Центр треугольника

В геометрии центр треугольника или центр треугольника — это точка в плоскости треугольника , которая в некотором смысле находится в середине треугольника. Например, центроид , описанный центр , инцентр и ортоцентр были знакомы древним грекам и их можно получить путем простых построений .

Каждый из этих классических центров обладает тем свойством, что он инвариантен (точнее, эквивариантен ) относительно преобразований подобия . Другими словами, для любого треугольника и любого преобразования подобия (например , вращения , отражения , расширения или перемещения ) центр преобразованного треугольника является той же точкой, что и преобразованный центр исходного треугольника. Эта инвариантность является определяющим свойством центра треугольника. Это исключает другие хорошо известные точки, такие как точки Брокара , которые не инвариантны при отражении и поэтому не могут квалифицироваться как центры треугольников.

В равностороннем треугольнике все центры треугольника совпадают в его центроиде. Однако во всех остальных треугольниках центры треугольников обычно занимают разные положения друг от друга. Определения и свойства тысяч центров треугольников собраны в Энциклопедии центров треугольников .

История

Хотя древние греки открыли классические центры треугольника, они не сформулировали никакого определения центра треугольника. После древних греков было обнаружено несколько особых точек, связанных с треугольником, таких как точка Ферма , девятиточечный центр , точка Лемуана , точка Жергонна и точка Фейербаха .

Во время возрождения интереса к геометрии треугольника в 1980-х годах было замечено, что эти особые точки имеют некоторые общие свойства, которые теперь составляют основу для формального определения центра треугольника. ^[1]^[2] По состоянию на 17 июня 2022 года ^{[обновлять]}Энциклопедия центров треугольников Кларка Кимберлинга содержит аннотированный список из 50 730 центров треугольников. ^[3] Каждая запись в Энциклопедии центров треугольников обозначается или где – позиционный индекс записи. Например, центр тяжести треугольника является второй записью и обозначается или . ${\ displaystyle X (n)}$ $X_{n}$ $п$ $X (2)$ $X_{2}$

Формальное определение

Действительная функция $f$ трех действительных переменных $a, b, c$ может обладать следующими свойствами:

Однородность: для некоторой постоянной $n$ и для всех $t$ $> 0$ . $f(ta,tb,tc)=t^{n}f(a,b,c)$
Бисимметрия по второй и третьей переменным: ${\ displaystyle f (a, b, c) = f (a, c, b).}$

Если ненулевое $f$ обладает обоими этими свойствами, оно называется функцией центра треугольника. Если $f$ — функция центра треугольника, а $a, b, c$ — длины сторон опорного треугольника, то точка, чьи трилинейные координаты равны , называется центром треугольника. ${\ Displaystyle е (а, б, с): е (б, с, а): е (с, а, б)}$

Это определение гарантирует, что центры подобных треугольников соответствуют критериям инвариантности, указанным выше. По соглашению указывается только первая из трех трилинейных координат центра треугольника, поскольку две другие получаются циклической перестановкой a $, b, c$ . Этот процесс известен как цикличность . ^[4]^[5]

Каждая функция центра треугольника соответствует уникальному центру треугольника. Это соответствие не является биективным . Разные функции могут определять один и тот же центр треугольника. Например, функции и обе соответствуют центроиду. Две функции центра треугольника определяют один и тот же центр треугольника тогда и только тогда, когда их отношение является функцией, симметричной относительно $a, b, c$ . $f_{1}(a,b,c)={\tfrac {1}{a}}$ $f_{2}(a,b,c)=bc$

Даже если функция центра треугольника четко определена везде, то же самое нельзя всегда сказать о связанном с ней центре треугольника. Например, пусть будет 0, если и оба рациональны, и 1 в противном случае. Тогда для любого треугольника с целыми сторонами соответствующий центр треугольника оценивается как 0:0:0, что не определено. ${\ displaystyle f (a, b, c)}$ ${\tfrac {a}{b}}$ ${\tfrac {a}{c}}$

Домен по умолчанию

В некоторых случаях эти функции не определены в целом. Например, трилинейки X ₃₆₅ , которая является 365-й записью в Энциклопедии центров треугольников , таковы, что $a, b, c$ не могут быть отрицательными. Кроме того, чтобы представить стороны треугольника, они должны удовлетворять неравенству треугольника . Таким образом, на практике область действия каждой функции ограничена областью, в которой $\mathbb {R} ^{3}.$ $a^{1/2}:b^{1/2}:c^{1/2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

а\leq b+c, \quad b\leq c+a, \quad c\leq a+b.

