Барицентрическая система координат

Система координат, определяемая точками, а не векторами.

3-симплекс с барицентрическими подразделениями 1-граней (ребер), 2-граней (треугольников) и 3-граней (тела).

В геометрии барицентрическая система координат — это система координат , в которой расположение точки задается ссылкой на симплекс ( треугольник для точек на плоскости , тетраэдр для точек в трехмерном пространстве и т. д.). Барицентрические координаты точки можно интерпретировать как массы, расположенные в вершинах симплекса, так что точка является центром масс (или барицентром ) этих масс. Эти массы могут быть нулевыми или отрицательными; все они положительны тогда и только тогда, когда точка находится внутри симплекса.

Каждая точка имеет барицентрические координаты, и их сумма не равна нулю. Два кортежа барицентрических координат определяют одну и ту же точку тогда и только тогда, когда они пропорциональны; то есть, если один кортеж можно получить умножением элементов другого кортежа на то же ненулевое число. Поэтому барицентрические координаты считаются либо заданными с точностью до умножения на ненулевую константу, либо нормированными для суммирования до единицы.

Барицентрические координаты были введены Августом Мёбиусом в 1827 году. ^{[1] [2] [3]} Это специальные однородные координаты . Барицентрические координаты тесно связаны с декартовыми координатами и, в более общем смысле, с аффинными координатами (см. Аффинное пространство § Связь между барицентрическими и аффинными координатами ).

Барицентрические координаты особенно полезны в геометрии треугольника для изучения свойств, которые не зависят от углов треугольника, таких как теорема Чевы , теорема Рауса и теорема Менелая . В компьютерном проектировании они полезны для определения некоторых видов поверхностей Безье . ^{[4] [5]}

Определение

Пусть в евклидовом пространстве , плоском или аффинном пространстве размерности n аффинно независимые точки ; это означает, что не существует аффинного подпространства размерности n — 1 , которое содержало бы все точки ^[6] или, что то же самое, что точки определяют симплекс . Для любой точки существуют скаляры , не все из которых равны нулю, такие, что ${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle P\in \mathbf {A} ,}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$

$${\displaystyle (a_{0}+\cdots +a_{n}){\overrightarrow {OP}}=a_{0}{\overrightarrow {OA_{0}}}+\cdots +a_{n}{\overrightarrow {OA_{n}}},}$$

О.вектор перемещениясвободный векторAB. ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$

Элементы кортежа ( n + 1) , удовлетворяющего этому уравнению, называются барицентрическими координатами P относительно . Использование двоеточий в обозначении кортежа означает, что барицентрические координаты являются своего рода однородными координатами , то есть точка не изменяется, если все координаты умножаются на одну и ту же ненулевую константу. Причём барицентрические координаты также не изменяются, если изменить вспомогательную точку О , начало координат . ${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$ ${\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}.}$

Барицентрические координаты точки уникальны с точностью до масштабирования . То есть два кортежа и являются барицентрическими координатами одной и той же точки тогда и только тогда, когда существует ненулевой скаляр такой, что для каждого i . ${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{0}:\dotsc :b_{n})}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle b_{i}=\lambda a_{i}}$

В некоторых контекстах полезно ограничить барицентрические координаты точки, чтобы они были уникальными. Обычно это достигается наложением условия

$${\displaystyle \sum a_{i}=1,}$$

нормализованнымиабсолютными барицентрическими координатами^[7]аффинными координатами ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}.}$

Иногда именно нормированные барицентрические координаты называют барицентрическими координатами . В этом случае определенные выше координаты называются однородными барицентрическими координатами .

В приведенных выше обозначениях все однородные барицентрические координаты A _i равны нулю, за исключением координаты с индексом i . При работе над действительными числами (приведенное выше определение используется также для аффинных пространств над произвольным полем ) точки, все нормированные барицентрические координаты которых неотрицательны, образуют выпуклую оболочку , которой является симплекс , имеющий эти точки в качестве своих вершин. ${\displaystyle \{A_{0},\ldots ,A_{n}\},}$

В приведенных выше обозначениях кортеж такой, что ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})}$

$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}=0}$$

$${\displaystyle a_{0}{\overrightarrow {OA_{0}}}+\cdots +a_{n}{\overrightarrow {OA_{n}}}}$$

Oнаходящуюся на бесконечности ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}$

Связь с декартовыми или аффинными координатами

Барицентрические координаты тесно связаны с декартовыми координатами и, в более общем смысле, с аффинными координатами . Для пространства размерности n эти системы координат определяются относительно точки O , начала координат, координаты которой равны нулю, и n точек , координаты которых равны нулю, за исключением индекса i , равного единице. ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}$

У точки есть координаты

$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

$${\displaystyle (1-x_{1}-\cdots -x_{n},x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

${\displaystyle O,A_{1},\ldots ,A_{n}.}$

Основным преимуществом барицентрических систем координат является их симметричность относительно n + 1 определяющих точек. Поэтому они часто полезны для изучения свойств, симметричных относительно n + 1 точек. С другой стороны, расстояния и углы трудно выразить в общих барицентрических системах координат, и когда они задействованы, обычно проще использовать декартову систему координат.

