граф также представляет собой ортогональную проекцию 4 вершин и 6 ребер правильного 3- симплекса ( тетраэдра ).

Смотрите также

• Математический портал

• Куб
• теорема Пифагора
• Квадратная решетка
• Квадратный номер
• Квадратный корень
• Возведение квадрата в квадрат
• Сквиркл
• Единица площади

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Квадрат». Вольфрам Математический мир . Проверено 2 сентября 2020 г.
2. Залман Усискин и Дженнифер Гриффин, «Классификация четырехугольников. Исследование определения», Information Age Publishing, 2008, стр. 59, ISBN 1-59311-695-0 . 
3. «Набор задач 1.3» . jwilson.coe.uga.edu . Проверено 12 декабря 2017 г.
4. Йозефссон, Мартин, «Свойства равнодиагональных четырехугольников» Forum Geometricorum , 14 (2014), 129–144.
5. «Четырехугольники - квадрат, прямоугольник, ромб, трапеция, параллелограмм» . www.mathsisfun.com . Проверено 2 сентября 2020 г.
6. Чакериан, Г.Д. «Искаженный взгляд на геометрию». Ч. 7 по «Математическим сливам» (Р. Хонсбергер, редактор). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1979: 147.
7. Лундсгаард Хансен, Мартин. «Вагн Лундсгаард Хансен». www2.mat.dtu.dk. _ Проверено 12 декабря 2017 г.
8. «Уроки геометрии, Задача 331. Квадрат, Точка на вписанном круге, Точки касания. Магистр учителя математики. Колледж, Подготовка к SAT. Электронное обучение, Онлайн-репетитор по математике, LMS» . gogeometry.com . Проверено 12 декабря 2017 г.
9. Пак, Пу-Сон. «Расстояния регулярных многогранников», Forum Geometricorum 16, 2016, 227–232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf
10. Месхишвили, Мамука (2021). «Циклические средние значения правильных многоугольных расстояний» (PDF) . Международный журнал геометрии . 10 :58–65.
11. Джон Х. Конвей, Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, (2008) Симметрии вещей, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 20, Обобщенные символы Шефли, Типы симметрии многоугольника, стр. 275– 278) 
12. Уэллс, Кристофер Дж. «Четырехугольники». www.technologyuk.net . Проверено 12 декабря 2017 г.

Внешние ссылки

• Анимационный курс (Строительство, Окружность, Площадь)
• Определение и свойства квадрата С интерактивным апплетом
• Анимированный апплет, показывающий площадь квадрата