T

Другие полезные домены

Существуют различные случаи, когда может быть желательно ограничить анализ областью меньшего размера, чем $T.$ Например:

Центры X3 _,X4 _,X22 _,X24 , X40 относятся конкретно к _{остроугольным}треугольникам , а именно к той области $Т$ , _где $a^{2}\leq b^{2}+c^{2},\quad b^{2}\leq c^{2}+a^{2},\quad c^{2} \leq a^{2}+b^{2}.$
При различении точки Ферма и X ₁₃ важна область треугольников с углом, превышающим 2π/3; другими словами, треугольники, для которых верно любое из следующих условий:

a^{2}>b^{2}+bc+c^{2};\quad b^{2}>c^{2}+ca+a^{2};\quad c^{ 2}>a^{2}+ab+b^{2}.

Область, имеющая большую практическую ценность, поскольку она плотна в $T$ , но исключает все тривиальные треугольники (т. е. точки) и вырожденные треугольники (т. е. прямые), представляет собой множество всех разносторонних треугольников. Оно получается удалением плоскостей $b = c$ , $c = a$ , $a = b$ из $T.$

Симметрия домена

Не каждое подмножество $D \subseteq T$ является жизнеспособной областью. Чтобы поддерживать тест на бисимметрию, $D$ должен быть симметричен относительно плоскостей $b = c$ , $c = a$ , $a = b$ . Чтобы поддерживать цикличность, он также должен быть инвариантным относительно поворотов на 2π/3 вокруг прямой $a = b = c$ . Самая простая область — это линия $(t, t, t)$ , которая соответствует множеству всех равносторонних треугольников .

Примеры

Окружной центр

Точка совпадения серединных перпендикуляров сторон треугольника $△ ABC$ является центром описанной окружности. Трилинейные координаты центра описанной окружности:

a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{ 2}+b^{2}-c^{2}).

Пусть Можно показать, что $f$ однородно: $f\left(a,b,c\right)=a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)$

{\begin{aligned}f(ta,tb,tc)&=ta{\Bigl [}(tb)^{2}+(tc)^{2}-(ta)^{2}{\ Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}{\Bigl [}a(b^{2}+c^{2}-a^{2}){\Bigr ]}\\[2pt] &=t^{3}f(a,b,c)\end{aligned}}

{\begin{aligned}f(a,c,b)&=a(c^{2}+b^{2}-a^{2})\\[2pt]&=a(b^ {2}+c^{2}-a^{2})\\[2pt]&=f(a,b,c)\end{aligned}}

f

1-й изогонический центр

Пусть $△ A'BC$ - равносторонний треугольник, имеющий основание $BC$ и вершину $A'$ на отрицательной стороне $BC$ , и пусть $△ AB'C$ и $△ ABC' -$ равносторонние треугольники, построенные аналогичным образом на основе двух других сторон треугольника $△ ABC$ . Тогда прямые $AA', BB', CC'$ совпадают и точка совпадения является 1-м изогональным центром. Его трилинейные координаты:

$\csc \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right).$

Выразив эти координаты через $a, b, c$ , можно убедиться, что они действительно удовлетворяют определяющим свойствам координат центра треугольника. Следовательно, 1-й изогонический центр также является центром треугольника.

Точка Ферма

Позволять

f(a,b,c)={\begin{cases}1&\quad {\text{if }}a^{2}>b^{2}+bc+c^{2}&\iff {\text{if }}A>2\pi /3\\[8pt]0&\quad \!\!\displaystyle {{{\text{if }}b^{2}>c^{2}+ca+a^{2}} \atop {{\text{ or }}c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}}}&\iff \!\!\displaystyle {{{\text{if }}B>2\pi /3} \atop {{\text{ or }}C>2\pi /3}}\\[8pt]\csc(A+{\frac {\pi }{3}})&\quad {\text{otherwise }}&\iff A,B,C>2\pi /3\end{cases}}

Тогда $f$ бисимметрична и однородна, поэтому является функцией центра треугольника. При этом соответствующий центр треугольника совпадает с вершиной тупого угла, если любой угол вершины превышает 2π/3, и с 1-м центром изогоны в противном случае. Следовательно, этот центр треугольника есть не что иное, как точка Ферма .

