В геометрии построение линейки и циркуля , также известное как построение линейки и циркуля , евклидово построение или классическое построение , представляет собой построение длин, углов и других геометрических фигур с использованием только идеализированной линейки и пары циркуля .
Предполагается , что идеализированная линейка, известная как линейка , имеет бесконечную длину, имеет только один край и не имеет на нем никаких отметок. Предполагается, что у компаса нет максимального или минимального радиуса, и предполагается, что он «сворачивается» при поднятии со страницы, поэтому его нельзя использовать напрямую для передачи расстояний. (Это неважное ограничение, поскольку при использовании многоэтапной процедуры расстояние можно перенести даже с помощью разваливающегося циркуля; см. теорему об эквивалентности компаса . Однако обратите внимание, что, хотя неразрушающийся циркуль, удерживаемый против линейки, может показаться эквивалентным отмечая это, конструкция neusis по-прежнему недопустима, и это то, что на самом деле означает «неотмеченный»: см. Маркируемые линейки ниже.) Более формально, единственными допустимыми конструкциями являются те, которые предоставляются первыми тремя постулатами « Начал » Евклида .
Оказывается, каждая точка, которую можно построить с помощью линейки и циркуля, также можно построить с помощью только циркуля или только с помощью линейки, если задан один круг и его центр.
Древнегреческие математики впервые придумали конструкции линейки и циркуля, и ряд древних задач плоской геометрии накладывают это ограничение. Древние греки разработали множество конструкций, но в ряде случаев не смогли этого сделать. Гаусс показал, что некоторые многоугольники можно построить, но большинство — нет. Некоторые из самых известных задач о линейке и циркуле были доказаны Пьером Ванцелем в 1837 году с использованием теории поля , а именно : разделение произвольного угла на три части и удвоение объема куба (см. § Невозможные конструкции). Многие из этих проблем легко разрешимы при условии, что разрешены другие геометрические преобразования; например, конструкция neusis может быть использована для решения первых двух проблем.
С точки зрения алгебры , длина является конструируемой тогда и только тогда, когда она представляет конструируемое число , а угол конструируем тогда и только тогда, когда его косинус является конструируемым числом. Число можно построить тогда и только тогда, когда его можно записать с помощью четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней , но без корней более высокого порядка.
«Линейка» и «циркуль» конструкций линейки и циркуля представляют собой идеализированные версии реальных линеек и циркулей .
Настоящие циркули не разрушаются, и эта особенность часто используется в современных геометрических конструкциях. «Разрушающийся компас» может оказаться менее мощным инструментом. Однако согласно теореме об эквивалентности компаса в предложении 2 книги 1 « Начал Евклида» никакая мощность не теряется при использовании разрушающегося компаса. Хотя это предложение верно, его доказательства имеют долгую и неоднозначную историю. [1] В любом случае именно эквивалентность является причиной того, что данный признак не предусмотрен в определении идеального компаса.
Любая конструкция должна быть математически точной . Расстояния «на глаз» (глядя на конструкцию и догадываясь о ее точности) или используя отметки на линейке не допускаются. Любая конструкция также должна прекратиться . То есть оно должно иметь конечное число шагов, а не быть пределом все более близких приближений. (Если разрешено неограниченное число шагов, то некоторые конструкции, которые иначе были бы невозможны, становятся возможными посредством бесконечных последовательностей , сходящихся к пределу .)
С этой точки зрения конструкции с помощью линейки и циркуля кажутся скорее салонной игрой , чем серьезной практической проблемой; но цель ограничения состоит в том, чтобы гарантировать, что конструкции могут быть абсолютно правильными .
Древнегреческие математики впервые попытались построить конструкции с помощью линейки и циркуля и научились вычислять суммы , разности , произведения , отношения и квадратные корни заданной длины. [2] : с. 1 Они также могли построить половину данного угла , квадрат, площадь которого в два раза больше площади другого квадрата, квадрат, имеющий ту же площадь, что и данный многоугольник, и правильные многоугольники с 3, 4 или 5 сторонами [2] : с. xi (или тот, у которого в два раза больше сторон данного многоугольника [2] : стр. 49–50 ). Но они не могли построить ни трети данного угла, кроме особых случаев, ни квадрата той же площади, что и данный круг , ни правильных многоугольников с другим числом сторон. [2] : с. xi Они также не могли построить сторону куба, объем которой в два раза больше объема куба с данной стороной. [2] : с. 29
Гиппократ и Менехм показали, что объем куба можно увеличить вдвое, найдя пересечения гипербол и парабол , но их нельзя построить с помощью линейки и циркуля. [2] : с. 30 В пятом веке до нашей эры Гиппий использовал кривую, которую он назвал квадратрисой , чтобы разделить общий угол пополам и возвести в квадрат круг, а Никомед во втором веке до нашей эры показал, как использовать раковину для разделения произвольного угла пополам; [2] : с. 37 , но эти методы также нельзя использовать только с помощью линейки и циркуля.
