Антипараллелограмм

Многоугольник с четырьмя пересекающимися ребрами двух длин

Антипараллелограмм

В геометрии антипараллелограмм — это тип самопересекающегося четырёхугольника . Как и параллелограмм , антипараллелограмм имеет две противоположные пары сторон одинаковой длины, но эти пары сторон в общем случае не параллельны . Вместо этого каждая пара сторон антипараллельна по отношению к другой, при этом стороны в более длинной паре пересекают друг друга, как в механизме ножниц . В то время как противолежащие углы параллелограмма равны и ориентированы одинаково, у антипараллелограмма они равны, но ориентированы противоположно. Антипараллелограммы также называют контрапараллелограммами ^[1] или скрещенными параллелограммами ^[2] .

Антипараллелограммы встречаются как вершинные фигуры некоторых невыпуклых однородных многогранников . В теории четырёхзвенных шарнирных передач шарнирные связи в форме антипараллелограмма также называются шарнирными связями типа «бабочка » или «бабочка» и используются при проектировании некруглых зубчатых передач . В небесной механике они встречаются в определённых семействах решений задачи четырёх тел .

Каждый антипараллелограмм имеет ось симметрии , все четыре вершины которой лежат на окружности. Его можно получить из равнобедренной трапеции , добавив две диагонали и удалив две параллельные стороны. Площадь каждого антипараллелограмма со знаком равна нулю.

Геометрические свойства

Три окружности, связанные с антипараллелограммом

Антипараллелограмм — это частный случай скрещенного четырехугольника с двумя парами ребер одинаковой длины. ^[3] В общем случае скрещенные четырехугольники могут иметь неравные ребра. ^[3] Специальная форма антипараллелограмма — это скрещенный прямоугольник , в котором два противоположных ребра параллельны. ^[4] Каждый антипараллелограмм — это вписанный четырехугольник , что означает, что все его четыре вершины лежат на одной окружности . ^[3] Кроме того, четыре вытянутые стороны любого антипараллелограмма являются бикасательными двух окружностей, что делает антипараллелограммы тесно связанными с касательными четырехугольниками , внекасательными четырехугольниками и воздушными змеями (которые являются как касательными, так и внекасательными). ^[5]

Каждый антипараллелограмм имеет ось симметрии, проходящую через его точку пересечения. Из-за этой симметрии он имеет две пары равных углов и две пары равных сторон. ^[2] Четыре середины его сторон лежат на линии, перпендикулярной оси симметрии; то есть для этого вида четырехугольника параллелограмм Вариньона является вырожденным четырехугольником нулевой площади, состоящим из четырех коллинеарных точек. ^{[6] [7]} Выпуклая оболочка антипараллелограмма является равнобедренной трапецией , и каждый антипараллелограмм может быть образован из равнобедренной трапеции (или ее частных случаев, прямоугольников и квадратов) путем замены двух параллельных сторон двумя диагоналями трапеции. ^[4]

Поскольку антипараллелограмм образует две конгруэнтные треугольные области плоскости, но обходит эти две области в противоположных направлениях, его знаковая площадь равна разности площадей областей и, следовательно, равна нулю. ^[7] Беззнаковая площадь многоугольника (общая площадь, которую он окружает) равна сумме, а не разности этих площадей. Для антипараллелограмма с двумя параллельными диагоналями длиной и , разделенными высотой , эта сумма равна . ^{[4] Из применения} неравенства треугольника к этим двум треугольным областям следует , что пересекающаяся пара ребер в антипараллелограмме всегда должна быть длиннее двух непересекающихся ребер. ^[8] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle hpq/(p+q)}$

Приложения

В многогранниках

Несколько невыпуклых однородных многогранников , включая тетрагемигексаэдр , кубогемиоктаэдр , октагемиоктаэдр , малый ромбогексаэдр , малый икосигемидодекаэдр и малый додекахемидодекаэдр , имеют в качестве вершинных фигур антипараллелограммы — поперечные сечения, образованные путем разрезания многогранника плоскостью, проходящей вблизи вершины перпендикулярно оси между вершиной и центром. ^[9]

Одна из форм неоднородного, но гибкого многогранника , октаэдр Брикара , может быть построена как бипирамида над антипараллелограммом. ^[10]

Четырехзвенные соединения

Антипараллелограммная связь, укрепленная в своих средних точках, чтобы не допустить ее расцепления. ^[11] Требуется только три соединения в средней точке.
Пунктирные связи указывают на последнюю связь, необходимую для четвертого соединения.

