В математике метод очистки знаменателей , также называемый очисткой дробей , представляет собой метод упрощения уравнения , приравнивающего два выражения, каждое из которых представляет собой сумму рациональных выражений , включая простые дроби .
Рассмотрим уравнение
Наименьшее общее кратное двух знаменателей 6 и 15 z равно 30 z , поэтому обе части умножаются на 30 z :
В результате получается уравнение без дробей.
Упрощенное уравнение не полностью эквивалентно исходному. Когда мы подставляем y = 0 и z = 0 в последнее уравнение, обе части упрощаются до 0, поэтому мы получаем 0 = 0 , математическую истину. Но та же замена, примененная к исходному уравнению, приводит к x /6 + 0/0 = 1 , что математически бессмысленно .
Без ограничения общности можно считать, что правая часть уравнения равна 0, поскольку уравнение E 1 = E 2 эквивалентно можно переписать в виде E 1 − E 2 = 0 .
Итак, пусть уравнение имеет вид
Первым шагом является определение общего знаменателя D этих дробей – предпочтительно наименьшего общего знаменателя , который является наименьшим общим кратным Q i .
Это означает, что каждое Q i является фактором D , поэтому D = R i Q i для некоторого выражения R i , которое не является дробью. Затем
при условии, что R i Q i не принимает значение 0 – в этом случае D также равно 0.
Итак, у нас есть сейчас
При условии, что D не принимает значение 0, последнее уравнение эквивалентно
в котором знаменатели исчезли.
Как показывают оговорки, необходимо проявлять осторожность, чтобы не вводить нули D – рассматриваемые как функция неизвестных уравнения – как ложные решения .
Рассмотрим уравнение
Наименьший общий знаменатель равен x ( x + 1) ( x + 2) .
Следование методу, описанному выше, приводит к
Дальнейшее упрощение дает нам решение x = −3 .
Легко проверить, что ни один из нулей x ( x + 1)( x + 2) – а именно x = 0 , x = −1 и x = −2 – не является решением окончательного уравнения, поэтому никаких ложных решений нет. были представлены.
