Циклический четырехугольник

Четырехугольник, все вершины которого могут лежать на одной окружности.

Примеры вписанных четырехугольников

В евклидовой геометрии вписанный четырехугольник или вписанный четырехугольник — это четырехугольник , все вершины которого лежат на одной окружности . Эта окружность называется описанной окружностью или описанной окружностью , а вершины называются солежащими . Центр окружности и ее радиус называются центром описанной окружности и радиусом описанной окружности соответственно. Другие названия этих четырехугольников — вписанный четырехугольник и хордальный четырехугольник , последнее, поскольку стороны четырехугольника являются хордами описанной окружности. Обычно четырехугольник считают выпуклым , но встречаются и скрещенные вписанные четырехугольники. Приведенные ниже формулы и свойства справедливы и в выпуклом случае.

Слово циклический происходит от древнегреческого κύκλος ( куклос ), что означает «круг» или «колесо».

Во всех треугольниках есть описанная окружность , но не во всех четырехугольниках. Примером четырехугольника, который не может быть вписанным, является неквадратный ромб . В приведенных ниже характеристиках раздела указано, каким необходимым и достаточным условиям должен удовлетворять четырехугольник, чтобы иметь описанную окружность.

Особые случаи

Любой квадрат , прямоугольник , равнобедренная трапеция или антипараллелограмм являются циклическими. Воздушный змей является циклическим тогда и только тогда, когда у него есть два прямых угла – прямой воздушный змей . Бицентрический четырехугольник — это вписанный четырехугольник, который также является касательным , а экс-бицентрический четырехугольник — это вписанный четырехугольник, который также является экс-касательным . Гармонический четырехугольник — это вписанный четырехугольник, у которого произведения длин противоположных сторон равны.

Характеристики

Вписанный четырехугольник ABCD

Окружной центр

Выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда четыре серединных перпендикуляра к его сторонам совпадают . Эта общая точка — центр описанной окружности . ^[1]

Дополнительные углы

Выпуклый четырехугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда его противоположные углы являются дополнительными , то есть ^{[1] [2]}

${\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \ {\text{radians}}\ (=180^{\circ }).}$

Прямая теорема — это предложение 22 третьей книги « Начал » Евклида . ^[3] Эквивалентно, выпуклый четырехугольник является циклическим тогда и только тогда, когда каждый внешний угол равен противоположному внутреннему углу .

В 1836 году Дункан Грегори обобщил этот результат следующим образом: для любого выпуклого циклического 2 n -угольника каждая из двух сумм альтернативных внутренних углов равна ( n -1) . ^[4] Этот результат можно обобщить следующим образом: если A1A2...A2n (n > 1) — любой циклический 2n -угольник , в котором вершина Ai->Ai+k (вершина Ai соединена с Ai+k ), тогда каждая из двух сумм чередующихся внутренних углов равна m (где m = n — k и k = 1, 2, 3, ... — общий поворот). ^[5] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Взяв стереографическую проекцию (тангенс половинного угла) каждого угла, это можно выразить еще раз:

${\displaystyle {\frac {\tan {\frac {\alpha }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}}{1-\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\delta }{2}}}{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}}}=\infty .}$

Это означает, что ^[6]

${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}{\tan {\frac {\delta }{2}}}=1}$

Углы между сторонами и диагоналями

Выпуклый четырехугольник ABCD является вписанным тогда и только тогда, когда угол между стороной и диагональю равен углу между противоположной стороной и другой диагональю. ^[7] Вот, например,