Антипараллелограмм использовался как форма четырехзвенной связи , в которой четыре жесткие балки фиксированной длины (четыре стороны антипараллелограмма) могут вращаться относительно друг друга в шарнирах, расположенных в четырех вершинах антипараллелограмма. В этом контексте его также называют связью бабочка или галстук-бабочка . Как связь, она имеет точку неустойчивости, в которой она может быть преобразована в параллелограмм и наоборот, но любая из этих связей может быть укреплена, чтобы предотвратить эту неустойчивость. ^{[12] [11]}

Для параллелограммных и антипараллелограммных связей, если одно из длинных (скрещенных) ребер связи зафиксировано как основание, свободные сочленения движутся по равным окружностям, но в параллелограмме они движутся в одном направлении с равными скоростями, тогда как в антипараллелограмме они движутся в противоположных направлениях с неравными скоростями. ^[13] Как обнаружил Джеймс Уатт , если антипараллелограмм имеет длинную сторону, закрепленную таким образом, середина незакрепленной длинной стороны будет описывать лемнискату или кривую в виде восьмерки. Для антипараллелограмма, образованного сторонами и диагоналями квадрата, это лемниската Бернулли . ^{[14] [15]}

Антипараллелограмм с фиксированной длинной стороной является вариантом рычажной передачи Уатта . ^[14] Антипараллелограмм является важной особенностью в конструкции инверсора Харта , рычажной передачи, которая (как и рычажная передача Поселье–Липкина ) может преобразовывать вращательное движение в прямолинейное. ^[16] Рычажная передача в форме антипараллелограмма также может использоваться для соединения двух осей четырехколесного транспортного средства, уменьшая радиус поворота транспортного средства относительно подвески, которая позволяет поворачиваться только одной оси. ^[2] Пара вложенных антипараллелограммов использовалась в рычажной передаче, определенной Альфредом Кемпе как часть теоремы универсальности Кемпе , утверждающей, что любая алгебраическая кривая может быть вычерчена шарнирами соответствующим образом определенной рычажной передачи. Кемпе назвал рычажную передачу вложенного антипараллелограмма «мультипликатором», поскольку ее можно было использовать для умножения угла на целое число. ^[1] При использовании в другом направлении, для деления углов, его можно использовать для трисекции угла (хотя и не как конструкцию с помощью линейки и циркуля ). ^[17] Первоначальные построения Кемпе, использующие эту связь, упускали из виду неустойчивость параллелограмма-антипараллелограмма, но скрепление связей исправляет его доказательство теоремы универсальности. ^[12]

Конструкция шестерни

Предположим, что одно из непересекающихся ребер антипараллелограммной связи закреплено на месте, а оставшаяся связь свободно перемещается. При перемещении связи каждый образованный антипараллелограмм может быть разделен на два конгруэнтных треугольника, встречающихся в точке пересечения. В треугольнике, основанном на неподвижном ребре, длины двух подвижных сторон в сумме равны постоянной длине одного из скрещенных ребер антипараллелограмма, и, следовательно, подвижная точка пересечения вычерчивает эллипс с неподвижными точками в качестве его фокусов. Симметрично, второе (подвижное) непересекающееся ребро антипараллелограмма имеет своими концами фокусы второго эллипса, образованного из первого путем отражения относительно касательной, проходящей через точку пересечения. ^{[2] [18]} Поскольку второй эллипс катится вокруг первого, это построение эллипсов из движения антипараллелограмма может быть использовано при проектировании эллиптических зубчатых передач , которые преобразуют равномерное вращение в неравномерное вращение или наоборот. ^[19]

Небесная механика

В задаче n -тел , изучении движений точечных масс в соответствии с законом всемирного тяготения Ньютона , важную роль играют центральные конфигурации , решения задачи n -тел, в которой все тела вращаются вокруг некоторой центральной точки, как если бы они были жестко связаны друг с другом. Например, для трех тел существует пять решений этого типа, заданных пятью точками Лагранжа . Для четырех тел, с двумя парами тел, имеющими равные массы (но с соотношением между массами двух пар, изменяющимся непрерывно), численные данные указывают на то, что существует непрерывное семейство центральных конфигураций, связанных друг с другом движением антипараллелограммной связи. ^[20]

