Ромбоэдр

Многогранник с шестью ромбами в качестве граней.

В геометрии ромбоэдр (также называемый ромбическим шестигранником ^{[1] [2]} или, неточно, ромбоидом ^[а] ) — это частный случай параллелепипеда, у которого все шесть граней являются конгруэнтными ромбами . ^[3] Его можно использовать для определения ромбоэдрической решетчатой ​​системы , сот с ромбоэдрическими ячейками. У ромбоэдра две противоположные вершины, у которых все углы граней равны; у вытянутого ромбоэдра этот общий угол острый, а у сплюснутого ромбоэдра - тупой угол в этих вершинах. Куб – это частный случай ромбоэдра, у которого все стороны квадратные .

Особые случаи

Общий угол на двух вершинах здесь обозначен как . Существует две основные формы ромбоэдра: сплюснутая (сплющенная) и вытянутая (вытянутая). ${\displaystyle \theta }$

В сплющенном случае и в вытянутом случае . Ибо фигура – ​​куб. ${\displaystyle \theta >90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta <90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta =90^{\circ }}$

Определенные пропорции ромбов приводят к некоторым хорошо известным частным случаям. Обычно они встречаются как в вытянутой, так и в сплюснутой формах.

Твердая геометрия

Для единичного ромбоэдра (т. е. с длиной стороны 1) ^[4] с ромбическим острым углом , с одной вершиной в начале координат (0, 0, 0) и с одним ребром, лежащим вдоль оси x, три порождающих вектора являются ${\displaystyle \theta ~}$

е ₁  : ${\displaystyle {\biggl (}1,0,0{\biggr )},}$

е ₂  : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,\sin \theta ,0{\biggr )},}$

е ₃  : ${\displaystyle {\biggl (}\cos \theta ,{\cos \theta -\cos ^{2}\theta \over \sin \theta },{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }{\biggr )}.}$

Остальные координаты могут быть получены векторным _{сложением [} ⁵ _{] трех} векторов направления : e1 + e2 , e1 + e3 _, e2 _{+ e3} и e1 + e2 ₊ e3 _.

Объем ромбоэдра, выраженный в терминах длины его стороны и ромбовидного острого угла , представляет собой упрощение объема параллелепипеда и определяется выражением ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta ~}$

${\displaystyle V=a^{3}(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }}=a^{3}{\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}(1+2\cos \theta )}}=a^{3}{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }}~.}$

Мы можем выразить объем другим способом: ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=2{\sqrt {3}}~a^{3}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right){\sqrt {1-{\frac {4}{3}}\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)}}~.}$

Поскольку площадь (ромбического) основания определяется выражением , а высота ромбоэдра определяется его объемом, деленным на площадь его основания, высота ромбоэдра через длину его стороны и его ромбический острый угол равна данный ${\displaystyle a^{2}\sin \theta ~}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle h=a~{(1-\cos \theta ){\sqrt {1+2\cos \theta }} \over \sin \theta }=a~{{\sqrt {1-3\cos ^{2}\theta +2\cos ^{3}\theta }} \over \sin \theta }~.}$

Примечание:

${\displaystyle h=a~z}$₃ , где ₃ — третья координата e ₃ . ${\displaystyle z}$

Диагональ тела между остроугольными вершинами самая длинная. В силу вращательной симметрии относительно этой диагонали все остальные три диагонали тела между тремя парами противоположных тупоугольных вершин имеют одинаковую длину.

Связь с ортоцентрическими тетраэдрами

Четыре точки, образующие несмежные вершины ромбоэдра, обязательно образуют четыре вершины ортоцентрического тетраэдра , и таким способом можно образовать все ортоцентрические тетраэдры. ^[6]

Ромбоэдрическая решетка

Система ромбоэдрической решетки имеет ромбоэдрические ячейки с 6 конгруэнтными ромбическими гранями ^{, образующими} тригональный ^{трапецоэдр} .

Смотрите также

• Списки фигур

Примечания

1. Точнее, ромб — двумерная фигура.

Рекомендации

1. Миллер, Уильям А. (январь 1989 г.). «Математический ресурс: головоломки с ромбическими додекаэдрами». Математика в школе . 18 (1): 18–24. JSTOR  30214564.
2. Инчбальд, Гай (июль 1997 г.). «Архимедовы сотовые двойники». Математический вестник . 81 (491): 213–219. дои : 10.2307/3619198. JSTOR  3619198.
3. Коксетер, HSM. Правильные многогранники. Третье издание. Дувр. стр.26.
4. Линии, L (1965). Твердая геометрия: с главами о пространственных решетках, пакетах сфер и кристаллах . Дуврские публикации.
5. «Векторное сложение». Вольфрам. 17 мая 2016 года . Проверено 17 мая 2016 г.
6. Корт, Северная Каролина (октябрь 1934 г.), «Заметки об ортоцентрическом тетраэдре», American Mathematical Monthly , 41 (8): 499–502, doi : 10.2307/2300415, JSTOR  2300415.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Ромбоэдр». Математический мир .
• Калькулятор объема https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php