${\displaystyle \angle ACB=\angle ADB.}$

Паскаль-очки

ABCD — вписанный четырехугольник. E — точка пересечения диагоналей, а F — точка пересечения продолжений сторон BC и AD . — круг, диаметр которого равен сегменту EF . P и Q — точки Паскаля, образованные кругом . Треугольники FAB и FCD подобны. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Другими необходимыми и достаточными условиями цикличности выпуклого четырехугольника ABCD являются: пусть E — точка пересечения диагоналей, пусть F — точка пересечения продолжений сторон AD и BC , пусть — окружность, диаметр которой равен сегмент, EF , и пусть P и Q — точки Паскаля на сторонах AB и CD , образованных кругом . (1) ABCD — вписанный четырехугольник тогда и только тогда, когда точки P и Q лежат на одной прямой с центром O окружности . (2) ABCD — вписанный четырехугольник тогда и только тогда, когда точки P и Q являются серединами сторон AB и CD . ^[2] ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$
${\displaystyle \omega }$

Пересечение диагоналей

Если две прямые, одна из которых содержит отрезок AC, а другая — отрезок BD , пересекаются в точке E , то четыре точки A , B , C , D лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда ^[8]

${\displaystyle \displaystyle AE\cdot EC=BE\cdot ED.}$

Пересечение E может быть внутренним или внешним по отношению к кругу. В первом случае вписанный четырехугольник — ABCD , а во втором — вписанный четырехугольник — ABDC . Когда пересечение является внутренним, равенство утверждает, что произведение длин отрезков, на которые E делит одну диагональ, равно произведению длин другой диагонали. Это известно как теорема о пересекающихся хордах , поскольку диагонали вписанного четырехугольника являются хордами описанной окружности.

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея выражает произведение длин двух диагоналей e и f вписанного четырехугольника как равное сумме произведений противоположных сторон: ^{[9] : стр.25  [2]}

${\displaystyle \displaystyle ef=ac+bd,}$

где a , b , c , d — длины сторон по порядку. Обратное также верно . То есть, если это уравнение выполняется в выпуклом четырехугольнике, то образуется вписанный четырехугольник.

Диагональный треугольник

ABCD — вписанный четырехугольник. EFG — диагональный треугольник ABCD . Точка T пересечения бимедиан ABCD принадлежит девятиточечной окружности EFG .

В выпуклом четырехугольнике ABCD пусть EFG — диагональный треугольник ABCD , а — окружность из девяти точек EFG .ABCD циклический тогда и только тогда, когда точка пересечения бимедиан ABCD принадлежит девятиточечной окружности . ^{[10] [11] [2]} ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Область

Площадь K вписанного четырехугольника со сторонами a, b , c , d определяется формулой Брахмагупты [ 9 ^{] : с.24}

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,}$

где s , полупериметр , равен s =1/2( а + б + в + d ) . Это следствие формулы Бретшнайдера для общего четырехугольника, поскольку противоположные углы в циклическом случае являются дополнительными. Если также d = 0 , вписанный четырёхугольник становится треугольником и формула сводится к формуле Герона .

Вписанный четырехугольник имеет максимальную площадь среди всех четырехугольников, имеющих одинаковые длины сторон (независимо от последовательности). Это еще одно следствие формулы Бретшнейдера. Это также можно доказать с помощью математического анализа . ^[12]

Четыре неравные длины, каждая из которых меньше суммы трех других, являются сторонами каждого из трех неконгруэнтных вписанных четырехугольников, ^[13] которые по формуле Брахмагупты имеют одинаковую площадь. В частности, для сторон a , b , c и d сторона a может находиться напротив любой стороны b , стороны c или стороны d .

Площадь вписанного четырехугольника с последовательными сторонами a , b , c , d , углом A между сторонами a и d и углом B между сторонами a и b можно выразить как ^{[9] : стр.25.}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}}$

или

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}}$

или ^{[9] : стр. 26.}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}$

где θ — любой угол между диагоналями. Если угол A не является прямым, площадь также можно выразить как ^{[9] : стр.26.}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}.}$

Другая формула ^{[14] : стр.83.}

${\displaystyle \displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }}$

где R — радиус описанной окружности . Как прямое следствие, ^[15]

${\displaystyle K\leq 2R^{2}}$

где равенство существует тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом.

