Равнобедренная трапеция

Трапеция, симметричная относительно оси

В евклидовой геометрии равнобедренная трапеция ( isosceles trapezium в британском английском ) — это выпуклый четырёхугольник с линией симметрии, делящей пополам одну пару противоположных сторон. Это особый случай трапеции . В качестве альтернативы её можно определить как трапецию , в которой обе стороны и оба угла при основании имеют одинаковую меру, ^[1] или как трапецию, диагонали которой имеют одинаковую длину. ^[2] Обратите внимание, что непрямоугольный параллелограмм не является равнобедренной трапецией из-за второго условия или потому, что у него нет линии симметрии. В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны , а две другие стороны (боковые стороны) имеют одинаковую длину (свойства, общие с параллелограммом ), а диагонали имеют одинаковую длину. Углы при основании равнобедренной трапеции равны по величине (фактически существует две пары равных углов при основании, где один угол при основании является дополнительным углом к ​​углу при основании другого основания).

Особые случаи

Частные случаи равнобедренных трапеций

Прямоугольники и квадраты обычно считаются частными случаями равнобедренных трапеций, хотя некоторые источники исключают их. ^[3]

Другим частным случаем является трапеция с тремя равными сторонами , иногда называемая трехсторонней трапецией ^[4] или трехбедренной трапецией . Их также можно рассматривать как вырезанных из правильных многоугольников с пятью или более сторонами как усечение четырех последовательных вершин.

Самопересечения

Любой несамопересекающийся четырехугольник с ровно одной осью симметрии должен быть либо равнобедренной трапецией, либо воздушным змеем . ^[5] Однако, если пересечения разрешены, множество симметричных четырехугольников должно быть расширено за счет включения также скрещенных равнобедренных трапеций, скрещенных четырехугольников, в которых скрещенные стороны имеют одинаковую длину, а другие стороны параллельны, и антипараллелограммов , скрещенных четырехугольников, в которых противоположные стороны имеют одинаковую длину.

Каждый антипараллелограмм имеет равнобедренную трапецию в качестве своей выпуклой оболочки и может быть образован из диагоналей и непараллельных сторон (или любой пары противоположных сторон в случае прямоугольника) равнобедренной трапеции. ^[6]

Характеристика

Если известно, что четырехугольник является трапецией , недостаточно просто проверить, что его стороны имеют одинаковую длину, чтобы узнать, что это равнобедренная трапеция, поскольку ромб является частным случаем трапеции с сторонами одинаковой длины, но не является равнобедренной трапецией, поскольку у него отсутствует линия симметрии, проходящая через середины противоположных сторон.

Любое из следующих свойств отличает равнобедренную трапецию от других трапеций:

• Диагонали имеют одинаковую длину.
• Углы при основании имеют одинаковую величину.
• Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен им.
• Противоположные углы являются дополнительными, что в свою очередь означает, что равнобедренные трапеции являются вписанными четырехугольниками .
• Диагонали делят друг друга на отрезки с длинами, которые попарно равны; на рисунке ниже AE = DE , BE = CE (и AE ≠ CE, если требуется исключить прямоугольники).

Углы

В равнобедренной трапеции углы при основании имеют попарно одинаковую меру. На рисунке ниже углы ∠ ABC и ∠ DCB являются тупыми углами одинаковой меры, а углы ∠ BAD и ∠ CDA являются острыми углами , также одинаковой меры.

Так как прямые AD и BC параллельны, то углы, прилежащие к противолежащим основаниям, являются дополнительными , то есть углы ∠ ABC + ∠ BAD = 180°.

Диагонали и высота

Еще одна равнобедренная трапеция.

Диагонали равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину; то есть, каждая равнобедренная трапеция является равнодиагональным четырехугольником . Более того, диагонали делят друг друга в одинаковых пропорциях. Как показано на рисунке, диагонали AC и BD имеют одинаковую длину ( AC = BD ) и делят друг друга на отрезки одинаковой длины ( AE = DE и BE = CE ).

Отношение , в котором делится каждая диагональ, равно отношению длин параллельных сторон, которые они пересекают, то есть,

${\displaystyle {\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.}$

Длина каждой диагонали, согласно теореме Птолемея , определяется по формуле

${\displaystyle p={\sqrt {ab+c^{2}}}}$

где a и b — длины параллельных сторон AD и BC , а c — длина каждого катета AB и CD .

Высота, согласно теореме Пифагора , определяется по формуле

${\displaystyle h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-(a-b)^{2}}}.}$

Расстояние от точки E до основания AD определяется по формуле

${\displaystyle d={\frac {ah}{a+b}}}$

где a и b — длины параллельных сторон AD и BC , а h — высота трапеции.

Область

Площадь равнобедренной (или любой) трапеции равна среднему значению длин основания и вершины ( параллельных сторон ), умноженному на высоту. На соседней диаграмме, если мы запишем AD = a , и BC = b , а высота h — это длина отрезка прямой между AD и BC , который перпендикулярен им, то площадь K равна

${\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}\left(a+b\right)h.}$

Если вместо высоты трапеции известна общая длина катетов AB = CD = c , то площадь можно вычислить, используя формулу Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника, которая при равенстве двух сторон упрощается до

${\displaystyle K=(s-c){\sqrt {(s-a)(s-b)}},}$

где - полупериметр трапеции. Эта формула аналогична формуле Герона для вычисления площади треугольника. Предыдущая формула для площади может быть также записана как ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)}$

${\displaystyle K={\frac {a+b}{4}}{\sqrt {(a-b+2c)(b-a+2c)}}.}$

Радиус окружности

Радиус описанной окружности определяется по формуле ^[7]

${\displaystyle R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(a-b)^{2}}}}.}$

В прямоугольнике , где a = b, это упрощается до . ${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}$

Смотрите также

• Равнобедренная касательная трапеция

Ссылки

1. "Трапеция - определение математического слова - Math Open Reference".
2. Рёти, Дон Э. (1967). «Что такое равнобедренная трапеция?». Учитель математики . 60 (7): 729–730. doi :10.5951/MT.60.7.0729. JSTOR  27957671.
3. Ларсон, Рон; Босвелл, Лори (2016). Большие идеи МАТЕМАТИКА, Геометрия, Техасское издание . Big Ideas Learning, LLC (2016). стр. 398. ISBN 978-1608408153.
4. "Иерархическая классификация четырехугольников". dynamicmathematicslearning.com . Получено 10 февраля 2024 г. .
5. Холстед, Джордж Брюс (1896), «Глава XIV. Симметричные четырехугольники», Элементарная синтетическая геометрия, J. Wiley & sons, стр. 49–53.
6. Уитни, Уильям Дуайт; Смит, Бенджамин Эли (1911), The Century Dictionary and Cyclopedia, The Century co., стр. 1547.
7. Трапеция на Math24.net: Формулы и таблицы [1] Архивировано 28 июня 2018 г. на Wayback Machine . Доступ 1 июля 2014 г.

Внешние ссылки

• Некоторые инженерные формулы, включающие равнобедренные трапеции