Непримеры

Точки Брокара

Трилинейные координаты первой точки Брокара:

{\frac {c}{b}}\ :\ {\frac {a}{c}}\ :\ {\frac {b}{a}}

{\frac {b}{c}}\ :\ {\frac {c}{a}}\ :\ {\frac {a}{b}}

Первая и вторая точки Брокара являются одной из многих бицентрических пар точек, ^[6] пар точек, определенных из треугольника со свойством, что пара (но не каждая отдельная точка) сохраняется при подобии треугольника. Некоторые бинарные операции, такие как средняя точка и трилинейное произведение, при применении к двум точкам Брокара, а также к другим бицентрическим парам, создают центры треугольников.

Некоторые известные центры треугольников

Классические центры треугольников

Недавние центры треугольников

В следующей таблице более поздних центров треугольников не упоминается никаких конкретных обозначений для различных точек. Также для каждого центра указывается только первая трилинейная координата f(a,b,c). Остальные координаты можно легко получить, используя свойство цикличности трилинейных координат.

Общие классы центров треугольников

Кимберлинг центр

В честь Кларка Кимберлинга, создавшего онлайн-энциклопедию более чем 32 000 центров треугольников, центры треугольников, перечисленные в энциклопедии, называются центрами Кимберлинга . ^[8]

Центр полиномиального треугольника

Центр треугольника $P$ называется полиномиальным центром треугольника , если трилинейные координаты $P$ могут быть выражены в виде многочленов от $a, b, c$ .

Центр правильного треугольника

Центр треугольника $P$ называется точкой правильного треугольника , если трилинейные координаты $P$ можно выразить в виде многочленов от $△, a, b, c$ , где $△$ — площадь треугольника.

Центр большого треугольника

Центр треугольника $P$ называется главным центром треугольника , если трилинейные координаты P могут быть выражены в виде где является функцией только угла $X$ и не зависит от других углов или длин сторон. ^[9] $f(A):f(B):f(C)$ $f(X)$

Трансцендентальный центр треугольника

Центр треугольника $P$ называется трансцендентным центром треугольника, если $P$ не имеет трилинейного представления с использованием только алгебраических функций от $a, b, c$ .

Разнообразный

Равнобедренные и равносторонние треугольники

Пусть $f$ — функция центра треугольника. Если две стороны треугольника равны (скажем, $a = b$ ), то

{\begin{aligned}f(a,b,c)&=f(b,a,c)&({\text{since }}a=b)\\&=f(b,c,a)&{\text{(by bisymmetry)}}\end{aligned}}

оси симметрии

Эксцентры

Позволять

f(a,b,c)={\begin{cases}-1&\quad {\text{if }}a\geq b{\text{ and }}a\geq c,\\\;\;\;1&\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}

Легко видеть, что это функция центра треугольника, и (при условии, что треугольник разносторонний) соответствующий центр треугольника является эксцентром, противоположным наибольшему углу при вершине. Два других эксцентра можно выделить по аналогичным функциям. Однако, как указано выше, только один из эксцентров равнобедренного треугольника и ни один из эксцентров равностороннего треугольника никогда не может быть центром треугольника.

Биантисимметричные функции

Функция $f$ является биоантисимметричной, если

f(a,b,c)=-f(a,c,b)\quad {\text{for all}}\quad a,b,c.

(a,b,c)\to f(a,b,c)^{2}\,f(b,c,a)\,f(c,a,b)

f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b).

Новые центры из старых

Любую функцию центра треугольника $f$ можно нормализовать , умножив ее на симметричную функцию $a, b, c$ так, чтобы $n = 0$ . Нормализованная функция центра треугольника имеет тот же центр треугольника, что и исходная, а также более сильное свойство, которое

f(ta,tb,tc)=f(a,b,c)\quad {\text{for all}}\quad t>0,\ (a,b,c).

при

f

(abc)^{-1}(a+b+c)^{3}f.