Связь с проективными координатами

Однородные барицентрические координаты также сильно связаны с некоторыми проективными координатами . Однако эта связь более тонкая, чем в случае с аффинными координатами, и для ее ясного понимания требуется бескоординатное определение проективного пополнения аффинного пространства и определение проективной системы координат .

Проективное пополнение аффинного пространства размерности n — это проективное пространство той же размерности, которое содержит аффинное пространство в качестве дополнения к гиперплоскости . Проективное пополнение единственно с точностью до изоморфизма . Гиперплоскость называется гиперплоскостью на бесконечности , а ее точки — это точки на бесконечности аффинного пространства. ^[8]

Учитывая проективное пространство размерности n , проективная рамка представляет собой упорядоченный набор из n + 2 точек, которые не содержатся в одной и той же гиперплоскости. Проективная система координат определяет проективную систему координат такую, что координаты ( n + 2) -й точки системы координат равны, а в противном случае все координаты i -й точки равны нулю, кроме i -й. ^[8]

При построении проективного пополнения из аффинной системы координат его обычно определяют относительно проективной системы координат, состоящей из пересечений с гиперплоскостью на бесконечности координатных осей , начала аффинного пространства и точки, имеющей все свои аффинные координаты. координаты равны единице. Это означает, что точки, находящиеся на бесконечности, имеют свою последнюю координату, равную нулю, и что проективные координаты точки аффинного пространства получаются путем дополнения ее аффинных координат на единицу как ( n + 1) -я координата.

Когда в аффинном пространстве имеется n + 1 точка, определяющая барицентрическую систему координат, это еще одна проективная система координат проективного пополнения, которую удобно выбрать. Эта система координат состоит из этих точек и их центроида , то есть точки, у которой все барицентрические координаты равны. В этом случае однородные барицентрические координаты точки аффинного пространства совпадают с проективными координатами этой точки. Точка находится на бесконечности тогда и только тогда, когда сумма ее координат равна нулю. Эта точка находится в направлении вектора, определенного в конце § Определение.

Барицентрические координаты треугольников

Барицентрические координаты в равностороннем и прямоугольном треугольнике. ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$

В контексте треугольника барицентрические координаты также известны как координаты площади или координаты площади , поскольку координаты P относительно треугольника ABC эквивалентны (со знаком) отношениям площадей PBC , PCA и PAB к площади треугольника. опорный треугольник ABC . Площадные и трилинейные координаты используются в геометрии для аналогичных целей.

Барицентрические или площадные координаты чрезвычайно полезны в инженерных приложениях, включающих треугольные подобласти . Это часто упрощает оценку аналитических интегралов , а квадратурные таблицы Гаусса часто представляются в виде площадных координат.

Рассмотрим треугольник , определяемый тремя вершинами , и . Каждую точку , расположенную внутри этого треугольника, можно записать как уникальную выпуклую комбинацию трех вершин. Другими словами, для каждого существует уникальная последовательность из трех чисел такая, что и ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\geq 0}$ ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1}$

$${\displaystyle \mathbf {r} =\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3},}$$

Три числа указывают «барицентрические» или «площадные» координаты точки относительно треугольника. Их часто обозначают как вместо . Заметим, что хотя координат три, степени свободы всего две , поскольку . Таким образом, каждая точка однозначно определяется любыми двумя барицентрическими координатами. ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1}$

Чтобы объяснить, почему эти координаты являются знаковыми отношениями площадей , предположим, что мы работаем в евклидовом пространстве . Здесь рассмотрим декартову систему координат и связанный с ней базис , а именно . Рассмотрим также положительно ориентированный треугольник , лежащий в плоскости . Известно, что для любого базиса и любого свободного вектора ^[9] ${\displaystyle \mathbf {E} ^{3}}$ ${\displaystyle Oxyz}$ ${\displaystyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle Oxy}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} \}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {h} }$

$${\displaystyle \mathbf {h} ={\frac {1}{(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )}}\cdot {\bigl [}(\mathbf {h} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )\mathbf {e} +(\mathbf {e} ,\mathbf {h} ,\mathbf {g} )\mathbf {f} +(\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {h} )\mathbf {g} {\bigr ]},}$$