Диагонали

В вписанном четырехугольнике с последовательными вершинами A , B , C , D и сторонами a = AB , b = BC , c = CD и d = DA , длины диагоналей p = AC и q = BD можно выразить через термины сторон как ^{[9] : стр.25,   [16] [17] : стр. 84}

${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}}$и ${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}$

так что показываем теорему Птолемея

${\displaystyle pq=ac+bd.}$

Согласно второй теореме Птолемея , ^{[9] : с.25,   [16]}

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}}$

используя те же обозначения, что и выше.

Для суммы диагоналей имеем неравенство ^{[18] : с.123, #2975}

${\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.}$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда диагонали имеют одинаковую длину, что можно доказать с помощью неравенства AM-GM .

Более того, ^{[18] : с.64, #1639}

${\displaystyle (p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}.}$

В любом выпуклом четырехугольнике две диагонали вместе делят четырехугольник на четыре треугольника; во вписанном четырехугольнике противоположные пары этих четырех треугольников подобны друг другу.

Если M и N — середины диагоналей AC и BD , то ^[19]

${\displaystyle {\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|}$

где E и F — точки пересечения продолжений противоположных сторон.

Если ABCD — вписанный четырехугольник, в котором AC пересекает BD в точке E , то ^[20]

${\displaystyle {\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}.}$

Набор сторон, которые могут образовывать вписанный четырехугольник, может быть расположен в любой из трех различных последовательностей, каждая из которых может образовывать вписанный четырехугольник одинаковой площади в одной и той же описанной окружности (площади одинаковы в соответствии с формулой площади Брахмагупты). Любые два из этих вписанных четырехугольников имеют одну общую длину диагонали. ^{[17] : с. 84}

Формулы углов

Для вписанного четырехугольника с последовательными сторонами a , b , c , d , полупериметром s и углом A между сторонами a и d тригонометрические функции A определяются формулами ^[21]

${\displaystyle \cos A={\frac {a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2}}{2(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \sin A={\frac {2{\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}{(ad+bc)}},}$

${\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {(s-a)(s-d)}{(s-b)(s-c)}}}.}$

Угол θ между диагоналями, противоположными сторонам a и c , удовлетворяет ^{[9] : с.26.}

${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)}{(s-a)(s-c)}}}.}$

Если продолжения противоположных сторон а и с пересекаются под углом ф , то

${\displaystyle \cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {(s-b)(s-d)(b+d)^{2}}{(ab+cd)(ad+bc)}}}}$

где s — полупериметр . ^{[9] : стр.31}

Обозначим угол между сторонами и , угол между и , угол между и , тогда: ^[22] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+c}{b+d}}&={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\cos {\tfrac {1}{2}}(C-D)}}\tan {\tfrac {1}{2}}\theta ,\\[10mu]{\frac {a-c}{b-d}}&={\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}(A+B)}{\sin {\tfrac {1}{2}}(D-C)}}\cot {\tfrac {1}{2}}\theta .\end{aligned}}}$

Формула радиуса описанной окружности Парамешвары

Вписанный четырехугольник с последовательными сторонами a , b , c , d и полупериметром s имеет радиус описанной окружности ( радиус описанной окружности ), заданный формулой ^{[16] [23]}

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}.}$

Его вывел индийский математик Ватасери Парамешвара в 15 веке. (Обратите внимание, что радиус инвариантен при перестановке любых длин сторон.)

Используя формулу Брахмагупты , формулу Парамешвары можно переформулировать как

${\displaystyle 4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}}$

где K — площадь вписанного четырехугольника.

Антицентр и коллинеарности

Четыре отрезка, каждый из которых перпендикулярен одной стороне вписанного четырехугольника и проходит через середину противоположной стороны , являются параллельными . ^{[24] : стр.131,   [25]} Эти отрезки линий называются высотами , ^[26] что является аббревиатурой высоты средней точки. Их общая точка называется антицентром . Он имеет свойство быть отражением центра описанной окружности в «центроиде вершины» . Таким образом, в вписанном четырехугольнике центр описанной окружности, «центроид вершины» и антицентр лежат на одной прямой . ^[25]

Если диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точке P , а середины диагоналей — M и N , то антицентр четырехугольника является ортоцентром треугольника MNP .