Никакого прогресса в решении нерешенных проблем не было достигнуто в течение двух тысячелетий, пока в 1796 году Гаусс не показал, что можно построить правильный многоугольник с 17 сторонами; пять лет спустя он показал достаточный критерий возможности построения правильного многоугольника с n сторонами. [2] : стр. 51 и далее.
В 1837 году Пьер Ванцель опубликовал доказательство невозможности разделить произвольный угол пополам или удвоить объем куба [3] , основанное на невозможности построения кубических корней из длин. Он также показал, что достаточное условие конструктивности Гаусса для правильных многоугольников также необходимо. [4]
Затем в 1882 году Линдеманн показал, что это трансцендентное число и, таким образом, невозможно с помощью линейки и циркуля построить квадрат с той же площадью, что и данный круг. [2] : с. 47
Все построения с помощью циркуля и линейки состоят из многократного применения пяти основных построений с использованием уже построенных точек, линий и окружностей. Это:
Например, начав всего с двух различных точек, мы можем создать линию или одну из двух окружностей (поочередно, используя каждую точку в качестве центра и проходя через другую точку). Если мы нарисуем оба круга, на их пересечении будут созданы две новые точки. Рисование линий между двумя исходными точками и одной из этих новых точек завершает построение равностороннего треугольника.
Следовательно, в любой геометрической задаче мы имеем исходный набор символов (точек и прямых), алгоритм и некоторые результаты. С этой точки зрения геометрия эквивалентна аксиоматической алгебре , заменяющей ее элементы символами. Вероятно , Гаусс первым это осознал и использовал для доказательства невозможности некоторых конструкций; лишь много позже Гильберт нашел полный набор аксиом геометрии .
К наиболее часто используемым конструкциям линейки и циркуля относятся:
С нашей геометрией можно связать алгебру, используя декартову систему координат , состоящую из двух линий, и представить точки нашей плоскости векторами . Наконец, мы можем записать эти векторы как комплексные числа.
Используя уравнения для прямых и окружностей, можно показать, что точки их пересечения лежат в квадратичном расширении наименьшего поля F , содержащего две точки на прямой, центр круга и радиус круга. То есть они имеют вид x + y √ k , где x , y и k находятся в F .
Поскольку поле конструктивных точек замкнуто относительно квадратных корней , оно содержит все точки, которые можно получить конечной последовательностью квадратичных расширений поля комплексных чисел с рациональными коэффициентами. С помощью приведенного выше абзаца можно показать, что любая конструктивная точка может быть получена такой последовательностью расширений. Как следствие этого, можно обнаружить, что степень минимального многочлена для конструктивной точки (и, следовательно, любой конструктивной длины) равна степени 2. В частности, любая конструктивная точка (или длина) является алгебраическим числом , хотя и не каждое алгебраическое число конструктивно; например, 3 √ 2 является алгебраическим, но неконструктивным. [3]
Существует биекция между конструктивными углами и конструктивными точками на любой конструктивной окружности. Углы, которые являются конструктивными, образуют абелеву группу при сложении по модулю 2π (что соответствует умножению точек единичного круга, рассматриваемых как комплексные числа). Конструируемыми углами являются именно те углы, тангенс (или, что то же самое, синус или косинус) можно построить как число. Например, правильный семиугольник (семнадцатисторонний правильный многоугольник ) можно построить, потому что
как открыл Гаусс . [5]
Группа конструктивных углов замыкается при операции деления углов пополам (что соответствует извлечению квадратных корней из комплексных чисел). Единственные углы конечного порядка, которые можно построить, начиная с двух точек, - это те, порядок которых равен либо степени двойки, либо произведению степени двойки и набора различных простых чисел Ферма . Кроме того, существует плотное множество конструктивных углов бесконечного порядка.
Учитывая набор точек евклидовой плоскости , выбор одной из них для обозначения 0 , а другой для обозначения 1 , вместе с произвольным выбором ориентации позволяет нам рассматривать точки как набор комплексных чисел .