Неинтересные центры

Предположим, $что a, b, c$ — вещественные переменные, и пусть $α, β, γ$ — любые три действительные константы. Позволять

f(a,b,c)={\begin{cases}\alpha &\quad {\text{if }}a<b{\text{ and }}a<c&(a{\text{ is least}}),\\[2pt]\gamma &\quad {\text{if }}a>b{\text{ and }}a>c&(a{\text{ is greatest}}),\\[2pt]\beta &\quad {\text{otherwise}}&(a{\text{ is in the middle}}).\end{cases}}

Тогда $f$ — функция центра треугольника, а $α : β : γ$ — соответствующий центр треугольника всякий раз, когда стороны опорного треугольника помечены так, что $a < b < c$ . Таким образом, каждая точка потенциально является центром треугольника. Однако подавляющее большинство центров треугольников малоинтересны, как малоинтересны и большинство непрерывных функций.

Барицентрические координаты

Если $f$ является функцией центра треугольника, то то же самое относится и $к f$ , а соответствующий центр треугольника равен

a\,f(a,b,c):b\,f(b,c,a):c\,f(c,a,b).

барицентрические координаты

f,

Двоичные системы

Помимо точки Ферма и первого изогонического центра, существуют и другие пары центров. Другая система образована Х ₃ и центром касательного треугольника. Рассмотрим функцию центра треугольника, определяемую формулой:

f(a,b,c)={\begin{cases}\cos A&{\text{if }}\triangle {\text{ is acute}},\\[2pt]\cos A+\sec B\sec C&{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse}},\\[2pt]\cos A-\sec A&{\text{if either}}\measuredangle B{\text{ or }}\measuredangle C{\text{ is obtuse}}.\end{cases}}

Для соответствующего центра треугольника есть четыре различных возможности:

{\begin{aligned}&{\text{if reference }}\triangle {\text{ is acute:}}\quad \cos A\ :\,\cos B\ :\,\cos C\\[6pt]&{\begin{array}{rcccc}{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse:}}&\cos A+\sec B\sec C&:&\cos B-\sec B&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{if }}\measuredangle B{\text{ is obtuse:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B+\sec C\sec A&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{if }}\measuredangle C{\text{ is obtuse:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B-\sec B&:&\cos C+\sec A\sec B\end{array}}\end{aligned}}

Обычный расчет показывает, что в каждом случае эти трилинейные линии представляют собой центр касательного треугольника. Итак, эта точка представляет собой центр треугольника, который является близким спутником центра описанной окружности.

Бисимметрия и инвариантность

Отражение треугольника меняет порядок его сторон на противоположный. На изображении координаты относятся к треугольнику $(c, b, a)$ и (с использованием «|» в качестве разделителя) отражение произвольной точки равно . Если $f$ — функция центра треугольника, отражением его центра треугольника является то, что по бисимметрия - это то же самое, что и Поскольку это также центр треугольника, соответствующий $f$ относительно треугольника $($ $c$ $,$ $b$ $,$ $a$ $)$ , бисимметрия гарантирует, что все центры треугольника инвариантны при отражении. Поскольку вращения и перемещения можно рассматривать как двойные отражения, они также должны сохранять центры треугольников. Эти свойства инвариантности обеспечивают обоснование такого определения. $\gamma :\beta :\alpha$ $\gamma \ |\ \beta \ |\ \alpha .$ $f(c,a,b)\ |\ f(b,c,a)\ |\ f(a,b,c),$ $f(c,b,a)\ |\ f(b,a,c)\ |\ f(a,c,b).$

Альтернативная терминология

Некоторые другие названия расширения — равномерное масштабирование , изотропное масштабирование , гомотетия и гомотетия .

Неевклидова и другие геометрии

Изучение центров треугольников традиционно связано с евклидовой геометрией , но центры треугольников также можно изучать в неевклидовой геометрии . ^{[10] Центры} сферических треугольников можно определить с помощью сферической тригонометрии . ^[11] Центры треугольников, имеющие одинаковую форму как для евклидовой, так и для гиперболической геометрии , могут быть выражены с помощью гиротригонометрии . ^[12]^[13]^[14] В неевклидовой геометрии необходимо отказаться от предположения, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам.

