Описанная сфера

Сфера, касающаяся всех вершин многогранника.

Описанная сфера куба

В геометрии описанная сфера многогранника — это сфера , содержащая многогранник и касающаяся каждой из вершин многогранника . ^[1] Слово «описанная сфера» иногда используется для обозначения того же самого, по аналогии с термином « описанная окружность» . ^[2] Как и в случае двумерных описанных окружностей (описанных окружностей), радиус сферы , описанной вокруг многогранника P , называется радиусом описанной окружности P , ^[3] а центральная точка этой сферы называется центром описанной вокруг многогранника P . ^[4]

Существование и оптимальность

Когда она существует, описанная сфера не обязательно должна быть наименьшей сферой, содержащей многогранник ; например, тетраэдр, образованный вершиной куба и тремя его соседями, имеет ту же окружность, что и сам куб, но может содержаться внутри сферы меньшего размера, имеющей три соседние вершины на экваторе. Однако наименьшая сфера, содержащая данный многогранник, всегда является сферой, описанной выпуклой оболочкой подмножества вершин многогранника. ^[5]

В «De Solidorum Elementis» (около 1630 г.) Рене Декарт заметил, что для многогранника с описанной сферой все грани имеют описанные круги, круги, где плоскость грани встречается с описанной сферой. Декарт предположил, что это необходимое условие существования описанной сферы является достаточным, но это неверно: например, некоторые бипирамиды могут иметь на своих гранях описанные круги (все они являются треугольниками), но при этом не иметь описанной сферы для граней. целый многогранник. Однако всякий раз, когда простой многогранник имеет описанную окружность для каждой из своих граней, он также имеет описанную сферу. ^[6]

Связанные понятия

Описанная сфера является трехмерным аналогом описанной окружности . У всех правильных многогранников есть описанные сферы, но у большинства неправильных многогранников их нет, поскольку, вообще говоря, не все вершины лежат на общей сфере. Описанная сфера (если она существует) является примером ограничивающей сферы , сферы, содержащей заданную форму. Можно определить наименьшую ограничивающую сферу для любого многогранника и вычислить ее за линейное время . ^[5]

Другие сферы, определенные для некоторых, но не для всех многогранников, включают срединную сферу , сферу, касающуюся всех ребер многогранника, и вписанную сферу , сферу, касающуюся всех граней многогранника. В правильных многогранниках вписанная сфера, средняя сфера и описанная сфера существуют и концентричны . ^[7]

Когда описанная сфера представляет собой набор бесконечных предельных точек гиперболического пространства , многогранник, который она описывает, называется идеальным многогранником .

Точка на описанной сфере

Есть пять выпуклых правильных многогранников , известных как Платоновы тела . Все Платоновы тела имеют описанные сферы. Для произвольной точки описанной сферы каждого Платонова тела с числом вершин , если – расстояния до вершин , то ^[8] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle MA_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle 4(MA_{1}^{2}+MA_{2}^{2}+...+MA_{n}^{2})^{2}=3n(MA_{1}^{4}+MA_{2}^{4}+...+MA_{n}^{4}).}$

Рекомендации

1. Джеймс, RC (1992), Математический словарь, Springer, стр. 62, ISBN 9780412990410.
2. Попко, Эдвард С. (2012), Разделенные сферы: геодезика и упорядоченное деление сферы, CRC Press, стр. 144, ISBN 9781466504295.
3. Смит, Джеймс Т. (2011), Методы геометрии, John Wiley & Sons, стр. 419, ISBN 9781118031032.
4. Альтшиллер-Корт, Натан (1964), Современная чистая твердотельная геометрия (2-е изд.), Chelsea Pub. Компания, с. 57.
5. Фишер, Каспар; Гертнер, Бернд; Куц, Мартин (2003), «Быстрое вычисление наименьшего охватывающего шара в больших измерениях», Алгоритмы - ESA 2003: 11-й ежегодный европейский симпозиум, Будапешт, Венгрия, 16–19 сентября 2003 г., Материалы (PDF) , Конспекты лекций на компьютере Наука , том. 2832, Springer, стр. 630–641, номер документа : 10.1007/978-3-540-39658-1_57..
6. Федерико, Паскуале Джозеф (1982), Декарт о многогранниках: исследование «De Solidorum elementis» , Источники по истории математики и физических наук, том. 4, Спрингер, стр. 52–53.
7. Коксетер, HSM (1973), «2.1 Правильные многогранники; 2.2 Взаимное движение», Правильные многогранники (3-е изд.), Дувр, стр. 16–17, ISBN 0-486-61480-8.
8. Месхишвили, Мамука (2020). «Циклические средние правильных многоугольников и платоновых тел». Коммуникации в математике и приложениях . 11 : 335–355. arXiv : 2010.12340 . doi : 10.26713/cma.v11i3.1420 (неактивен 31 января 2024 г.).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of January 2024 (link)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Окружность». Математический мир .