где обозначает смешанное произведение этих трех векторов. ${\displaystyle (\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=(\mathbf {e} \times \mathbf {f} )\cdot \mathbf {g} }$

Возьмем где — произвольная точка плоскости и заметим, что ${\displaystyle \mathbf {e} ={\vec {AB}},\,\mathbf {f} ={\vec {AC}},\,\mathbf {g} =\mathbf {k} ,\,\mathbf {h} ={\vec {AP}},}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Oxy}$

$${\displaystyle (\mathbf {e} ,\mathbf {f} ,\mathbf {h} )={\Bigl (}{\vec {AB}}\times {\vec {AC}}{\Bigr )}\cdot {\vec {AP}}={\Bigl (}\,{\Bigl |}{\vec {AB}}\times {\vec {AC}}{\Bigr |}\mathbf {k} {\Bigr )}\cdot {\vec {AP}}=0.}$$

Тонкий момент, касающийся нашего выбора свободных векторов: это, по сути, класс эквивалентности связанного вектора . ${\displaystyle \mathbf {e} }$ ${\displaystyle {\vec {AB}}}$

Мы получили это

$${\displaystyle {\vec {AP}}=m_{B}\cdot {\vec {AB}}+m_{C}\cdot {\vec {AC}}}$$

где

$${\displaystyle m_{B}={\frac {{\Bigl (}{\vec {AP}},{\vec {AC}},\mathbf {k} {\Bigr )}}{{\Bigl (}{\vec {AB}},{\vec {AC}},\mathbf {k} {\Bigr )}}},\quad m_{C}={\frac {{\Bigl (}{\vec {AB}},{\vec {AP}},\mathbf {k} {\Bigr )}}{{\Bigl (}{\vec {AB}},{\vec {AC}},\mathbf {k} {\Bigr )}}}.}$$

Учитывая положительную ( против часовой стрелки ) ориентацию треугольника , знаменатель обоих и в точности равен удвоенной площади треугольника . Также, ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle m_{B}}$ ${\displaystyle m_{C}}$ ${\displaystyle ABC}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}{\vec {AP}},{\vec {AC}},\mathbf {k} {\Bigr )}&={\Bigl (}{\vec {PC}},{\vec {PA}},\mathbf {k} {\Bigr )},\\[2pt]{\Bigl (}{\vec {AB}},{\vec {AP}},\mathbf {k} {\Bigr )}&={\Bigl (}{\vec {PA}},{\vec {PB}},\mathbf {k} {\Bigr )},\end{aligned}}}$$

и поэтому числители и являются двойниками подписанных площадей треугольников и соответственно . ${\displaystyle m_{B}}$ ${\displaystyle m_{C}}$ ${\displaystyle APC}$ ${\displaystyle ABP}$

Далее мы делаем вывод, что

$${\displaystyle {\vec {OP}}=(1-m_{B}-m_{C})\cdot {\vec {OA}}+m_{B}\cdot {\vec {OB}}+m_{C}\cdot {\vec {OC}}}$$

это означает, что числа , и являются барицентрическими координатами . Аналогично, третья барицентрическая координата читается как ${\displaystyle 1-m_{B}-m_{C}}$ ${\displaystyle m_{B}}$ ${\displaystyle m_{C}}$ ${\displaystyle P}$

$${\displaystyle m_{A}=1-m_{B}-m_{C}={\frac {{\Bigl (}{\vec {PB}},{\vec {PC}},\mathbf {k} {\Bigr )}}{{\Bigl (}{\vec {AB}},{\vec {AC}},\mathbf {k} {\Bigr )}}}.}$$

Такое -буквенное обозначение барицентрических координат обусловлено тем, что точку можно интерпретировать как центр масс масс , , которые расположены в , и . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m_{A}}$ ${\displaystyle m_{B}}$ ${\displaystyle m_{C}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Переключение между барицентрическими координатами и другими системами координат значительно упрощает решение некоторых проблем.

Преобразование барицентрических и декартовых координат

Краевой подход

Учитывая точку в плоскости треугольника, можно получить барицентрические координаты , а из декартовых координат или наоборот. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{3}}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Декартовы координаты точки можно записать через декартовы компоненты вершин треугольника , , где и через барицентрические координаты as ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}\end{aligned}}}$$

То есть декартовы координаты любой точки представляют собой средневзвешенное значение декартовых координат вершин треугольника, причем веса представляют собой барицентрические координаты точки, сумма которых равна единице.