Учитывая любую такую интерпретацию набора точек как комплексных чисел, точки, которые можно построить с использованием только допустимых конструкций линейки и циркуля, являются в точности элементами наименьшего поля, содержащего исходный набор точек и замкнутого относительно операций комплексного сопряжения и квадратного корня ( чтобы избежать двусмысленности, мы можем указать квадратный корень с комплексным аргументом меньше π). Элементами этого поля являются именно те элементы, которые можно выразить в виде формулы в исходных точках, используя только операции сложения , вычитания , умножения , деления , комплексного сопряжения и квадратного корня , который, как легко видеть, представляет собой счетное плотное подмножество самолет. Каждая из этих шести операций соответствует простой конструкции из линейки и циркуля. По такой формуле несложно построить конструкцию соответствующей точки, комбинируя конструкции каждой из арифметических операций. Более эффективные конструкции определенного набора точек соответствуют упрощениям в таких расчетах.
Эквивалентно (и без необходимости произвольно выбирать две точки) можно сказать, что при произвольном выборе ориентации набор точек определяет набор комплексных отношений, заданных отношениями разностей между любыми двумя парами точек. Набор отношений, который можно построить с помощью линейки и циркуля из такого набора отношений, представляет собой в точности наименьшее поле, содержащее исходные отношения и замкнутое при извлечении комплексных сопряжений и квадратных корней.
Например, действительная часть, мнимая часть и модуль точки или отношения z (принимая одну из двух точек зрения выше) конструктивны, поскольку они могут быть выражены как
Для удвоения куба и трисекции угла (за исключением особых углов, таких как любой φ, такой, что φ /(2 π ) является рациональным числом со знаменателем , не делящимся на 3) требуются отношения, которые являются решением кубических уравнений , при возведении в квадрат круга требует трансцендентального отношения. Ни один из них не входит в описанные поля, поэтому для них не существует конструкции с помощью линейки и циркуля.
Древние греки считали, что проблемы строительства, которые они не могли решить, были просто упрямыми, а не неразрешимыми. [6] Однако с помощью современных методов было доказано, что эти конструкции с помощью линейки и циркуля логически невозможно выполнить. (Однако сами проблемы разрешимы, и греки знали, как решить их, не ограничиваясь работой только с линейкой и циркулем.)
Самая известная из этих задач, квадратура круга , также известная как квадратура круга, предполагает построение квадрата той же площади, что и заданный круг, с использованием только линейки и циркуля.
Квадратирование круга оказалось невозможным, поскольку оно предполагает создание трансцендентного числа , то есть √ π . Только некоторые алгебраические числа могут быть построены с помощью только линейки и циркуля, а именно те, которые составлены из целых чисел с помощью конечной последовательности операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратных корней. По этой причине фраза «квадратура круга» часто используется в значении «делать невозможное».
Без ограничений, требующих решения только с помощью линейки и циркуля, проблема легко решается с помощью самых разных геометрических и алгебраических средств, и в древности она решалась много раз. [7]
Метод, очень близкий к аппроксимации «квадратуры круга», может быть реализован с использованием треугольника Кеплера .
Удвоение куба — это построение с помощью только линейки и циркуля ребра куба, имеющего вдвое больший объём, чем куб с заданным ребром. Это невозможно, поскольку кубический корень из 2, хотя и алгебраический, не может быть вычислен из целых чисел путем сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратных корней. Это следует из того, что его минимальный многочлен по рациональным числам имеет степень 3. Эту конструкцию можно построить с помощью линейки с двумя отметками на ней и циркуля.
Трисекция угла — это построение с помощью только линейки и циркуля угла, составляющего одну треть заданного произвольного угла. Это невозможно в общем случае. Например, угол 2 π /5 радиан (72° = 360°/5) можно разделить на три части, а угол π /3 радиан (60 ° ) разделить на три части нельзя. [8] Общая задача трисекции также легко решается, если допускается линейка с двумя отметками ( конструкция neusis ).
Отрезок от любой точки плоскости до ближайшей точки окружности можно построить, но отрезок от любой точки плоскости до ближайшей точки эллипса с положительным эксцентриситетом вообще построить невозможно. См. [9] . Заметим, что доказанные здесь результаты во многом являются следствием неконструктивности коник. Если исходная коника считается заданной, то необходимо просмотреть доказательство, чтобы проверить, нужно ли генерировать другую отличную конику. В качестве примера известны конструкции нормалей параболы, но в них необходимо использовать пересечение окружности и самой параболы. Таким образом, они невозможно построить в том смысле, в каком невозможно построить параболу.
