Иоганн Карл Фридрих Гаусс (нем. Gauß [kaʁl ˈfʁiːdʁɪç ˈɡaʊs] ⓘ ; [2][3] Латынь:Карол Фридерикус Гаусс; 30 апреля 1777 — 23 февраля 1855) —немецкий математик,геодезистифизик, внесший значительный вклад во многие области математики и естественных наук. Гаусс входит в число самых влиятельных математиков в истории, и его называли «принцем математиков».
Гаусс был вундеркиндом в математике. Еще будучи студентом Геттингенского университета , он выдвинул несколько математических теорем . Гаусс завершил свои шедевры Disquisitiones Arithmeticae и Theoria motus corporum coelestium как частный ученый. Позже он был директором Гёттингенской обсерватории и профессором университета почти полвека, с 1807 года до своей смерти в 1855 году.
Гаусс опубликовал второе и третье полные доказательства основной теоремы алгебры , внёс вклад в теорию чисел и разработал теории бинарных и троичных квадратичных форм. Ему приписывают изобретение алгоритма быстрого преобразования Фурье , и он сыграл важную роль в открытии карликовой планеты Церера . Его работа по движению планетоидов, возмущенных большими планетами, привела к введению гравитационной постоянной Гаусса и метода наименьших квадратов , который он открыл до того, как Адриан-Мари Лежандр опубликовал этот метод, и который до сих пор используется во всех науках для минимизации погрешность измерения. Он считается одним из первооткрывателей неевклидовой геометрии наряду с Николаем Лобачевским и Яношем Бойяи и ввел этот термин.
Гаусс изобрел гелиотроп в 1821 году, магнитометр в 1833 году и, вместе с Вильгельмом Эдуардом Вебером , первый электромагнитный телеграф в 1833 году.
Гаусс был осторожным автором. Он отказался публиковать незаконченную работу. Хотя в течение своей жизни он много публиковался, он оставил после себя несколько работ, которые будут опубликованы посмертно . Он считал, что наибольшее удовольствие доставляет сам процесс обучения, а не обладание знаниями. Хотя Гаусс, как известно, не любил преподавать, некоторые из его учеников стали влиятельными математиками.
.jpg/1280px-Braunschweig_Brunswick_Geburtshaus_CF_Gauss_(1914).jpg)
Иоганн Карл Фридрих Гаусс родился 30 апреля 1777 года в Брауншвейге (Брауншвейг) , в герцогстве Брауншвейг-Вольфенбюттель (ныне часть Нижней Саксонии , Германия), в семье с более низким социальным статусом. [4] Его отец Гебхард Дитрих Гаусс (1744–1808) работал на нескольких должностях: мясником, каменщиком, садовником и казначеем фонда пособий по случаю смерти. Гаусс характеризовал своего отца как благородного и уважаемого человека, но грубого и властного дома. Он имел опыт письма и вычислений, но его жена Доротея (1743–1839), мать Карла Фридриха, была почти неграмотной. Карла Фридриха крестили и конфирмовали в церкви [а] рядом со школой, которую он посещал в детстве. [5] У него был старший брат от первого брака отца.
Гаусс был вундеркиндом в области математики. Когда учителя начальной школы заметили его интеллектуальные способности, они привлекли к нему внимание герцога Брауншвейгского , который отправил его в местный Коллегиум Каролинум , [b] который он посещал с 1792 по 1795 год вместе с Эберхардом Августом Вильгельмом фон Циммерманном в качестве одного из своих учеников. учителя. После этого герцог предоставил ему ресурсы для изучения математики, естественных наук и классических языков в Ганноверском университете Геттингена до 1798 года . но предполагается, что решающей причиной была большая библиотека Геттингена, где студентам разрешалось брать книги и брать их домой. [7] Одним из его профессоров по математике был Авраам Готхельф Кестнер , которого Гаусс называл «ведущим математиком среди поэтов и ведущим поэтом среди математиков» из-за его эпиграмм . [8] Гаусс изобразил его на рисунке, показывающем сцену лекции, где он допустил ошибки в простых вычислениях. Астрономию преподавал Карл Феликс фон Зейффер (1762–1822), с которым Гаусс поддерживал переписку после окончания учебы; Ольберс и Гаусс высмеивали его в своей переписке. С другой стороны, он высоко ценил Георга Кристофа Лихтенберга , своего учителя физики, и Кристиана Готлоба Хейне , лекции которого по классике Гаусс посещал с удовольствием. [9] Однокурсниками этого времени были Иоганн Фридрих Бензенберг , Фаркас Боляи и Генрих Вильгельм Брандес .
Хотя он был зарегистрированным студентом университета, очевидно, что он был студентом-самоучкой по математике, поскольку самостоятельно переоткрыл несколько теорем. [10] Ему удалось совершить прорыв в геометрической проблеме, которая занимала математиков со времен древних греков , когда в 1796 году он определил, какие правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки . Это открытие стало темой его первой публикации и в конечном итоге привело Гаусса к выбору карьеры математики вместо филологии . [11] Математический дневник Гаусса показывает, что в том же году он также продуктивно занимался теорией чисел. Он сделал передовые открытия в модульной арифметике , нашел первое доказательство квадратичного закона взаимности и занялся теоремой о простых числах . К этому времени относятся многие идеи его математического великого труда Disquisitiones arithmeticae , опубликованного в 1801 году.
Гаусс получил степень доктора философии в 1799 году. Он окончил не Геттинген, как иногда утверждают, [c] [12], а, скорее, по особой просьбе герцога Брауншвейгского, Хельмштедтский университет, единственный государственный университет герцогство. Там Иоганн Фридрих Пфафф защитил свою докторскую диссертацию, а Гаусс получил степень заочно, без дальнейшего устного экзамена, который обычно требовался. Затем герцог предоставил ему стоимость жизни в качестве частного ученого в Брауншвейге. Гаусс проявил свою благодарность и преданность этому завещанию, когда отказался от нескольких звонков из Российской академии наук в Санкт-Петербурге и из Ландсхутского университета . Позже герцог пообещал ему основать обсерваторию в Брауншвейге в 1804 году. Архитектор Петер Йозеф Краэ подготовил предварительные проекты, но одна из войн Наполеона отменила эти планы: [13] герцог был смертельно ранен в битве при Йене в 1806 году. герцогство было упразднено в следующем году, и финансовая поддержка Гаусса прекратилась. Затем он поступил в Геттингенский университет , учреждение недавно основанного Вестфальского королевства под руководством Жерома Бонапарта , в качестве профессора и директора астрономической обсерватории .
Изучая расчет орбит астероидов, Гаусс установил контакт с астрономическим сообществом Бремена и Лилиенталя , особенно с Вильгельмом Ольберсом , Карлом Людвигом Гардингом и Фридрихом Вильгельмом Бесселем , входящим в неофициальную группу астрономов, известную как Небесная полиция . [14] Одной из их целей было открытие новых планет, и они собрали данные об астероидах и кометах в качестве основы для исследований Гаусса. Таким образом, Гаусс смог разработать новые, мощные методы определения орбит, которые он позже опубликовал в своем астрономическом выдающемся труде « Теория движения тела» (1809 г.).
Гаусс прибыл в Геттинген в ноябре 1807 года, и в последующие годы он столкнулся с требованием двух тысяч франков от вестфальского правительства в качестве военного вклада. Не получив еще зарплаты, он не мог собрать такую огромную сумму. И Ольберс, и Лаплас хотели помочь ему с оплатой, но Гаусс отказался от их помощи. Наконец, анонимный человек из Франкфурта , позже выяснилось, что это был принц-примат Дальберг , [15] заплатил сумму.