Чтобы найти обратное преобразование из декартовых координат в барицентрические координаты, мы сначала подставляем в приведенное выше, чтобы получить ${\displaystyle \lambda _{3}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})x_{3}\\[2pt]y&=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})y_{3}\end{aligned}}}$$

Перестановка, это

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}(x_{1}-x_{3})+\lambda _{2}(x_{2}-x_{3})+x_{3}-x&=0\\[2pt]\lambda _{1}(y_{1}-y_{3})+\lambda _{2}(y_{2}-\,y_{3})+y_{3}-\,y&=0\end{aligned}}}$$

Это линейное преобразование можно записать более кратко как

$${\displaystyle \mathbf {T} \cdot \lambda =\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3}}$$

где вектор первых двух барицентрических координат , вектор декартовых координат и матрица , заданная формулой ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{3}\\y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{3}\end{matrix}}\right)}$$

Теперь матрица обратима , так как и линейно независимы ( если бы это было не так, то , , и были бы коллинеарны и не образовывали бы треугольника). Таким образом, мы можем переставить приведенное выше уравнение, чтобы получить ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}}$

$${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{3})}$$

Таким образом, нахождение барицентрических координат свелось к нахождению обратной матрицы 2×2 , что является простой задачей. ${\displaystyle \mathbf {T} }$

Явно, формулы для барицентрических координат точки через ее декартовы координаты ( x, y ) и через декартовы координаты вершин треугольника: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}=&\ {\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{2}-y_{3})(x-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[12pt]\lambda _{2}=&\ {\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{\det(\mathbf {T} )}}\\[4pt]&={\frac {(y_{3}-y_{1})(x-x_{3})+(x_{1}-x_{3})(y-y_{3})}{(y_{2}-y_{3})(x_{1}-x_{3})+(x_{3}-x_{2})(y_{1}-y_{3})}}\\[12pt]\lambda _{3}=&\ 1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\end{aligned}}}$$

Вершинный подход

Другой способ решения перевода из декартовых координат в барицентрические — записать соотношение в матричной форме

$${\displaystyle \mathbf {R} {\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {r} }$$

${\displaystyle \mathbf {R} =\left(\,\mathbf {r} _{1}\,|\,\mathbf {r} _{2}\,|\,\mathbf {r} _{3}\right)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\top },}$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$$

линейной системы ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1}$

$${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)}$$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2A}}{\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}&y_{2}-y_{3}&x_{3}-x_{2}\\x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}&y_{3}-y_{1}&x_{1}-x_{3}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}&y_{1}-y_{2}&x_{2}-x_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\y\end{pmatrix}}}$$

$${\displaystyle 2A=\det(1|R)=x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})}$$

правило Крамера

Преобразование между барицентрическими и трилинейными координатами

Точка с трилинейными координатами x  : y  : z имеет барицентрические координаты ax  : by  : cz , где a , b , c — длины сторон треугольника. И наоборот, точка с барицентрикой имеет трилинейки. ${\displaystyle \lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.}$

Уравнения в барицентрических координатах

Три стороны a, b, c соответственно имеют уравнения ^[10]

$${\displaystyle \lambda _{1}=0,\quad \lambda _{2}=0,\quad \lambda _{3}=0.}$$

Уравнение линии Эйлера треугольника имеет вид ^[10]

$${\displaystyle {\begin{vmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}&\lambda _{3}\\1&1&1\\\tan A&\tan B&\tan C\end{vmatrix}}=0.}$$

Используя ранее заданное преобразование между барицентрическими и трилинейными координатами, различные другие уравнения, приведенные в Трилинейные координаты#Формулы, можно переписать в терминах барицентрических координат.

Расстояние между точками

Вектор смещения двух нормированных точек и равен ^[11] ${\displaystyle P=(p_{1},p_{2},p_{3})}$ ${\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},q_{3})}$

$${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}=(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2},p_{3}-q_{3}).}$$

Расстояние между и или длина вектора смещения равна ^{[10] [11]} ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}=(x,y,z),}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}&=|PQ|^{2}\\[2pt]&=-a^{2}yz-b^{2}zx-c^{2}xy\\[4pt]&={\frac {1}{2}}{\Bigl [}x^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+y^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+z^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}){\Bigr ]}.\end{aligned}}}$$

где a, b, c — длины сторон треугольника. Эквивалентность последних двух выражений следует из того, что справедливо, поскольку ${\displaystyle x+y+z=0,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})\\[2pt]&=(p_{1}+p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})\\[2pt]&=1-1=0.\end{aligned}}}$$