Антицентр вписанного четырехугольника — это точка Понселе его вершин.

Другие объекты недвижимости

Японская теорема

• Во вписанном четырехугольнике ABCD вписанные центры M1 _, M2 _, M3 , M4 ( см . рисунок справа) в треугольниках DAB _{, ABC} , BCD и CDA являются вершинами прямоугольника . Это одна из теорем, известных как японская теорема . Ортоцентры тех же четырех треугольников являются вершинами четырехугольника, конгруэнтного ABCD , а центроиды этих четырех треугольников являются вершинами другого вписанного четырехугольника. ^[7]
• В вписанном четырехугольнике ABCD с центром описанной окружности O пусть P — точка пересечения диагоналей AC и BD . Тогда угол APB является средним арифметическим углов AOB и COD . Это прямое следствие теоремы о вписанном угле и теоремы о внешнем угле .
• Ни в арифметической , ни в геометрической прогрессии не существует вписанных четырехугольников с рациональной площадью и с неравными рациональными сторонами . ^[27]

• Если вписанный четырёхугольник имеет длины сторон, образующие арифметическую прогрессию, то четырёхугольник также является экс-бицентрическим .
• Если противоположные стороны вписанного четырехугольника продлены до встречи в точках E и F , то внутренние биссектрисы углов в точках E и F перпендикулярны. ^[13]

Четырехугольники Брахмагупты

Четырехугольник Брахмагупты [ ^28] — это вписанный четырехугольник с целыми сторонами, целыми диагоналями и целой площадью. Все четырехугольники Брахмагупты со сторонами a , b , c , d , диагоналями e , f , площадью K и радиусом описанной окружности R могут быть получены путем очистки знаменателей от следующих выражений, включающих рациональные параметры t , u и v :

${\displaystyle a=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]}$

${\displaystyle b=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)}$

${\displaystyle c=t(1+u^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle d=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)}$

${\displaystyle e=u(1+t^{2})(1+v^{2})}$

${\displaystyle f=v(1+t^{2})(1+u^{2})}$

${\displaystyle K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]}$

${\displaystyle 4R=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2}).}$

Ортодиагональный случай

Окружной радиус и площадь

Для вписанного четырехугольника, который также является ортодиагональным (имеет перпендикулярные диагонали), предположим, что пересечение диагоналей делит одну диагональ на отрезки длин p ₁ и p ₂ и делит другую диагональ на отрезки длин q ₁ и q ₂ . Тогда ^[29] (первое равенство — предложение 11 в « Книге лемм Архимеда » )

${\displaystyle D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$

где D — диаметр описанной окружности . Это справедливо, поскольку диагонали являются перпендикулярными хордами окружности . Из этих уравнений следует, что радиус описанной окружности R можно выразить как

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}}}}$

или, в терминах сторон четырехугольника, как ^[24]

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}.}$

Отсюда также следует, что ^[24]

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=8R^{2}.}$

Таким образом, согласно теореме Эйлера о четырёхугольниках , радиус описанной окружности можно выразить через диагонали p и q , а расстояние x между серединами диагоналей как

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {p^{2}+q^{2}+4x^{2}}{8}}}.}$

Формула площади К вписанного ортодиагонального четырехугольника через четыре стороны получается непосредственно при объединении теоремы Птолемея и формулы площади ортодиагонального четырехугольника . Результат: ^{[30] : стр.222.}

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd).}$

Другие объекты недвижимости

• В вписанном ортодиагональном четырехугольнике антицентр совпадает с точкой пересечения диагоналей. ^[24]
• Теорема Брахмагупты утверждает, что для вписанного четырехугольника, который также является ортодиагональным , перпендикуляр с любой стороны, проходящий через точку пересечения диагоналей, делит противоположную сторону пополам. ^[24]
• Если вписанный четырехугольник также ортодиагонален, расстояние от центра описанной окружности до любой стороны равно половине длины противоположной стороны. ^[24]
• В вписанном ортодиагональном четырехугольнике расстояние между серединами диагоналей равно расстоянию между центром описанной окружности и точкой пересечения диагоналей. ^[24]