Гаусс взял на себя управление 60-летней обсерваторией, основанной в 1748 году курфюрстом Георгом II и построенной на переоборудованной крепостной башне, [16] с пригодными для использования, но частично устаревшими приборами. [17] Строительство новой обсерватории было одобрено курфюрстом Георгом III в принципе с 1802 года, и Вестфальское правительство продолжило планирование, [18] но здание не было закончено до октября 1816 года. Приборы с датой, например, два меридианных круга от Репсольда [19] и Райхенбаха [20] и гелиометр от Фраунгофера . [21]
Научную деятельность Гаусса, помимо чистой математики, можно условно разделить на три периода: в первые два десятилетия XIX века основным направлением была астрономия, в третье десятилетие геодезия, а в четвёртое десятилетие он занимался физикой, главным образом магнетизм. [22]
Гаусс оставался умственно активным до самой старости, даже страдая от подагры и общего несчастья. Его последним наблюдением стало солнечное затмение 28 июля 1851 года . [23] 23 февраля 1855 года Гаусс умер от сердечного приступа в Геттингене; [8] он похоронен там на кладбище Альбани . Генрих Эвальд , зять Гаусса, и Вольфганг Сарториус фон Вальтерсхаузен , близкий друг и биограф Гаусса, произнесли хвалебные речи на его похоронах.
На следующий день после смерти Гаусса его мозг был удален, сохранен и изучен Рудольфом Вагнером , который обнаружил, что его масса немного выше среднего - 1492 грамма (52,6 унции). [24] [25] Площадь головного мозга была определена сыном Вагнера Германом в его докторской диссертации как 219 588 квадратных миллиметров (340,362 квадратных дюйма). [26] Были также обнаружены высокоразвитые извилины, которые в начале 20 века были предложены как объяснение его гениальности. [27] После различных предыдущих исследований магнитно-резонансное исследование 1998 года, проведенное в Институте биофизической химии Макса Планка в Геттингене, не дало результатов, которые можно было бы использовать для объяснения его математических способностей. [28]
В 2013 году нейробиолог из того же института обнаружил, что из-за неправильной маркировки мозг Гаусса был перепутан с мозгом врача Конрада Генриха Фукса , который умер в Геттингене через несколько месяцев после Гаусса. [29] Дальнейшее исследование не выявило каких-либо заметных аномалий в мозге ни у одного человека. Таким образом, все исследования мозга Гаусса до 1998 года, за исключением первых исследований Рудольфа и Германа Вагнера, фактически относятся к мозгу Фукса. [30]
Гаусс женился на Йоханне Остхофф (1780–1809) 9 октября 1805 года. [31] У них было двое сыновей и дочь: Йозеф (1806–1873), Вильгельмина (1808–1840) и Луи (1809–1810). Джоанна умерла 11 октября 1809 года, через месяц после рождения Людовика, который сам умер несколько месяцев спустя.
Через год, 4 августа 1810 года, Гаусс женился повторно на Вильгельмине (Минне) Вальдек (1788–1831), подруге своей первой жены. У них было еще трое детей: Ойген (позже Юджин) (1811–1896), Вильгельм (позже Уильям) (1813–1879) и Тереза Штауфенау (1816–1864). Минна Гаусс умерла 12 сентября 1831 года после более чем десятилетней серьезной болезни. [32] Затем Тереза взяла на себя домашнее хозяйство и заботилась о Гауссе до конца его жизни; после смерти отца она вышла замуж за актера Константина Штауфенау. [33] Ее сестра Вильгельмина вышла замуж за востоковеда Генриха Эвальда . [34] Мать Гаусса Доротея жила в его доме с 1817 года до своей смерти в 1839 году. [6]
Старший сын Йозеф, еще школьником, помогал своему отцу в качестве помощника во время его исследовательской кампании летом 1821 года. После непродолжительного обучения в университете в 1824 году Йозеф присоединился к ганноверской армии и снова помогал в геодезических работах в 1829 году. В 1830-х годах он отвечал за расширение исследовательской сети на западные части королевства. Имея геодезическую квалификацию, он оставил службу и занялся строительством железнодорожной сети в должности директора Королевских Ганноверских государственных железных дорог . В 1836 году он несколько месяцев изучал железнодорожную систему США. [35] [д]
Ойген покинул Геттинген в сентябре 1830 года и эмигрировал в США, где служил в армии на пять лет. Затем он работал в Американской меховой компании на Среднем Западе, где выучил язык сиу . Позже он переехал в Миссури и стал успешным бизнесменом. [35] Вильгельм женился на племяннице астронома Бесселя , а также переехал в Миссури в 1837 году, [38] начав с фермера, а затем разбогатев на обувном бизнесе в Сент-Луисе . [39] Юджин и Уильям имеют многочисленных потомков в Америке, но все потомки, оставшиеся в Германии, происходят от Джозефа, поскольку у дочерей Гаусса не было детей. [35]
В конце XVIII века немецкая академическая математика находилась в плохом состоянии: плодовитые математики того времени работали во Франции и других странах Европы. [e] Математический мейнстрим в основном занимался решением практических задач в механике, астрономии, геодезии и т. д. [41] В этой научной среде Гаусса можно рассматривать, вслед за Феликсом Кляйном , как типичного математика как 18-го, так и 19-го века. Его интерес к практическому применению, например, в геодезии и астрономии, позволил Гауссу считаться типичным прикладным математиком века просвещения . С другой стороны, он начал исследования во многих областях математики без определенной связи с практическими целями и, таким образом, проявил себя как пионер того, что позже было названо « чистой математикой ». В отличие от более ранних математиков, таких как Леонард Эйлер , которые позволяли своим читателям участвовать в их рассуждениях по мере развития новых идей и включали определенные ошибочные отклонения от правильного пути, Гаусс разработал новый стиль прямого и полного объяснения, который не пытался показать читателю ход мысли автора. [42] [43]
Но для себя он пропагандировал совершенно иной идеал, изложенный в письме Фаркашу Боляи следующим образом: [45]
Не знание, а сам процесс обучения, не обладание, а процесс достижения цели доставляет величайшее удовольствие. Когда я прояснил и исчерпал предмет, то я отворачиваюсь от него, чтобы снова уйти во тьму.