Барицентрические координаты точки можно рассчитать на основе расстояний d _i до трех вершин треугольника, решив уравнение

$${\displaystyle \left({\begin{matrix}-c^{2}&c^{2}&b^{2}-a^{2}\\-b^{2}&c^{2}-a^{2}&b^{2}\\1&1&1\end{matrix}}\right){\boldsymbol {\lambda }}=\left({\begin{matrix}d_{A}^{2}-d_{B}^{2}\\d_{A}^{2}-d_{C}^{2}\\1\end{matrix}}\right).}$$

Приложения

Два решения головоломки о наливании воды объемом 8, 5 и 3 л с использованием барицентрического графика. Желтая область обозначает комбинации, достижимые с помощью кувшинов. Сплошные красные и пунктирные синие пути показывают плавные переходы. Когда вершина попадает в пунктирный треугольник, измерено 4 L.

Определение местоположения относительно треугольника

Хотя барицентрические координаты чаще всего используются для обработки точек внутри треугольника, их также можно использовать для описания точки вне треугольника. Если точка не находится внутри треугольника, мы все равно можем использовать приведенные выше формулы для вычисления барицентрических координат. Однако, поскольку точка находится вне треугольника, по крайней мере одна из координат будет противоречить нашему первоначальному предположению, что . Фактически, по любой точке в декартовых координатах мы можем использовать этот факт, чтобы определить, где находится эта точка относительно треугольника. ${\displaystyle \lambda _{1...3}\geq 0}$

Если точка лежит внутри треугольника, все барицентрические координаты лежат в открытом интервале. Если точка лежит на ребре треугольника, но не в вершине, одна из координат площади (которая связана с противоположной вершиной) ) равно нулю, а две другие лежат в открытом интервале. Если точка лежит на вершине, координата, связанная с этой вершиной, равна 1, а остальные равны нулю. Наконец, если точка лежит вне треугольника, хотя бы одна координата отрицательна. ${\displaystyle (0,1).}$ ${\displaystyle \lambda _{1...3}}$ ${\displaystyle (0,1).}$

Подводя итоги,

Точка лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle 0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}}$

$${\displaystyle \mathbf {r} }$$

${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}{1,2,3}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=0\;{\text{, for some i in }}{1,2,3}}$

В противном случае лежит вне треугольника. ${\displaystyle \mathbf {r} }$

В частности, если точка лежит на дальней стороне линии, барицентрическая координата точки в треугольнике, не находящейся на линии, будет иметь отрицательное значение.

Интерполяция на треугольной неструктурированной сетке

Поверхность (верхняя часть), полученная в результате линейной интерполяции по заданной треугольной сетке (нижняя часть) в плоскости x , y . Поверхность аппроксимирует функцию z = f ( x , y ), учитывая только значения f в вершинах сетки.

Если известны величины, но значения внутри треугольника, определяемого неизвестными, их можно аппроксимировать с помощью линейной интерполяции . Барицентрические координаты обеспечивают удобный способ вычисления этой интерполяции. Если – точка внутри треугольника с барицентрическими координатами , , , то ${\displaystyle f(\mathbf {r} _{1}),f(\mathbf {r} _{2}),f(\mathbf {r} _{3})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{3}}$

$${\displaystyle f(\mathbf {r} )\approx \lambda _{1}f(\mathbf {r} _{1})+\lambda _{2}f(\mathbf {r} _{2})+\lambda _{3}f(\mathbf {r} _{3})}$$

В общем, для любой неструктурированной сетки или полигональной сетки этот метод можно использовать для аппроксимации значения во всех точках, если значение функции известно во всех вершинах сетки. В данном случае у нас есть много треугольников, каждый из которых соответствует отдельной части пространства. Чтобы интерполировать функцию в точке , сначала необходимо найти треугольник, содержащий . Для этого преобразуются барицентрические координаты каждого треугольника. Если найден какой-то треугольник такой, что координаты удовлетворяют , то точка лежит в этом треугольнике или на его ребре (объяснено в предыдущем разделе). Затем значение можно интерполировать, как описано выше. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ in }}1,2,3}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$

Эти методы имеют множество приложений, например, метод конечных элементов (МКЭ).