В 1997 году оксфордский математик Питер М. Нейман доказал теорему о том, что не существует конструкции линейки и циркуля для общего решения древней проблемы Альхазена (бильярдная задача или отражение от сферического зеркала). [10] [11]
Некоторые правильные многоугольники (например, пятиугольник ) легко построить с помощью линейки и циркуля; другие нет. Возник вопрос: можно ли построить все правильные многоугольники с помощью линейки и циркуля?
Карл Фридрих Гаусс в 1796 году показал, что правильный 17-сторонний многоугольник можно построить, а пять лет спустя показал, что правильный n -сторонний многоугольник можно построить с помощью линейки и циркуля, если нечетные простые множители числа n являются различными простыми числами Ферма . Гаусс предположил , что это условие также необходимо ; гипотеза была доказана Пьером Ванцелем в 1837 году. [4]
Первые несколько конструктивных правильных многоугольников имеют следующее количество сторон:
Известно, что существует бесконечное множество конструктивных правильных многоугольников с четным числом сторон (поскольку если правильный n -угольник можно построить, то можно построить и правильный 2 n -угольник и, следовательно, правильный 4 n -угольник, 8 n -угольник , и т. д.). Однако известен только 31 правильный n -угольник, который можно построить, с нечетным числом сторон.
Шестнадцать ключевых точек треугольника — это его вершины , середины его сторон , основания его высот , основания его внутренних биссектрис , а также центр описанной окружности , центроид , ортоцентр и инцентр . Их можно выполнять по три за раз, чтобы получить 139 различных нетривиальных задач на построение треугольника из трех точек. [12] Из этих задач три связаны с точкой, которая может быть однозначно построена из двух других точек; 23 может быть построено неоднозначно (фактически для бесконечного числа решений), но только если расположение точек подчиняется определенным ограничениям; в 74 задача конструктивна в общем случае; а в 39 искомый треугольник существует, но его невозможно построить.
Двенадцать ключевых длин треугольника — это три длины сторон, три высоты , три медианы и три биссектрисы . Вместе с тремя углами они дают 95 различных комбинаций, 63 из которых образуют конструктивный треугольник, 30 из которых нет, а две из них недоопределены. [13] : стр. 201–203.
Были предприняты различные попытки ограничить допустимые инструменты для строительства в соответствии с различными правилами, чтобы определить, что еще можно построить и как это можно построить, а также определить минимальные критерии, необходимые для того, чтобы иметь возможность построить все, что связано с циркулем и линейкой. может.
Можно (согласно теореме Мора-Машерони ) построить что-либо, используя только циркуль, если это можно построить с помощью линейки и циркуля, при условии, что заданные данные и данные, которые необходимо найти, состоят из дискретных точек (а не линий или кругов). ). Истинность этой теоремы зависит от истинности аксиомы Архимеда [14] , которая не имеет первого порядка по природе. Примеры конструкций, использующих только компас, включают задачу Наполеона .
Невозможно извлечь квадратный корень, используя только линейку, поэтому некоторые вещи, которые нельзя построить с помощью линейки, можно построить с помощью циркуля; но (по теореме Понселе-Штайнера ) по одному кругу и его центру их можно построить.
Древние греки делили конструкции на три основные категории в зависимости от сложности инструментов, необходимых для их решения. Если в конструкции использовались только линейка и циркуль, ее называли планарной; если для него требовалось еще одно или несколько конических сечений (кроме круга), то его называли сплошным; в третью категорию вошли все конструкции, не попавшие ни в одну из двух других категорий. [15] Эта категоризация хорошо согласуется с современной алгебраической точкой зрения. Комплексное число, которое можно выразить, используя только операции с полем и квадратные корни (как описано выше), имеет плоскую конструкцию. Комплексное число, включающее также извлечение кубических корней, имеет прочную конструкцию.
На языке полей комплексное число, которое является плоским, имеет степень, равную степени двойки, и находится в расширении поля , которое можно разбить на башню полей, где каждое расширение имеет степень два. Комплексное число, имеющее прочную конструкцию, имеет степень с простыми делителями только два и три и находится в расширении поля, которое находится на вершине башни полей, где каждое расширение имеет степень 2 или 3.