Циклические сферические четырехугольники

В сферической геометрии сферический четырехугольник, образованный из четырех пересекающихся больших кругов, является циклическим тогда и только тогда, когда суммы противоположных углов равны, т. е. α + γ = β + δ для последовательных углов α, β, γ, δ четырехугольника. . ^[31] Одно направление этой теоремы было доказано Андерсом Йоханом Лекселлом в 1782 году. ^[32] Лекселл показал, что в сферическом четырехугольнике, вписанном в малый круг сферы, суммы противоположных углов равны, и что в описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Первая из этих теорем представляет собой сферический аналог теоремы о плоскости, а вторая теорема — двойственная к ней, то есть результат перестановки больших кругов и их полюсов. ^[33] Кипер и др. ^{В [34]} доказано обращение теоремы: если в сферическом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то существует вписывающая окружность в этот четырехугольник.

Смотрите также

• Теорема о бабочке
• Циклический многоугольник
• Сила точки
• Таблица аккордов Птолемея
• Пятиугольник Роббинса

Рекомендации

1. Усискин, Залман; Гриффин, Дженнифер; Витонски, Дэвид; Уиллмор, Эдвин (2008), «10. Циклические четырехугольники», Классификация четырехугольников: исследование определения , Исследования в области математического образования, IAP, стр. 63–65, ISBN 978-1-59311-695-8
2. Фрайвер, Дэвид; Сиглер, Ави; Ступель, Моше (2020), «Необходимые и достаточные свойства вписанного четырехугольника», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 51 (6): 913–938, doi : 10.1080/0020739X.2019.1683772, S2CID  209930435
3. Джойс, DE (июнь 1997 г.), «Книга 3, Предложение 22», Элементы Евклида , Университет Кларка
4. Грегори, Дункан (1836), «Геометрическая теорема», Cambridge Mathematical Journal , 1 : 92.
5. Де Вильерс, Майкл (1993), «Объединяющее обобщение теоремы Тернбулла», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 24 : 191–196, doi : 10.1080/0020739930240204.
6. Хаджа, Моваффак (2008), «Условие цикличности описанного четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 8 : 103–6
7. Андрееску, Титу; Энеску, Богдан (2004), «2.3 Циклические четверные», Сокровища математической олимпиады, Springer, стр. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8, МР  2025063
8. Брэдли, Кристофер Дж. (2007), Алгебра геометрии: декартовы, площадные и проективные координаты , Highperception, с. 179, ISBN 978-1906338008, OCLC  213434422
9. Дарелл, резюме; Робсон, А. (2003) [1930], Расширенная тригонометрия, Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8
10. Фрайвер, Дэвид (июль 2019 г.). «Новые точки, принадлежащие девятиточечному кругу». Математический вестник . 103 (557): 222–232. дои : 10.1017/mag.2019.53.
11. Фрайвер, Дэвид (2018). «Новые применения метода комплексных чисел в геометрии вписанных четырехугольников» (PDF) . Международный журнал геометрии . 7 (1): 5–16.
12. Питер, Томас (сентябрь 2003 г.), «Максимизация площади четырехугольника», The College Mathematics Journal , 34 (4): 315–6, doi : 10.2307/3595770, JSTOR  3595770
13. Коксетер, Гарольд Скотт Макдональд; Грейцер, Сэмюэл Л. (1967), «3.2 Циклические четырехугольники; формула Брахмагупты», « Возвращение к геометрии» , Математическая ассоциация Америки, стр. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
14. Прасолов, Виктор, Проблемы с плоской и объемной геометрией: v.1 Plane Geometry (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 21 сентября 2018 г. , получено 6 ноября 2011 г.
15. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009), «4.3 Циклические, тангенциальные и бицентрические четырехугольники», Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств, Математическая ассоциация Америки, стр. 64, ISBN 978-0-88385-342-9
16. Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2007), «О диагоналях вписанного четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 147–9
17. Джонсон, Роджер А., Расширенная евклидова геометрия , Dover Publ., 2007 (оригинал 1929).
18. Неравенства, предложенные в « Crux Mathematicorum » , 2007, [1].
19. «ABCD — вписанный четырехугольник. Пусть M, N — середины диагоналей AC, BD соответственно…» Искусство решения задач . 2010.^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
20. А. Богомольный , Тождество в (циклических) четырехугольниках, Интерактивный математический сборник и головоломки , [2], по состоянию на 18 марта 2014 г.
21. Сиддонс, AW; Хьюз, RT (1929), Тригонометрия , издательство Кембриджского университета, стр. 202, ОСЛК  429528983
22. Хосе Гарсиа, Эммануэль Антонио (2022), «Обобщение формулы Моллвейде (скорее Ньютона)» (PDF) , Matinf , 5 (9–10): 19–22 , получено 29 декабря 2023 г.
23. Хен, Ларри (март 2000 г.), «Описанный радиус вписанного четырехугольника», Mathematical Gazette , 84 (499): 69–70, doi : 10.2307/3621477, JSTOR  3621477
24. Альтшиллер-Корт, Натан (2007) [1952], Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Courier Dover, стр. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC  78063045
25. Хонсбергер, Росс (1995), «4.2 Циклические четырехугольники», Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Новая математическая библиотека, том. 37, Издательство Кембриджского университета, стр. 35–39, ISBN. 978-0-88385-639-0
26. Вайсштейн, Эрик В. «Мальтити». Математический мир .
27. Бухгольц, Р.Х.; МакДугалл, Дж. А. (1999), «Четырехугольники Цапли со сторонами в арифметической или геометрической прогрессии», Бюллетень Австралийского математического общества , 59 (2): 263–9, doi : 10.1017/S0004972700032883 , hdl : 1959.13/803798 , MR  1680787
28. Састри, КРС (2002). «Четырехугольники Брахмагупты» (PDF) . Форум Геометрикорум . 2 : 167–173.
29. Посаментье, Альфред С.; Салкинд, Чарльз Т. (1970), «Решения: 4–23. Докажите, что сумма квадратов размеров отрезков, образованных двумя перпендикулярными хордами, равна квадрату меры диаметра данного круга». , Сложные проблемы геометрии (2-е изд.), Courier Dover, стр. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
30. Йозефссон, Мартин (2016), «Свойства четырехугольников Пифагора», The Mathematical Gazette , 100 (июль): 213–224, doi : 10.1017/mag.2016.57.
31. Виммер, Линхард (2011). «Циклические многоугольники в неевклидовой геометрии». Элементы математики . 66 (2): 74–82. дои : 10.4171/EM/173 .
32. Лекселл, Андерс Йохан (1786). «De proprietatibus circulorum in superficie sphaerica descriptorum». Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 6 : 1782 (1): 58–103, табл. с рисунками. 3.
33. Розенфельд, BA (1988). История неевклидовой геометрии — Спрингер . Исследования по истории математики и физических наук. Том. 12. дои : 10.1007/978-1-4419-8680-1. ISBN 978-1-4612-6449-1.
34. Кипер, Гекхан; Сойлемез, Эрес (1 мая 2012 г.). «Гомотетичные связи, подобные джиттербагу». Теория механизма и машин . 51 : 145–158. doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2011.11.014.

дальнейшее чтение

• Д. Фрайвер: Четырехугольники точек Паскаля, вписанные в вписанный четырехугольник.

Внешние ссылки

• Вывод формулы площади циклического четырехугольника.
• Инцентры в циклическом четырехугольнике при разрезании узла
• Четыре параллельные прямые в циклическом четырехугольнике при разрезании узла
• Вайсштейн, Эрик В. «Циклический четырехугольник». Математический мир .