Интегрирование по треугольнику или тетраэдру

Интеграл от функции по области определения треугольника может быть утомительным при вычислении в декартовой системе координат. Обычно приходится разделить треугольник на две половины, и получается большая путаница. Вместо этого зачастую проще сделать замену переменных на любые две барицентрические координаты, например . При такой замене переменных ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$

$${\displaystyle \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =2A\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{2}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2})\mathbf {r} _{3})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}}$$

где площадь треугольника . Этот результат следует из того, что прямоугольник в барицентрических координатах соответствует четырехугольнику в декартовых координатах, а отношение площадей соответствующих фигур в соответствующих системах координат определяется выражением . Аналогично, для интегрирования по тетраэдру вместо разбиения интеграла на две или три отдельные части можно было бы перейти к трехмерным тетраэдрическим координатам при замене переменных ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 2A}$

$${\displaystyle \int \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =6V\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{3}}\int _{0}^{1-\lambda _{2}-\lambda _{3}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})\mathbf {r} _{4})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}\ d\lambda _{3}}$$

${\displaystyle V}$

Примеры особых точек

В однородной барицентрической системе координат, определенной относительно треугольника , справедливы следующие утверждения об особых точках опоры. ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle ABC}$

Три вершины , , и имеют координаты ^[10] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}A=&1&:&0&:&0\\B=&0&:&1&:&0\\C=&0&:&0&:&1\end{array}}}$$

Центроид имеет координаты [ ^10] ${\displaystyle 1:1:1.}$

Если , , – длины ребер , , , , – угловые меры , , и соответственно, и – полупериметр , то дополнительно справедливы следующие утверждения об особых точках закрепления . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \angle CAB}$ ${\displaystyle \angle ABC}$ ${\displaystyle \angle BCA}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle ABC}$ ${\displaystyle ABC}$

Центр описанной окружности имеет координаты ^{[10] [11] [12] [13]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&\sin 2\alpha &:&\sin 2\beta &:&\sin 2\gamma \\[2pt]=&1-\cos \beta \cos \gamma &:&1-\cos \gamma \cos \alpha &:&1-\cos \alpha \cos \beta \\[2pt]=&a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2})&:&b^{2}(a^{2}-b^{2}+c^{2})&:&c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})\end{array}}}$$

Ортоцентр имеет координаты [ ^{10] [11]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&\tan \alpha &:&\tan \beta &:&\tan \gamma \\[2pt]=&a\cos \beta \cos \gamma &:&b\cos \gamma \cos \alpha &:&c\cos \alpha \cos \beta \\[2pt]=&(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2})&:&(-a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})&:&(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})\end{array}}}$$

Центр имеет координаты [ ^{11] [14]} ${\displaystyle a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma .}$

Эксцентры имеют координаты [ ^14]

$${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-a&:&b&:&c\\J_{B}=&a&:&-b&:&c\\J_{C}=&a&:&b&:&-c\end{array}}}$$

Девятиточечный центр имеет координаты ^{[10] [14]}

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}&a\cos(\beta -\gamma )&:&b\cos(\gamma -\alpha )&:&c\cos(\alpha -\beta )\\[4pt]=&1+\cos \beta \cos \gamma &:&1+\cos \gamma \cos \alpha &:&1+\cos \alpha \cos \beta \\[4pt]=&a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}&:&b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}&:&c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}\end{array}}}$$

Точка Жергонна имеет координаты . ${\displaystyle (s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)}$

Точка Нагеля имеет координаты . ${\displaystyle s-a:s-b:s-c}$

Симмедианная точка имеет координаты . ^[13] ${\displaystyle a^{2}:b^{2}:c^{2}}$

Барицентрические координаты на тетраэдрах

Барицентрические координаты можно легко расширить до трёх измерений . Трехмерный симплекс представляет собой тетраэдр , многогранник, имеющий четыре треугольные грани и четыре вершины. Еще раз, четыре барицентрические координаты определены так, что первая вершина отображается в барицентрические координаты , и т. д. ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$ ${\displaystyle \lambda =(1,0,0,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}\to (0,1,0,0)}$

Это снова линейное преобразование, и мы можем расширить описанную выше процедуру для треугольников, чтобы найти барицентрические координаты точки относительно тетраэдра: ${\displaystyle \mathbf {r} }$

$${\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^{-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{4})}$$

где теперь матрица 3×3: ${\displaystyle \mathbf {T} }$

$${\displaystyle \mathbf {T} =\left({\begin{matrix}x_{1}-x_{4}&x_{2}-x_{4}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{4}&y_{2}-y_{4}&y_{3}-y_{4}\\z_{1}-z_{4}&z_{2}-z_{4}&z_{3}-z_{4}\end{matrix}}\right)}$$

и с соответствующими декартовыми координатами: ${\displaystyle \lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})x_{4}\\y&=\lambda _{1}y_{1}+\,\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})y_{4}\\z&=\lambda _{1}z_{1}+\,\lambda _{2}z_{2}+\lambda _{3}z_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})z_{4}\end{aligned}}}$$

обращению матрицы 3х3

Трехмерные барицентрические координаты можно использовать для определения того, находится ли точка внутри тетраэдрического объема, а также для интерполяции функции внутри тетраэдрической сетки аналогично двумерной процедуре. Тетраэдрические сетки часто используются в анализе методом конечных элементов , поскольку использование барицентрических координат может значительно упростить 3D-интерполяцию.