- Даннингтон 2004, с. 416
Гаусс отказался публиковать работу, которую он не считал полной и выше критики. Этот перфекционизм соответствовал девизу его личной печати Pauca sed Matura («Мало, но спелые»). Его личный дневник показывает, что он сделал несколько математических открытий за годы или десятилетия до того, как современники опубликовали их. Он излагал новые идеи в письменном виде своим коллегам, которые поощряли его к публикации, а иногда и упрекали его, если он, по их мнению, колебался слишком долго. Гаусс защищался, утверждая, что первоначальное открытие идей было легким, но подготовка публикации для публикации была для него трудным делом либо из-за нехватки времени, либо из-за «спокойствия ума». [46] Тем не менее, он опубликовал много коротких сообщений актуального содержания в различных журналах, но его «Собрание сочинений» также содержит значительный литературный фонд. [47] [48] Эрик Темпл Белл сказал, что если бы Гаусс опубликовал все свои открытия своевременно, он бы продвинул математику на пятьдесят лет. [49]
В некоторых случаях Гаусс утверждал, что находка, опубликованная другим ученым, ранее уже находилась в его распоряжении. Таким образом, его концепция приоритета как «первым открыть, а не первым опубликовать» отличалась от концепции его современников-ученых. [50] В отличие от его перфекционизма в изложении математических идей, его критиковали за небрежное цитирование. Он обосновывал себя совершенно особым взглядом на правильное цитирование: если и давал ссылки, то только вполне полно, по отношению к предыдущим важным авторам, которых никто не должен игнорировать; но для такого цитирования требовались знания истории науки и больше времени, чем он хотел потратить. [46]
Хотя Гаусса считают мастером аксиоматического изложения, из его посмертно опубликованных статей, его дневника и коротких толкований в его собственных учебниках стало очевидно, что он работал в значительной степени эмпирическим путем. Гаусс всю жизнь был занятым и увлеченным калькулятором, который производил свои расчеты с необычайной быстротой, большей частью без точного контроля, но проверял результаты мастерской оценкой. Тем не менее его расчеты, особенно в геодезии и астрономии, не всегда были свободны от ошибок. [51] Он справился с огромной рабочей нагрузкой, используя умелые инструменты. [52] Гаусс использовал множество математических таблиц , исследовал их точность и построил новые таблицы по различным вопросам для личного пользования. [53] Он разработал новые инструменты для эффективных вычислений, например метод исключения Гаусса . Любопытной особенностью его стиля работы было то, что он проводил расчеты с высокой степенью точности, гораздо большей, чем требовалось. [54] Весьма вероятно, что этот метод дал ему много материала, который он использовал при поиске теорем теории чисел. [52]
Близким коллегам было хорошо известно, что Гаусс не любил читать академические лекции. Впервые он заявил об этом Ольберсу в 1802 году, так что это отвращение не было результатом неудачного опыта. Таким образом, он отказался принять какую-либо академическую должность с преподавательскими обязанностями в годы работы частным ученым. Но с самого начала своей академической карьеры в Геттингене в 1807 году он непрерывно читал лекции вплоть до 1854 года. [55] Он часто жаловался на усилия преподавания, считая, что это пустая трата его времени, но, с другой стороны, тот или иной ученик талантлив. За все эти 47 лет преподавания он прочитал всего три лекции по предметам чистой математики, тогда как большая часть его лекций касалась астрономии, геодезии и прикладной математики . Однако многие из учеников Гаусса впоследствии стали известными математиками, физиками и астрономами: Мориц Кантор , Дедекинд , Дирксен , Энке , Гульд , Гейне , Клинкерфюс , Купфер , Листинг , Мёбиус , Николай , Риман , Риттер , Шеринг . , Шерк , Шумахер , Зеебер , фон Штаудт , Штерн , Урсин ; как ученые-геологи Сарториус фон Вальтерсхаузен и Ваппеус . [57]
Гаусс не написал ни одного учебника и (в отличие от своих друзей Бесселя, Гумбольдта и Ольберса) не любил популяризацию научных вопросов. Единственными его попытками популяризации были его работы, посвященные дате Пасхи [58] и эссе Erdmagnetismus und Magnetometer 1836 года. [46] Гаусс публиковал свои статьи и книги исключительно на латыни или на немецком языке . [g] Он писал на латыни в чисто классическом стиле, но использовал некоторые обычные модификации, установленные современными математиками. [60]
В Геттингенском университете Гаусса сопровождала группа других преподавателей его дисциплин, завершивших образовательную программу: например, блестящий Тибо по математике, физике Вебер и Майер , хорошо известный своими успешными учебниками, и Хардинг , который взял основная часть лекций по астрономии. Когда обсерватория была завершена, Гаусс поселился в западном крыле новой обсерватории, а Хардинг — в восточном. Когда-то они были в дружеских отношениях с другим, но со временем отдалились друг от друга, возможно – как предполагают некоторые биографы – потому, что Гаусс желал, чтобы Хардинг, равный ему по рангу, был не более чем его помощником или наблюдателем. [h] Годы, начиная с 1820 года, оценивались как «период низкой астрономической активности». [61] Новая, хорошо оборудованная обсерватория работала не так эффективно, как другие; Астрономические исследования Гаусса имели характер единоличного предприятия, и место для ассистента в университете учредили только после смерти Гардинга в 1834 году. Но тем не менее Гаусс дважды отказывался от возможности решить задачу, принимая предложения из Берлина в 1810 и 1825 годах. стать полноправным членом Прусской академии, не имея при этом больших преподавательских обязанностей, а также Лейпцигского университета в 1810 году и Венского университета в 1842 году. Возможно, причиной было тяжелое положение его семьи. [62] В последние годы жизни Гаусс был одним из самых высокооплачиваемых профессоров университета. [35]
Когда в 1810 году Гаусса попросил о помощи его коллега и друг Фридрих Вильгельм Бессель , у которого были проблемы в Кенигсбергском университете из-за отсутствия у него ученого звания, [i] Гаусс предоставил Бесселю степень почетного доктора философского факультета Геттингена. в марте 1811 года. Гаусс дал еще одну рекомендацию к почетной степени для Софи Жермен , но лишь незадолго до ее смерти, поэтому она так и не получила ее. [63] Он также оказал успешную поддержку талантливому математику Готхольду Эйзенштейну в Берлине.
Гаусс принимал участие в академическом управлении: трижды избирался деканом философского факультета. [64] Будучи доверенным вдовьим пенсионным фондом университета, он занимался актуарной наукой и написал доклад о стратегии стабилизации пособий. Он был назначен директором Королевской академии наук в Геттингене на девять лет, даже в последний год своей жизни. [64]
Вскоре после смерти Гаусса его друг Сарториус опубликовал первую биографию (1856 г.), написанную в довольно восторженном стиле. Сарториус видел в Гауссе безмятежного и устремленного вперед человека с детской скромностью, [65] но также «железного характера» [66] с непоколебимой силой духа. [67] Он отличался чувством справедливости [68] и религиозной терпимостью. [69] Помимо его более близкого окружения, другие считали его сдержанным и неприступным, «подобным олимпийцу , восседающему на троне на вершине науки». [70] Его близкие современники сходились во мнении, что Гаусс был человеком непростого характера. Он часто отказывался принимать комплименты. Его посетителей иногда раздражало сварливое поведение, но вскоре его настроение могло измениться, и он стал обаятельным и непредубежденным хозяином. [46]
Жизнь Гаусса была омрачена тяжелыми проблемами в семье. Когда его первая жена Джоанна внезапно умерла вскоре после смерти третьего ребенка, он погрузился в депрессию, от которой так и не оправился. Вскоре после ее смерти он написал ей последнее письмо в стиле древнего плача , самого личного из сохранившихся документов Гаусса. [71] [72] Ситуация ухудшилась, когда туберкулез поразил и в конечном итоге разрушил здоровье его второй жены Минны, продолжавшейся более 13 лет; обе его дочери позже страдали от той же болезни. [73] Оба младших сына получили образование в течение нескольких лет в Целле , недалеко от Геттингена. Сам Гаусс лишь слегка намекнул на свои личные страдания: в письме Бесселю от декабря 1831 года он назвал себя «жертвой худших домашних страданий». [46]
Гаусс стал доминировать над своими детьми и в конечном итоге у него возникли конфликты со своими сыновьями, потому что он не хотел, чтобы кто-либо из них занимался математикой или естественными науками, из-за «боязни принизить фамилию», поскольку он считал, что ни один из них не превзойдет его собственные достижения. Военная карьера его старшего сына Иосифа завершилась спустя два с лишним десятилетия в звании низкооплачиваемого старшего лейтенанта , хотя он и приобрел значительные познания в геодезии. Ему требовалась финансовая поддержка отца даже после того, как он женился. [35] Второй сын Ойген в значительной степени разделял талант Гаусса в области вычислений и языков, но имел жизнерадостный, а иногда и мятежный характер. Он хотел изучать филологию, а Гаусс хотел, чтобы он стал юристом. Накопив долги и вызвав публичный скандал, [74] он внезапно при драматических обстоятельствах в сентябре 1830 года покинул Геттинген и эмигрировал через Бремен в США. Он потратил те небольшие деньги, которые взял на старт, после чего его отец отказался от дальнейшей финансовой поддержки. Младший сын Вильгельм хотел получить право на управление сельским хозяйством, но столкнулся с трудностями в получении соответствующего образования и тоже эмигрировал. Лишь младшая дочь Гаусса Тереза сопровождала его в последние годы жизни.