Центры тетраэдров или симплексов более высокой размерности также могут быть определены по аналогии с двумерными треугольниками. ^[14]

Некоторые центры можно расширить до многоугольников с более чем тремя сторонами. Например, центроид можно найти для любого многоугольника . Некоторые исследования были проведены в центрах многоугольников, имеющих более трех сторон. ^[15]^[16]

Смотрите также

Примечания

^ на самом деле 1-й изогонический центр, но также и точка Ферма всякий раз, когда A , B , C ≤ 2π/3

^ Кимберлинг, Кларк . «Центры треугольников» . Проверено 23 мая 2009 г. В отличие от квадратов и кругов, треугольники имеют много центров. Древние греки нашли четыре: инцентр, центроид, описанный центр и ортоцентр. Пятый центр, обнаруженный гораздо позже, — это точка Ферма. После этого в литературу были добавлены точки, которые теперь называются центром девяти точек, симмедианной точкой, точкой Жергонна и точкой Фейербаха. В 1980-х годах было замечено, что эти особые точки имеют некоторые общие свойства, которые теперь составляют основу формального определения центра треугольника.
↑ Кимберлинг, Кларк (11 апреля 2018 г.) [1994]. «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника». Журнал «Математика» . 67 (3): 163–187. дои : 10.2307/2690608. JSTOR 2690608.
^ Кимберлинг, Кларк . «Это ЧАСТЬ 26: Центры X(50001) – X(52000)». Энциклопедия центров треугольников . Проверено 17 июня 2022 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Центр Треугольник». MathWorld – веб-ресурс Wolfram . Проверено 25 мая 2009 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Функция центра треугольника». MathWorld – веб-ресурс Wolfram . Проверено 1 июля 2009 г.
^ Бицентрические пары точек, Энциклопедия центров треугольников, по состоянию на 2 мая 2012 г.
^ Окли, Клетус О.; Бейкер, Жюстин К. (ноябрь 1978 г.). «Теорема Морли о трисекторе». Американский математический ежемесячник . 85 (9): 737–745. дои : 10.1080/00029890.1978.11994688. ISSN 0002-9890.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Кимберлингский центр». MathWorld – веб-ресурс Wolfram . Проверено 25 мая 2009 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Центр большого треугольника». MathWorld – веб-ресурс Wolfram . Проверено 25 мая 2009 г.
^ Рассел, Роберт А. (18 апреля 2019 г.). «Центры неевклидовых треугольников». arXiv : 1608.08190 [math.MG].
^ Роб, Джонсон. «Сферическая тригонометрия» (PDF) . {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
^ Унгар, Авраам А. (2009). «Гиперболические барицентрические координаты» (PDF) . Австралийский журнал математического анализа и приложений . 6 (1): 1–35., статья №18
^ Унгар, Авраам А. (2010). Центры гиперболического треугольника: специальный релятивистский подход. Дордрехт: Спрингер. ISBN 978-90-481-8637-2. ОСЛК 663096629.
^ аб Унгар, Авраам Альберт (август 2010 г.). Барицентрическое исчисление в евклидовой и гиперболической геометрии. МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. дои : 10.1142/7740. ISBN 978-981-4304-93-1.
^ Аль-Шариф, Абдулла; Хаджа, Моваффак; Красопулос, Панайотис Т. (ноябрь 2009 г.). «Совпадения центров плоских четырехугольников». Результаты по математике . 55 (3–4): 231–247. дои : 10.1007/s00025-009-0417-6. ISSN 1422-6383. S2CID 122725235.
^ Прието-Мартинес, Луис Фелипе; Санчес-Коус, Ракель (2 апреля 2021 г.). «Обобщение концепции Кимберлинга о центре треугольника для других многоугольников». Результаты по математике . 76 (2): 81. arXiv : 2004.01677 . дои : 10.1007/s00025-021-01388-4. ISSN 1420-9012. S2CID 214795185.

Внешние ссылки

Манфред Эверс, О центрах и центральных линиях треугольников в эллиптической плоскости.
Манфред Эверс, О геометрии треугольника в эллиптической и расширенной гиперболической плоскости.
Кларк Кимберлинг , Центры треугольника из Университета Эвансвилля
Эд Пегг, Треугольные центры в 2D, 3D, сферическом и гиперболическом пространстве от Wolfram Research .
Пол Ю, «Экскурсия по геометрии треугольника», Атлантический университет Флориды .