Обобщенные барицентрические координаты

Барицентрические координаты точки , определенные относительно конечного набора из k точек вместо симплекса , называются обобщенными барицентрическими координатами . Для них уравнение ${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k})}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle (\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})p=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{k}x_{k}}$$

все равно требуется удерживать. ^[15] Обычно используются нормированные координаты, . Что касается случая симплекса, то точки с неотрицательными нормализованными обобщенными координатами ( ) образуют выпуклую оболочку x 1 _, ..., x _n . Если точек больше, чем в полном симплексе ( ), обобщенные барицентрические координаты точки не уникальны, как и определяющая линейная система (здесь для n=2) ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1}$ ${\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1}$ ${\displaystyle k>n+1}$

$${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&...\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&...\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&...\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\\vdots \end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)}$$

недоопределеннымчетырехугольник^[16]

Абстракция

Более абстрактно, обобщенные барицентрические координаты выражают выпуклый многогранник с n вершинами, независимо от размерности, как образ стандартного -симплекса, который имеет n вершин – карта находится на: Карта является взаимно однозначной тогда и только тогда, когда многогранник является симплексом, и в этом случае отображение является изоморфизмом; это соответствует точке, не имеющей уникальных обобщенных барицентрических координат, за исключением случаев, когда P является симплексом. ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle \Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.}$

Двойственные к обобщенным барицентрическим координатам — это слабые переменные , которые измеряют, насколько точка удовлетворяет линейным ограничениям, и дают вложение в форантант , где f — количество граней (двойственных вершинам) . Эта карта является взаимно однозначной (свободные переменные определяются однозначно), но не взаимно однозначной (не все комбинации могут быть реализованы). ${\displaystyle P\hookrightarrow (\mathbf {R} _{\geq 0})^{f}}$

Такое использование стандартного симплекса и фортанта в качестве стандартных объектов, которые отображаются в многогранник или в который отображается многогранник, следует противопоставлять использованию стандартного векторного пространства в качестве стандартного объекта для векторных пространств и стандартной аффинной гиперплоскости как стандартный объект для аффинных пространств, где в каждом случае выбор линейного базиса или аффинного базиса обеспечивает изоморфизм, позволяющий рассматривать все векторные и аффинные пространства в терминах этих стандартных пространств, а не онто- или взаимно-однозначного пространства. карта (не всякий многогранник является симплексом). Кроме того, n -ортант — это стандартный объект, который отображается в конусы. ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle K^{n}}$ ${\displaystyle \{(x_{0},\ldots ,x_{n})\mid \sum x_{i}=1\}\subset K^{n+1}}$

Приложения

Барицентрические координаты используются для равномерного смешивания трех цветов в треугольной области в компьютерной графике.

Обобщенные барицентрические координаты находят применение в компьютерной графике и, более конкретно, в геометрическом моделировании . ^[17] Часто трехмерную модель можно аппроксимировать многогранником так, что обобщенные барицентрические координаты относительно этого многогранника имеют геометрическое значение. Таким образом, обработка модели может быть упрощена за счет использования этих значимых координат. Барицентрические координаты также используются в геофизике . ^[18]

Смотрите также

• Тройной сюжет
• Выпуклая комбинация
• Загадка проливания воды
• Однородные координаты