Сбор числовых данных о самых разных вещах, полезных или бесполезных, вошел в его привычку в последние годы, например, о количестве путей от дома до определенных мест в Геттингене или о количестве дней жизни людей; он поздравил Гумбольдта в декабре 1851 года, когда тот достиг того же возраста, что и Исаак Ньютон , на момент его смерти, исчисляемой днями. [75]
Помимо превосходного знания латыни, он также был знаком с современными языками. В возрасте 62 лет он начал изучать русский язык , вероятно, понимал научные труды из России, в том числе работы Лобачевского по неевклидовой геометрии. [76] Гаусс читал как классическую, так и современную литературу, английскую и французскую на языках оригинала. [j] Его любимым английским писателем был Вальтер Скотт , любимым немцем Жан-Поль . [78] Гаусс любил петь и ходил на концерты. [79] Он был занятым читателем газет, и в последние годы своей жизни каждый полдень посещал академический пресс-салон университета. [80] Гаусс не особо интересовался философией и высмеивал «секретные волосы так называемых метафизиков», под которыми он имел в виду сторонников современной школы натурфилософии . [81]
Гаусс обладал «аристократической и насквозь консервативной натурой», мало уважая интеллект и нравственность людей, в соответствии с девизом « mundus vult decipi ». Он не любил Наполеона и его систему, и всякое насилие и революция вызывали у него ужас. Таким образом, он осудил методы революций 1848 года , хотя и согласился с некоторыми их целями, такими как идея единой Германии. [66] [k] Что касается политической системы, он дал низкую оценку конституционному строю; он критиковал парламентариев своего времени за недостаток знаний и логические ошибки. [80]
Гаусс был верен Ганноверскому дому . После смерти короля Вильгельма IV в 1837 году личный союз между королевствами Великобритании и Ирландии и Ганновером прекратился. В том же году новый ганноверский король Эрнест Август отменил конституцию, данную государству его братом в 1833 году. Против этого протестовали семь видных профессоров, позже известных как « Геттингенская семерка », в том числе друг и соратник Гаусса Вильгельм Вебер. и зять Гаусса Генрих Эвальд. Все они были уволены, трое исключены, но Эвальд и Вебер могли остаться в Геттингене. Эвальд поступил на работу в Тюбингенский университет в 1838 году, где вскоре после этого, в 1840 году, умерла дочь Гаусса Вильгельмина, и вместе с Вебером отправился в Лейпциг в 1843 году; но оба они вернулись на свои позиции в Геттингене в 1849 году как единственные из геттингенской семерки. Гаусс был глубоко потрясен этой ссорой, но не видел возможности им помочь. [82]
Религиозные убеждения Гаусса были предметом спекуляций некоторых из его биографов. Иногда он говорил: «Бог расчетлив». [83] и: «Мне удалось – не благодаря моим упорным усилиям, а по милости Господа». [84] Гаусс был членом лютеранской церкви , как и большинство населения северной Германии, но, похоже, он не верил во все догмы и не понимал, что Библия истинна в буквальном смысле. [85] Сарториус упомянул религиозную терпимость Гаусса и оценил его «ненасытную жажду истины» и его чувство справедливости как мотивированные религиозными убеждениями. [69]
Гаусс был успешным инвестором и накопил значительное состояние благодаря акциям и ценным бумагам, но он не одобрял идею бумажных денег. [86] После его смерти в его комнатах была найдена спрятанная большая сумма денег. [87]
В своей докторской диссертации 1799 года Гаусс доказал фундаментальную теорему алгебры , которая гласит, что каждый непостоянный многочлен от одной переменной с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень . Математики, в том числе Жан ле Рон д'Аламбер, до него представили ложные доказательства, а диссертация Гаусса содержит критику работы Даламбера. Впоследствии он представил еще три доказательства, последнее из которых в 1849 году было в целом строгим. Его попытки значительно прояснили концепцию комплексных чисел. [88]
Записи в «Математическом дневнике» Гаусса указывают на то, что он занимался теорией чисел по крайней мере с 1796 года. Детальное изучение предыдущих исследований показало ему, что некоторые из его открытий уже были сделаны другими учеными. В 1798 и 1799 годах Гаусс написал объемистую компиляцию всех этих результатов в знаменитых « Disquisitiones Arithmeticae» , опубликованных в 1801 году, которая сыграла фундаментальную роль в консолидации теории чисел как дисциплины и охватывала как элементарную, так и алгебраическую теорию чисел . Там он, среди прочего, вводит символ тройной черты ( ≡ ) для сравнения и использует его для ясного представления модульной арифметики . В нем рассматривается единственная теорема факторизации и примитивные корни по модулю n . В основных главах Гаусс представляет первые два доказательства закона квадратичной взаимности , позволяющего математикам определить разрешимость любого квадратного уравнения в модульной арифметике, и развивает теории бинарных и троичных квадратных форм .
Основные моменты этих теорий включают замечательный закон композиции Гаусса для бинарных квадратичных форм, а также его перечисление количества представлений целого числа в виде суммы трех квадратов. В качестве почти непосредственного следствия своей теоремы о трех квадратах он доказывает треугольный случай теоремы Ферма о многоугольных числах для n = 3. Из нескольких замечательных аналитических результатов о числах классов , которые Гаусс дает без доказательства в конце пятой главы, следует, что Похоже, что Гаусс уже знал формулу числа классов в 1801 году. [89]
В последней главе Гаусс дает свое доказательство возможности построения правильного семиугольника (17-стороннего многоугольника) с линейкой и циркулем , сводя эту геометрическую задачу к алгебраической задаче. Он показывает, что правильный многоугольник можно построить, если число его сторон является произведением различных простых чисел Ферма и степени 2. В той же главе он дает результат о количестве решений некоторых кубических многочленов с коэффициентами в конечных полях. , что сводится к подсчету целых точек на эллиптической кривой . Примерно 150 лет спустя Андре Вейль заметил, что этот конкретный результат вместе с некоторыми другими неопубликованными результатами Гаусса привел его к формулировке того, что сейчас называется гипотезой Вейля . [90] [л]
Гаусс намеревался включить восьмую главу, в которой тема высших сравнений по модулю простого числа будет рассмотрена во всей ее общности, но незаконченная глава была найдена среди его бумаг только после его смерти и состояла из работ, выполненных в 1797–1799 годах.
В 1831 году Людвиг Август Зеебер опубликовал книгу по теории приведения положительных троичных квадратичных форм [92] в соответствии с программой, изложенной в «Исследованиях » Гаусса . Однако он не доказал центральную теорему своей теории, поэтому она осталась простой гипотезой. В своей рецензии на книгу Сибера Гаусс упростил многие длинные аргументы Сибера, доказал эту центральную гипотезу и заметил, что эта теорема эквивалентна гипотезе Кеплера для регулярных расположений. [93]
Гаусс доказал Великую теорему Ферма для n = 3 и схематично доказал ее для n = 5 в своих неопубликованных работах. Частный случай n = 3 был доказан гораздо раньше Леонардом Эйлером , но Гаусс разработал более упрощенное доказательство, в котором использовались целые числа Эйзенштейна ; хотя и более общее, доказательство было проще, чем в случае действительных целых чисел.
Среди его опубликованных работ по теории чисел две его статьи о биквадратных остатках (опубликованные в 1828 и 1832 годах) считаются вторыми по значимости после Disquisitions Arithmeticae . В этих статьях Гаусс вводит кольцо гауссовских целых чисел и показывает, что это кольцо является единственной областью факторизации . Более того, он обобщает на это кольцо многие ключевые арифметические понятия, такие как малая теорема Ферма и лемма Гаусса . Основная цель введения этого кольца заключалась в том, чтобы сформулировать закон биквадратичной взаимности – как обнаружил Гаусс, кольца комплексных целых чисел являются естественной основой для таких более высоких законов взаимности.
Во второй статье он формулирует общий закон биквадратичной взаимности и доказывает несколько его частных случаев, но доказательство общей теоремы отсутствует, несмотря на заявления Гаусса о том, что он нашел такое доказательство около 1814 года. Он обещал третью статью с общим доказательство, но оно так и не появилось. В более ранней публикации 1818 года, содержащей его пятое и шестое доказательства квадратичной взаимности, он утверждает, что методы этих доказательств ( суммы Гаусса ) могут быть применены для доказательства высших законов взаимности.