Ссылки

1. Demaine, Erik ; O'Rourke, Joseph (2007), Геометрические алгоритмы складывания , Cambridge University Press, стр. 32–33, doi :10.1017/CBO9780511735172, ISBN 978-0-521-85757-4, г-н  2354878
2. Брайант, Джон; Сангвин, Кристофер Дж. (2008), "3.3 Перекрещенный параллелограмм", Насколько круглый ваш круг? Где встречаются инженерия и математика , Princeton University Press, стр. 54–56, ISBN 978-0-691-13118-4.
3. Бегалла, Энджелл; Перукка, Антонелла (2020), «ABCD вписанных четырехугольников», Uitwiskeling , Люксембургский университет, hdl :10993/43232
4. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2020), A Cornucopia of Quadrilaterals, The Dolciani Mathematical Expositions, т. 55, Провиденс, Род-Айленд: MAA Press и Американское математическое общество, стр. 212, ISBN 978-1-4704-5312-1, г-н  4286138
5. Уилер, Роджер Ф. (1958), «Четырехугольники», The Mathematical Gazette , 42 (342): 275–276, doi : 10.2307/3610439, JSTOR  3610439, S2CID  250434576
6. Muirhead, RF (февраль 1901 г.), «Геометрия равнобедренной трапеции и контрпараллелограмма с приложениями к геометрии эллипса», Труды Эдинбургского математического общества , 20 : 70–72, doi : 10.1017/s0013091500032892
7. De Villiers, Michael (2015), «Уничтожение геометрического «монстра»: нахождение площади пересеченного четырехугольника», Learning and Teaching Mathematics , 2015 (18): 23–28, hdl :10520/EJC175721
8. Тот же аргумент доказывает в более общем смысле, что в любом выпуклом четырехугольнике (например, равнобедренной трапеции, из которой получен антипараллелограмм) сумма двух диагоналей больше, чем сумма любых двух противолежащих сторон. В равнобедренной трапеции две диагонали равны, как и две противолежащие стороны, что упрощает это неравенство. Для использования неравенства треугольника для доказательства неравенства сумм диагоналей см., например, Demaine & O'Rourke (2007, стр. 80)
9. Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS ; Miller, JCP (1954), "Однородные многогранники", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Серия A, Математические и физические науки , 246 (916): 401–450, Bibcode :1954RSPTA.246..401C, doi :10.1098/rsta.1954.0003, JSTOR  91532, MR  0062446, S2CID  202575183
10. Демейн и О'Рурк (2007), Раздел 23.2, «Гибкие многогранники», стр. 345–348.
11. Abbott, Timothy Good (2008), "3.1.2 Контрапараллелограммы", Обобщения теоремы универсальности Кемпе (PDF) (магистерская диссертация), Массачусетский технологический институт , стр. 34–36
12. Соссинский, Алексей (2016), «Конфигурационные пространства плоских шарнирных соединений», Справочник по теории Тейхмюллера, т. VI , Лекции IRMA по математике и теоретической физике, т. 27, Цюрих: Европейское математическое общество, стр. 335–373, MR  3618193; см. стр. 359
13. Нортон, Роберт Л. (2003), Проектирование машин , McGraw-Hill Professional, стр. 51, ISBN 978-0-07-121496-4
14. Брайант и Сэнгвин (2008), стр. 58–59
15. Канди, Х. Мартин (март 2005 г.), «89.23 Лемниската Бернулли», The Mathematical Gazette , 89 (514): 89–93, doi :10.1017/s0025557200176855, S2CID  125521872
16. Дейксман, Э.А. (1976), Геометрия движения механизмов, Cambridge University Press, стр. 203, ISBN 9780521208413
17. Йейтс, Роберт С. (март 1941 г.), «Проблема трисекции», National Mathematics Magazine , 15 (6): 278–293, doi :10.2307/3028413, JSTOR  3028413
18. ван Скутен, Франс (1646), De Organica Conicarumsectionum In PlanoDescriptione, Tractatus. Геометрис, Оптицис; Præsertim verò Gnomonicis et Mechanicis Utilis. Cui subnexa est Приложение, de Cubicarum Æquationumsolvee, стр. 49–50, 69–70.
19. Глезер, Георг (2020), «Антипараллелограммы; не всегда должно быть равномерное вращение ...», Геометрия и ее применение в искусстве, природе и технике , Springer International Publishing, стр. 428–429, doi :10.1007/978-3-030-61398-3, ISBN 978-3-030-61397-6, S2CID  241160811
20. Гребеников, Евгений А.; Ихсанов, Ерсаин В.; Прокопеня, Александр Н. (2006), "Численно-символические вычисления при изучении центральных конфигураций в плоской ньютоновской задаче четырех тел", Компьютерная алгебра в научных вычислениях , Lecture Notes in Comput. Sci., т. 4194, Берлин: Springer, стр. 192–204, doi :10.1007/11870814_16, MR  2279793

Внешние ссылки

• Медиа, связанные с Антипараллелограммы на Wikimedia Commons