Рекомендации

1. Мёбиус, Август Фердинанд (1827). Барицентрический расчет . Лейпциг: Дж. А. Барт.
   Перепечатано в Baltzer, Richard, изд. (1885). «Барицентрический расчет». Август Фердинанд Мёбиус Гесаммельте Верке . Том. 1. Лейпциг: С. Хирцель. стр. 1–388.
2. Макс Кехер, Алоис Криг: Ebene Geometrie. Springer-Verlag, Берлин, 2007, ISBN 978-3-540-49328-0 , С. 76. 
3. Хилле, Эйнар. «Аналитическая теория функций, том I», второе издание, пятый тираж. Издательство Chelsea Publishing Company, Нью-Йорк, 1982, ISBN 0-8284-0269-8 , страница 33, сноска 1. 
4. Йозеф Хошек, Дитер Лассер: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung. Тойбнер-Верлаг, 1989, ISBN 3-519-02962-6 , С. 243. 
5. Джеральд Фарин: Кривые и поверхности для компьютерного геометрического проектирования. Академическое издательство, 1990, ISBN 0-12-249051-7 , С. 20. 
6. Ревентос Таррида, Агусти. «Аффинные карты, евклидовы движения и квадрики». Спрингер, 2011, ISBN 978-0-85729-709-9 , стр. 11. 
7. Део, Роланд. «Введение в геометрию комплексных чисел». Dover Publications, Inc., Минеола, 2008 г., ISBN 978-0-486-46629-3 , стр. 61. 
8. Бергер, Марсель (1987), Геометрия I , Берлин: Springer, ISBN 3-540-11658-3
9. Дэнби, JMA «Основы небесной механики», второе издание, исправленное и дополненное, пятое издание. Willmann-Bell, Inc., Ричмонд, 2003 г., ISBN 0-943396-20-4 , стр. 26, проблема 11. 
10. Скотт, Дж. А. «Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника», Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472–477.
11. Шиндлер, Макс; Чен, Эван (13 июля 2012 г.). «Барицентрические координаты в олимпиадной геометрии» (PDF) . Проверено 14 января 2016 г.
12. Энциклопедия треугольников Кларка Кимберлинга «Энциклопедия центров треугольников». Архивировано из оригинала 19 апреля 2012 г. Проверено 2 июня 2012 г.
13. Страница Ab Wolfram о барицентрических координатах
14. Дасари Нага, Виджай Кришна, «О треугольнике Фейербаха», Forum Geometricorum 17 (2017), 289–300: стр. 289. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201731.pdf.
15. Мейер, Марк; Барр, Алан; Ли, Хэён; Дебрен, Матье (6 апреля 2012 г.). «Обобщенные барицентрические координаты неправильных многоугольников» (PDF) . Журнал графических инструментов . 7 : 13–22. дои : 10.1080/10867651.2002.10487551. S2CID  13370238.
16. Флоатер, Майкл С. (2015). «Обобщенные барицентрические координаты и приложения *» (PDF) . Акта Нумерика . 24 : 161–214. дои : 10.1017/S0962492914000129. ISSN  0962-4929. S2CID  62811364.
17. Флоатер, Майкл С. (2003). «Средние координаты». Компьютерное геометрическое проектирование . 20 (1): 19–27. дои : 10.1016/S0167-8396(03)00002-5.
18. ОНУФРИЕВ, В.Г.; ДЕНИСИК, С.А.; ФЕРРОНСКИЙ В.И. БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ИЗОТОПНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ПРИРОДНЫХ ВОД. ЯДЕРНАЯ ГЕОФИЗИКА, 4, 111-117 (1990)

• Скотт, Дж. А. Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника , Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472–477.
• Шиндлер, Макс; Чен, Эван (13 июля 2012 г.). Барицентрические координаты в олимпиадной геометрии (PDF) . Проверено 14 января 2016 г.
• Энциклопедия треугольников Кларка Кимберлинга Энциклопедия центров треугольников . Архивировано из оригинала 19 апреля 2012 г. Проверено 2 июня 2012 г.
• Брэдли, Кристофер Дж. (2007). Алгебра геометрии: декартовы, площадные и проективные координаты . Ванна: Повышенное восприятие. ISBN 978-1-906338-00-8.
• Коксетер, HSM (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. стр. 216–221. ISBN 978-0-471-50458-0. Збл  0181.48101.
• Барицентрическое исчисление в евклидовой и гиперболической геометрии: сравнительное введение, Абрахам Унгар, World Scientific, 2010 г.
• Гиперболические барицентрические координаты, Абрахам А. Унгар, Австралийский журнал математического анализа и приложений, том 6, № 1, статья 18, стр. 1–35, 2009 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Площадные координаты». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Барицентрические координаты». Математический мир .
• Вычисление барицентрических координат в однородных координатах, Вацлав Скала, Компьютеры и графика, Том 32, № 1, стр. 120–127, 2008 г.

Внешние ссылки

• Закон рычага
• Использование однородных барицентрических координат в плоской евклидовой геометрии.
• Барицентрические координаты - сборник научных статей о (обобщенных) барицентрических координатах.
• Барицентрические координаты: любопытное приложение (решение задачи «трех стаканов») в кратчайшие сроки
• Точная точка в тесте треугольника
• Барицентрические координаты в олимпиадной геометрии Эвана Чена и Макса Шиндлера
• Команда Barycenter и команда TriangleCurve в Geogebra .