Публикации Гаусса о биквадратичных вычетах открыли путь к безграничному расширению теории чисел и памятны богатством исследований в области «высшей арифметики», к которым они привели.
Одним из первых независимых открытий Гаусса было понятие среднего арифметико-геометрического (AGM) двух положительных действительных чисел; его систематические исследования AGM привели его к открытию необычайно богатого математического ландшафта и получению множества новых результатов, связанных с ним. [94] Он обнаружил ее связь с эллиптическими интегралами в 1798-1799 годах посредством так называемого преобразования Ландена и в дневниковой записи записал свое открытие связи постоянной Гаусса с лемнискатическими эллиптическими функциями , в результате чего Гаусс заявил, что « несомненно откроет новую область анализа». [95] Он также рано вторгся в более формальные вопросы оснований комплексного анализа , и из письма Бесселю в 1811 году ясно, что он знал так называемую «фундаментальную теорему комплексного анализа» — интегральную теорему Коши — и понял понятие сложных остатков при интегрировании вокруг полюсов .
Другим источником вдохновения для ранних работ Гаусса в области анализа было его знакомство с теоремой Эйлера о пятиугольных числах . Эта теорема вместе с другими его исследованиями AGM и лемнискатических функций привела его к множеству результатов о тета-функциях Якоби , работа, которая завершилась его открытием в 1808 году тождества тройного произведения Якоби , которое позже было названо тождеством тройного произведения Якоби, которое включает в себя теорему Эйлера как частный случай. [96] В своей публикации 1811 года об определении знака квадратичной суммы Гаусса Гаусс решил проблему, введя гауссовы биномиальные коэффициенты и используя линию рассуждений, которая каким-то образом «скрывает» ее происхождение в теории тэта-функций, как это сделали более поздние математики. были показаны. Вся эта работа была проделана за несколько десятилетий до публикации « Fundamenta nova » Якоби в 1829 году; однако Гаусс так и не нашел времени систематически изложить и систематизировать все свои мысли и теоремы такого рода, а его современники никогда не знали масштабов его работ.
Несколько математических фрагментов в его Nachlass указывают на то, что он достаточно хорошо знал части современной теории модулярных форм Феликса Клейна и Роберта Фрике . В своей работе над многозначным AGM двух комплексных чисел он обнаружил очень глубокую связь между бесконечно многими значениями AGM и двумя его «простейшими значениями». [97] Его неопубликованные работы включают несколько рисунков, которые показывают, что он был вполне осведомлен о геометрической стороне теории; в контексте своей работы над сложным AGM он распознал и набросал ключевую концепцию фундаментальной области для модульной группы . [m] Одним из набросков Гаусса такого рода был его рисунок мозаики единичного круга « равносторонними» гиперболическими треугольниками со всеми углами, равными .
При жизни Гаусс почти ничего не опубликовал об этих более современных теориях эллиптических функций , но он опубликовал большую часть своих результатов по родственной теме гипергеометрической функции . В своей работе «Disquisitiones Generales Circa Series Infinitam...» (1812) он представил первое систематическое рассмотрение общей гипергеометрической функции и показал, что многие функции, известные науке в то время, такие как элементарные функции и некоторые специальные функции являются частным случаем гипергеометрической функции. [98] Эта работа была первой в истории математики с точным исследованием сходимости бесконечных рядов. [99] Кроме того, речь шла о бесконечных цепных дробях , возникающих как отношения гипергеометрических функций.
В 1822 году Гаусс опубликовал получившее премию эссе по конформным отображениям , которое содержит несколько разработок, относящихся к области комплексного анализа. В этом эссе Гаусс ясно дал понять, что отображения, сохраняющие угол на комплексной плоскости, должны быть комплексными аналитическими функциями , и использовал так называемое уравнение Бельтрами , чтобы доказать существование изотермических координат на аналитических поверхностях. Эссе завершается примерами конформных отображений на сферу и эллипсоид вращения . Кроме того, в неопубликованных фрагментах за 1834-1839 годы [н] он исследовал и решил более сложную задачу явного построения конформного отображения внутренности эллипса на единичный круг. [100] Его решение, которое объединило его ранние работы по эллиптическим функциям и его более поздние идеи по теории потенциала , показывает его мастерство в теории логарифмического потенциала, а его окончательные результаты соответствовали формуле, найденной Германом Шварцем в 1870 году.
Гаусс часто выводил теоремы индуктивным путем на основе числовых данных, собранных им эмпирическим путем. Таким образом, использование эффективных алгоритмов для облегчения вычислений было жизненно важно для его исследований, и он внес большой вклад в численный анализ . В 1815 году он опубликовал статью о численном интегрировании , в которой описал свой метод квадратуры Гаусса , который значительно улучшил существующие методы и вдохновил большую часть работ, сделанных более поздними математиками.
В частном письме Герлингу от 1823 года [101] он описал решение некоторой системы линейных уравнений 4X4 с использованием метода Гаусса-Зейделя – «косвенного» итерационного метода решения линейных систем, который в некоторых случаях очень сходится. быстро к точному решению. Гаусс рекомендовал его вместо обычного метода (так называемого «прямого исключения») для систем, состоящих более чем из двух уравнений, заявив, что это можно сделать «в полусне или думая о других вещах». [102] Таким образом, это был ранний вклад в численную линейную алгебру .
Гаусс изобрел алгоритм расчета того, что сейчас называется дискретными преобразованиями Фурье , иногда называемого «самым важным численным алгоритмом нашей жизни», при расчете орбит Паллады и Юноны в 1805 году, за 160 лет до того, как Кули и Тьюки опубликовали свои аналогичные работы Кули – Тьюки. Алгоритм БПФ . [103] Он разработал его как метод тригонометрической интерполяции , но его статья Theoria Interpolationis Methodo Nova Tractata была опубликована только посмертно в 1866 году, [104] которой предшествовала первая презентация Жозефа Фурье по этому вопросу в 1807 году. [105]
Первая публикация после докторской диссертации была посвящена определению даты Пасхи (1800 г.) — очень элементарному вопросу математики. Гаусс стремился представить наиболее удобный алгоритм для людей, не имеющих каких-либо знаний в церковной или даже астрономической хронологии, и таким образом избегал обычно требуемых терминов золотого числа , эпакта , солнечного цикла , купольной буквы и любых религиозных коннотаций. [106] Биографы размышляли о причине, по которой Гаусс затронул этот вопрос, но это, вероятно, понятно из исторического контекста. Замена юлианского календаря григорианским календарем вызвала большую путаницу в сотнях государств Священной Римской империи, начиная с 16 века, и завершилась в Германии только в 1700 году, когда разница в одиннадцать дней была устранена, но разница в расчете даты Пасхи между протестантскими и католическими территориями сохранялась. Дальнейшее соглашение 1776 года уравняло конфессиональный способ подсчета, поэтому в протестантских государствах, таких как герцогство Брауншвейгское, Пасха 1777 года, за пять недель до рождения Гаусса, была первой, рассчитанной по-новому. [107] Общественные трудности замены могут быть историческим фоном путаницы по этому вопросу в семье Гаусс (см. главу: Анекдоты). Поскольку это было связано с пасхальными правилами, вскоре в 1802 году последовало эссе о дате Песаха .