Точка имеет прочную конструкцию, если ее можно построить с помощью линейки, циркуля и (возможно, гипотетического) инструмента для рисования конусов, который может нарисовать любую конику с уже построенными фокусом, директрисой и эксцентриситетом. Тот же набор точек часто можно построить с использованием меньшего набора инструментов. Например, с помощью циркуля, линейки и листа бумаги, на котором изображена парабола y=x 2 вместе с точками (0,0) и (1,0), можно построить любое комплексное число, имеющее целое число. строительство. Точно так же инструмент, который может нарисовать любой эллипс с уже построенными фокусами и большой осью (представьте себе две булавки и кусок веревки), столь же мощный. [16]
Древние греки знали, что удвоение куба и трисекция произвольного угла имеют прочные конструкции. Архимед дал прочную конструкцию правильного 7-угольника. Квадратура круга не имеет прочной конструкции.
Правильный n -угольник имеет сплошную конструкцию тогда и только тогда, когда n = 2 a 3 b m , где a и b — некоторые неотрицательные целые числа, а m — произведение нуля или более различных простых чисел Пьерпона (простых чисел вида 2 r 3 с +1). Следовательно, правильный n -угольник допускает сплошную, но не плоскую конструкцию тогда и только тогда, когда n находится в последовательности
Множество n , для которых правильный n -угольник не имеет прочной конструкции, представляет собой последовательность
Как и вопрос с простыми числами Ферма, остается открытым вопрос о том, существует ли бесконечное число простых чисел Пьерпона.
Что, если бы вместе с линейкой и циркулем у нас был бы инструмент, который мог бы (только) разделить произвольный угол на три части? Такие конструкции представляют собой прочные конструкции, но существуют числа с прочными конструкциями, которые невозможно построить с помощью такого инструмента. Например, таким инструментом мы не сможем удвоить куб. [17] С другой стороны, любой правильный n-угольник, имеющий прочную конструкцию, можно построить с помощью такого инструмента.
Математическая теория оригами более мощная, чем конструкция с помощью линейки и циркуля. Складки, удовлетворяющие аксиомам Хузиты – Хатори, могут построить точно такой же набор точек, что и расширенные конструкции, с использованием циркуля и инструмента рисования конических фигур. Следовательно, оригами также можно использовать для решения кубических уравнений (и, следовательно, уравнений четвертой степени) и, таким образом, решить две классические задачи. [18]
Архимед , Никомед и Аполлоний дали конструкции, предполагающие использование маркированной линейки. Это позволило бы им, например, взять отрезок линии, две линии (или круги) и точку; а затем нарисуйте линию, проходящую через данную точку и пересекающую две заданные прямые, так, чтобы расстояние между точками пересечения равнялось данному отрезку. Греки называли это neusis («наклон», «тенденция» или «граница»), потому что новая линия стремится к точке. В этой расширенной схеме мы можем разделить произвольный угол на три части (см. трисекцию Архимеда) или извлечь произвольный кубический корень (по Никомеду). Следовательно, любое расстояние, отношение которого к существующему расстоянию является решением кубического уравнения или уравнения четвертой степени, является конструктивным. С помощью разметочной линейки можно построить правильные многоугольники со сплошными конструкциями, например семиугольник ; а Джон Х. Конвей и Ричард К. Гай дают конструкции некоторых из них. [19]
Конструкция neusis более мощная, чем инструмент конического рисования, поскольку можно строить комплексные числа, не имеющие твердых конструкций. Фактически, с помощью этого инструмента можно решить некоторые квинтики, которые невозможно решить с помощью радикалов . [20] Известно, что невозможно решить неприводимый многочлен простой степени, большей или равной 7, с помощью конструкции неусиса, поэтому невозможно построить правильный 23-угольник или 29-угольник с помощью этого инструмента. Бенджамин и Снайдер доказали, что можно построить правильный 11-угольник, но не дали конструкции. [21] До сих пор остается открытым вопрос о том, можно ли построить с помощью этого инструмента правильный 25-угольник или 31-угольник.
Учитывая отрезок прямой, называемый AB, можно ли его разделить на три новых равных отрезка и на множество частей, как того требует использование теоремы о пересечении .
В 1998 году Саймон Плуфф предложил алгоритм линейки и циркуля , который можно использовать для вычисления двоичных цифр определенных чисел. [22] Алгоритм предполагает многократное удвоение угла и становится физически непрактичным примерно после 20 двоичных цифр.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\left({\frac {2\pi }{17}}\right)}&=\,-{\frac {1}{16}}\,+\ ,{\frac {1}{16}}{\sqrt {17}}\,+\,{\frac {1}{16}}{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}\ \[5mu]&\qquad +\,{\frac {1}{8}}{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}} }-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/874eae7af8042c041f9ee204b0ecfb567e7a9582)