1 января 1801 года итальянский астроном Джузеппе Пиацци открыл карликовую планету Церера . [108] Пиацци мог отслеживать Цереру всего чуть больше месяца, следуя за ней на три градуса по ночному небу, менее 1% от общей орбиты, пока она временно не исчезла за ярким светом Солнца. Несколько месяцев спустя, когда Церера должна была снова появиться, Пиацци не смог ее определить: математические инструменты того времени не могли экстраполировать положение на основе такого скудного количества данных. Гаусс решил эту проблему в течение трех месяцев напряженной работы и предсказал положение Цереры в декабре 1801 года. Это оказалось точным с точностью до полградуса, когда она была заново открыта Францем Ксавером фон Заком 7/31 декабря в Готе . независимо Генрихом Ольберсом 1/2 января в Бремене . [109] [o] Это подтверждение в конечном итоге привело к классификации Цереры как малой планеты с обозначением 1 Церера; она была принята в качестве предсказанной планеты между Марсом и Юпитером согласно самому спекулятивному закону Тициуса-Боде . [12]
Метод Гаусса заключался в определении конического сечения в пространстве по одному фокусу (Солнцу) и пересечению коники с тремя заданными линиями (линиями зрения от Земли, которая сама движется по эллипсу, до планеты) и времени, в течение которого она находилась. заставляет планету пройти по дугам, определяемым этими линиями (из которых длины дуг можно вычислить по Второму закону Кеплера ). Эта задача приводит к уравнению восьмой степени, одно решение которого — орбита Земли — известно. Затем искомое решение отделяется от остальных шести на основе физических условий. В этой работе Гаусс использовал созданные им для этой цели комплексные методы аппроксимации. [110] Зак отметил, что «без разумной работы и расчетов доктора Гаусса мы, возможно, не нашли бы Цереру снова».
Открытие Цереры привело Гаусса к его работе над теорией движения планетоидов, возмущенной большими планетами, которая в конечном итоге была опубликована в 1809 году под названием Theoria motus corporum coelestium insectionibus conicis solemambitum . При этом он настолько упростил громоздкую математику орбитального предсказания 18-го века, что его работа остается краеугольным камнем астрономических вычислений. [111] Он ввёл гравитационную постоянную Гаусса .
С тех пор как были открыты новые астероиды, Гаусс занялся возмущениями элементов их орбит . Сначала он исследовал Цереру аналитическими методами, подобными методам Лапласа, но его любимым объектом была Паллада из-за ее большого эксцентриситета и наклона орбиты , из-за чего метод Лапласа не работал. Гаусс использовал свои собственные инструменты: среднее арифметико-геометрическое , гипергеометрическую функцию и свой метод интерполяции. [112] В 1812 году он обнаружил орбитальный резонанс с Юпитером в соотношении 18:7; Гаусс опубликовал этот результат в зашифрованном виде , а явный смысл придал только в письмах Ольберсу и Бесселю. [113] [114] [р] Однако спустя долгие годы он закончил свою работу в 1816 году без результата, который показался ему достаточным. Это положило конец его деятельности и в области теоретической астрономии. [116]
Одним из плодов исследований Гаусса возмущений Палласа стала его статья Determinatio Attractionis... (1818) о методе теоретической астрономии, который позже стал известен как «метод эллиптических колец». Этот метод ввел полезную концепцию усреднения, в которой планета на орбите заменяется воображаемым кольцом с плотностью массы, пропорциональной времени, за которое планета движется по соответствующим орбитальным дугам. [117] Гаусс представляет свой метод оценки гравитационного притяжения такого эллиптического кольца, который включает в себя несколько сложных шагов; один из таких шагов включает прямое применение алгоритма среднего арифметико-геометрического (AGM) для вычисления эллиптического интеграла . [q] В конце 19 века метод Гаусса был адаптирован американским астрономом Джорджем Уильямом Хиллом , который применил его непосредственно к проблеме вековых возмущений, вызванных Венерой на орбите Меркурия . [118]
Хотя вклад Гаусса в теоретическую астрономию был внесен в течение двух десятилетий, закончившихся в 1818 году, его более практическая деятельность в наблюдательной астрономии занимала его на протяжении всей его карьеры. Еще в 1799 году он проделал важную работу, записанную в записи 97 своего дневника, по определению лунного параллакса в любом месте Земли путем сведения ее к набору полезных формул, что повысило точность метода определения географического положения по наблюдение за положением Луны . [119] Позже он придал важность пересмотру значений фундаментальных астрономических констант и тем самым работал над различными темами, такими как константы прецессии и нутации , наклон эклиптики , собственное движение Солнечной системы , построение лучших звездных аберраций. таблицы, а также оценку влияния атмосферной рефракции на видимое положение звезд. [120]
Вполне вероятно, что Гаусс использовал метод наименьших квадратов для расчета орбиты Цереры, чтобы минимизировать влияние ошибки измерения . [121] Впервые этот метод был опубликован Адрианом-Мари Лежандром в 1805 году, но Гаусс в «Theoria motus» (1809) утверждал, что он использовал его с 1794 или 1795 года. [122] [123] [124] В истории статистики , это разногласие называется «спором о приоритете открытия метода наименьших квадратов». [50] Гаусс доказал метод в предположении нормально распределенных ошибок ( теорема Гаусса-Маркова ) в своей статье Theoria Combinis Observeum erroribus Minimis Obnoxiae от 1821 года.
В этой статье, которая была сравнительно мало известна в англоязычном мире в первое столетие после ее публикации, он сформулировал и доказал неравенство Гаусса ( неравенство типа Чебышева ) для унимодальных распределений , а также сформулировал без доказательства другое неравенство для моментов четвертого распределения. порядок (частный случай неравенства Гаусса-Винклера). [125] Он вывел нижние и верхние границы дисперсии выборочной дисперсии . [r] В приложении к этой статье Гаусс описал рекурсивные методы наименьших квадратов , которые оставались незамеченными до 1950 года, когда его работа была заново открыта в результате растущей потребности в быстрой оценке для различных новых технологий. Работы Гаусса по теории ошибок были расширены в нескольких направлениях геодезистом Фридрихом Робертом Гельмертом , и теория Гаусса-Гельмерта сегодня рассматривается как «классическая» теория ошибок.
Гаусс внес несколько поразительных вкладов в проблемы теории вероятностей , которые не связаны напрямую с теорией ошибок, но дают представление о его широком взгляде на применимость вероятностного мышления. Один замечательный пример появляется в виде записи в его дневнике и касается очень необычной задачи, которая пришла ему в голову: описать асимптотическое распределение записей в разложении в цепную дробь случайного числа, равномерно распределенного в (0,1) . Он вывел это распределение, теперь известное как распределение Гаусса-Кузмина , как побочный продукт своего открытия эргодичности отображения Гаусса для цепных дробей . Решение Гаусса — первый результат в метрической теории цепных дробей.
Геодезическими задачами Гаусс занимался с 1799 года, когда помогал Карлу Людвигу фон Лекоку с расчетами во время его изысканий в Вестфалии. [126] Позже, с 1804 года, он обучился геодезической практике с секстантом в Брауншвейге, [127] и Геттингене. [128]
С 1816 года его бывший ученик Генрих Кристиан Шумахер , тогда профессор в Копенгагене , но живший в Альтоне ( Гольштейн ) недалеко от Гамбурга , произвел триангуляцию полуострова Ютландия от Скагена на севере до Лауэнбурга на юге. [s] Целью было не только создание карты, но и определение геодезической дуги этого расстояния. Шумахер попросил Гаусса продолжить эту работу дальше на юг и сказал, что может найти поддержку для этого проекта непосредственно у правительства Ганновера. Наконец, в мае 1820 года король Георг IV отдал приказ Гауссу. [129]
Гаусс и Шумахер еще определили некоторые углы между Люнебургом , Гамбургом и Лауэнбургом для геодезической связи в октябре 1818 года. [130] Летом с 1821 по 1825 год Гаусс лично руководил триангуляцией, которая простиралась от Тюрингии на юге до реки Эльбы . на севере. Треугольник между Хохер-Хагеном, Гроссер-Инзельсбергом в Тюрингском лесу и Броккеном в горах Гарца был самым большим треугольником, который когда-либо измерял Гаусс, с максимальной стороной 107 км (66,5 миль). В малонаселенной Люнебургской пустоши , без значительных естественных вершин или искусственных построек, ему было очень трудно найти подходящие точки триангуляции, иногда было необходимо прорезать дорожки через растительность или даже возводить сигнальные башни. [131]
.jpg/1280px-Vize-Heliotrop_Gau%C3%9F-Ausstellung_Bomann-Museum_(1).jpg)
Для наведения сигналов Гаусс изобрел новый инструмент с подвижными зеркалами и небольшим телескопом, отражающим солнечные лучи к точкам триангуляции, и назвал его гелиотропом . [132] Другой подходящей конструкцией для той же цели был секстант с дополнительным зеркалом, который он назвал вице-гелиотропом . [133] Гауссу помогли солдаты ганноверской армии, в том числе его старший сын Йозеф. Гаусс принял участие в измерении базовой линии ( Baak Base Line ) Шумахера в деревне Брааке = недалеко от Гамбурга в 1820 году и использовал результат для оценки своей триангуляции. [134]
Измерение дуги требовало точного астрономического определения двух точек сети . Гаусс и Шумахер воспользовались любимым случаем, что обе обсерватории в Геттингене и в Альтоне, в саду дома Шумахера, лежали почти на одной и той же долготе . Широта измерялась как собственными приборами, так и зенитным сектором Рамсдена , который был перевезен в обе обсерватории. [135] [т]
Дополнительным результатом стало лучшее значение уплощения аппроксимативного земного эллипсоида . [136] [u] Гаусс разработал универсальную поперечную проекцию Меркатора эллипсоидной формы Земли (то, что он назвал конформной проекцией ) [138] для представления геодезических данных на плоских картах.
Когда измерение дуги было закончено, Гаусс намеревался расширить триангуляцию на запад, чтобы получить обзор всего Ганноверского королевства . Практической работой руководили три армейских офицера, в том числе лейтенант Йозеф Гаусс. Полная оценка данных оказалась в руках Карла Фридриха Гаусса, который применил к нему свои математические изобретения, такие как метод наименьших квадратов и метод исключения . Проект был завершен в 1844 году, но Гаусс не опубликовал окончательный отчет о проекте и своем методе проекции; эта работа не была выполнена до 1866 года. [139] [140]
В 1828 году, изучая различия в широте , Гаусс впервые определил физическую аппроксимацию фигуры Земли как поверхности, всюду перпендикулярной направлению силы тяжести; [141] Позже его докторант Иоганн Бенедикт Листинг назвал это геоидом . [142]
Геодезическая съемка Ганновера подогрела интерес Гаусса к дифференциальной геометрии и топологии , областям математики, имеющим дело с кривыми и поверхностями . Это привело его в 1828 году к публикации мемуаров, которые ознаменовали рождение современной дифференциальной геометрии поверхностей , поскольку она отошла от традиционных способов рассмотрения поверхностей как декартовых графиков функций двух переменных и вместо этого стала пионером революционного подхода, положившего начало исследование поверхностей с «внутренней» точки зрения двумерного существа, вынужденного передвигаться по ней. Его венчающий результат, «Теорема Эгрегиум» ( замечательная теорема ), установил свойство понятия гауссовой кривизны . Неформально теорема гласит, что кривизну поверхности можно полностью определить путем измерения углов и расстояний на поверхности. То есть кривизна не зависит от того, как поверхность может быть встроена в трехмерное или двумерное пространство.
Теорема Эгрегиум приводит к абстракции поверхностей как двояко расширенных многообразий — она проясняет различие между внутренними свойствами многообразия ( метрикой ) и его физической реализацией (вложением) в окружающее пространство. Следствием является невозможность изометрического преобразования между поверхностями различной гауссовой кривизны. Практически это означает, что сферу или эллипсоид невозможно преобразовать в плоскость без искажения, что вызывает фундаментальную проблему при построении проекций для географических карт.
Дополнительная значительная часть его очерка посвящена глубокому изучению геодезии . В частности, Гаусс доказывает локальную теорему Гаусса-Бонне о геодезических треугольниках и обобщает теорему Лежандра о сферических треугольниках на геодезические треугольники на произвольных поверхностях с непрерывной кривизной; он нашел, что углы «достаточно малого» геодезического треугольника отклоняются от углов плоского треугольника с теми же сторонами таким образом, что это зависит только от значений кривизны поверхности в вершинах треугольника - независимо от поведения поверхность внутри треугольника.
В мемуарах Гаусса отсутствовала одна ключевая дифференциально-геометрическая концепция — геодезическая кривизна . Однако его посмертные статьи показывают, что это понятие не ускользнуло от его ума, и в годы написания мемуаров он также написал рукопись, в которой представил это понятие и назвал его «боковой кривизной» (по-немецки: «Seitenkrümmung»). ). Что еще более важно, он доказал ее инвариантность относительно изометрических преобразований, результат, позже полученный Фердинандом Миндингом . Основываясь на этих доказательствах и заявлении в его мемуарах о дальнейших исследованиях интеграла кривизны, весьма вероятно, что он знал более общую версию теоремы Гаусса-Бонне, доказанную Пьером Оссианом Бонне в 1848 году, которая по духу ближе к глобальная версия этой теоремы. [143] [в]
При жизни Гаусса шла оживленная дискуссия по поводу аксиомы Евклида о параллельности. Многие математики пытались доказать это, тогда как некоторые из них обсуждали возможность существования геометрических систем без него. [144] Сам Гаусс интересовался только геометрическими аспектами физического пространства, но не интересовался философскими аспектами расширенной геометрии. В 1816 году он дал свой первый короткий публичный комментарий по этому поводу в рецензии на книгу, а в последующее время время от времени делал некоторые замечания в письмах своим корреспондентам. [145] [146] Именно он ввёл термин «неевклидова геометрия». [147]
Лишь когда Лобачевский (1829) и Янош Бойяи (1832) опубликовали свои идеи неевклидовой геометрии – впервые в истории математики – [144] Гаусс сам отверг свои идеи, но избегал какого-либо влияния на современников. научная дискуссия, потому что он не публиковал об этом. [145] [148] Гаусс высоко оценил идеи Яноша Бояи в письме своему отцу, [149] утверждая, что они соответствуют его собственным мыслям на протяжении нескольких десятилетий. [145] [150] Но неясно, насколько он предшествовал Лобачевскому и Боляи, ибо в своих письмах он давал об этом лишь туманные и неясные замечания. [144]
Сарториус впервые упомянул об этом в 1856 году, но только издание левых статей в томе VIII его Собрания сочинений (1900) показало собственный прогресс Гаусса в этом вопросе, в то время как неевклидова геометрия еще не вышла из спорных дискуссий. [145]
В 1854 году Гаусс выбрал тему для вступительной лекции Бернхарда Римана «Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde Ligen» из трех предложений. [151] [152] По дороге домой с лекции Римана Вебер сообщил, что Гаусс был полон похвалы и волнения. [153]
Одним из менее известных аспектов работы Гаусса является то, что он также был пионером топологии , или, как ее называли при жизни, Geometria Situs . Его первое доказательство основной теоремы алгебры содержало по существу топологический аргумент; пятьдесят лет спустя он развил топологический аргумент в своем четвертом доказательстве этой теоремы (в 1849 году).
Его первое «серьезное» знакомство с топологическими понятиями произошло с ним в ходе астрономических работ, и в небольшой статье 1804 года он определил пределы области небесной сферы , в которой могли появиться кометы и астероиды, области, которую он назвал «Зодиак». Он определил эту область и заметил, что если орбиты Земли и кометы связаны , то по топологическим причинам Зодиак представляет собой всю сферу. В 1848 году, в связи с открытием астероида 7 Ирис , он опубликовал еще одну короткую статью, в которой подробно развил качественное обсуждение Зодиака. [154]
Из писем Гаусса в период 1820–1830 гг. можно узнать, что он интенсивно размышлял над темами, близкими к Geometria Situs, и постепенно осознал семантические трудности в этой области. Фрагменты этого периода показывают, что он пытался классифицировать «Tractfigurens», которые представляют собой замкнутые плоские кривые с конечным числом поперечных самопересечений, которые также могут быть плоскими проекциями узлов . Для этого он разработал символическую схему, так называемый код Гаусса , которая в некотором смысле отражала характерные особенности фигур трактов.
Во фрагменте 1833 года Гаусс определил связующее число двух пространственных кривых неким двойным интегралом и тем самым впервые дал аналитическую формулировку топологического явления. В той же заметке он посетовал на небольшой прогресс, достигнутый в Geometria Situs, и отметил, что одной из ее центральных проблем будет «подсчет переплетений двух замкнутых или бесконечных кривых». Его записные книжки того периода показывают, что он также думал о других топологических объектах, таких как косы и клубки . [154]
В последние годы жизни Гаусс очень уважал развивающуюся область топологии и ожидал от нее большого будущего развития, но, поскольку письменных материалов Гаусса этого периода очень мало, его влияние оказывалось в основном через случайные замечания и устные сообщения. [w] Например, в косвенном отчете Мебиуса упоминается поверхность, построенная Гауссом, которую Гаусс назвал «двойным кольцом», и что-то говорится о ее свойствах связности . [155] Этот отчет согласуется с фрагментом Гаусса, написанным около 1840 года, в котором изложена теория порядка связности поверхностей. [156] Наконец, стоит упомянуть, что во введении к книге Листинга « Vorstudien zur Topologie » (1847) Листинг выразил свою признательность влиянию Гаусса.
Работа Гаусса не только положила начало важным математическим теориям, он также был автором многих маленьких «жемчужин» в математике, особенно в элементарной геометрии и алгебре. По-своему, он способствовал распространению новых математических идей своего времени, демонстрируя, как они освещают и сокращают решение небольших математических задач.
Например, он был ярким человеком в применении комплексных чисел к различным задачам и использовал их в своей работе по перспективной и проективной геометрии : в короткой заметке 1836 года «Проекции куба» он сформулировал фундаментальную теорему аксонометрии , которая рассказывает, как с полной точностью представить 3D-куб на 2D-плоскости с помощью комплексных чисел. [157] В неопубликованной заметке 1819 года, озаглавленной «Сфера», он рассматривал комплексную плоскость, расширенную бесконечно удаленной точкой , как стереографическую проекцию сферы ( сферы Римана ) и описывал вращения этой сферы как действие определенных дробно-линейные преобразования на расширенной комплексной плоскости. [158]
В контексте темы Гаусса о расширенных алгебраических системах следует упомянуть, что существует убедительное свидетельство того, что в его предвидении была алгебраическая система кватернионов , открытие великого Уильяма Роуэна Гамильтона . В 1819 году Гаусс составил неопубликованный краткий трактат «Вращение пространства», в котором подробно остановился на использовании четверок действительных чисел (которые он назвал «масштабами») для описания трехмерных вращений. [159]
В области элементарной геометрии он внес свое решение проблемы построения эллипса наибольшей площади, который можно вписать в данный четырехугольник, которое было опубликовано в 1810 году как дополнение к переводу Шумахера трактата Лазара Карно « Геометрия положения» . [160] Он обнаружил удивительный результат о вычислении площади пятиугольников . Он внес большой вклад в сферическую геометрию и в этом контексте решил некоторые практические проблемы навигации по звездам . [Икс]
Одно из его самых замечательных исследований было связано с « Pentagramma mirificum » Джона Непера — некоей сферической пентаграммой , свойства которой интриговали и занимали сознание Гаусса на несколько десятилетий. В своих исследованиях Пентаграммы он подошел к ней с разных точек зрения и постепенно достиг полного понимания ее геометрических, алгебраических и аналитических аспектов. В частности, в 1843 году он сформулировал и доказал несколько теорем, связывающих эллиптические функции, сферические пятиугольники Непера и пятиугольники Понселе на плоскости. [161]
Интерес Гаусса к магнетизму очевиден с первого десятилетия XIX века. С 1826 года, когда Александр фон Гумбольдт посетил его в Гёттингене, оба учёных начали интенсивные исследования по геомагнетизму , частично независимо, частично в продуктивном сотрудничестве. [162] В 1828 году Гаусс был личным гостем Гумбольдта во время конференции Общества немецких естествоиспытателей и врачей в Берлине, где он познакомился с физиком Вильгельмом Вебером . [163]
Когда Вебер получил кафедру физики в Геттингене в качестве преемника Иоганна Тобиаса Майера по рекомендации Гаусса в 1831 году, они оба начали плодотворное сотрудничество, которое привело к новым знаниям о магнетизме с представлением единицы магнетизма через массу. заряд и время. [164] Они основали Магнитную ассоциацию (нем. «Magnetischer Verein»), международную рабочую группу из нескольких обсерваторий, которая поддерживала измерения магнитного поля Земли во многих регионах мира одинаковыми методами в установленные даты в период с 1836 по 1841 год. В 1836 году Гумбольдт помог организовать распространение обсерваторий по всему миру, включая британские владения , отправив письмо герцогу Сассекскому , тогдашнему президенту Королевского общества, в котором он просил поддержать программу глобальных исследований, основанных на методах Гаусса. . [165] Вместе с другими зачинщиками это привело к глобальной программе, известной как « Магнитный крестовый поход » под руководством Эдварда Сабина . Даты, время и интервалы наблюдений определялись заранее, в качестве эталона использовалось среднее геттингенское время . [166] Наконец, в этой глобальной программе приняла участие 61 станция. Гаусс и Вебер основали серию для публикации результатов, в период с 1837 по 1843 год было издано шесть томов. Отъезд Вебера в Лейпциг в 1843 году как поздний эффект дела Геттингенской семерки ознаменовал конец деятельности Магнитной ассоциации. [167]
Следуя примеру Гумбольдта, Гаусс приказал построить в саду своей обсерватории магнитную обсерваторию , но оба ученых разошлись во мнениях по поводу инструментального оборудования; Гаусс предпочитал стационарные инструменты, которые, по его мнению, давали более точные результаты, тогда как Гумбольдт привык к подвижным инструментам. Гаусс интересовался временными и пространственными изменениями магнитного склонения, наклонения и интенсивности, но различал концепцию магнитной напряженности Гумбольдта до терминов «горизонтальная» и «вертикальная» интенсивность. Вместе с Вебером он разработал методы измерения составляющих напряженности магнитного поля и сконструировал подходящий магнитометр для измерения абсолютных значений напряженности магнитного поля Земли, а не относительных, зависящих от прибора. [167] [168] Точность магнитометра была примерно в десять раз выше, чем у предыдущих инструментов. В этой работе Гаусс был первым, кто вывел немеханическую величину через основные механические величины. [166]
Гаусс разработал «Общую теорию земного магнетизма» (1839 г.), которая, по его мнению, описывает природу магнитной силы; Следуя Феликсу Кляйну, эта работа на самом деле представляет собой представление наблюдений с использованием сферических гармоник , а не физической теории. [169] Теория предсказывала существование ровно двух магнитных полюсов на Земле, таким образом, идея Ханстина о четырёх магнитных полюсах устарела, [170] и данные позволили определить их местоположение с довольно хорошей точностью. [171] В своих «Общих теоремах о силах притяжения и отталкивания, действующих в обратных пропорциях квадратичных расстояний» (1840) Гаусс заложил основы теории магнитного потенциала , основанной на Лагранже, Лапласе и Пуассоне; [169] кажется весьма маловероятным, что он знал о предыдущих работах Джорджа Грина по этой теме. [172] Однако Гаусс так и не смог объяснить ни причины магнетизма, ни теорию магнетизма, подобную работе Ньютона по гравитации, которая позволила бы ученым предсказать геомагнитные эффекты в будущем. [166]
Гаусс оказал замечательное влияние на зарождение геофизики в России, когда Адольф Теодор Купфер , один из его бывших учеников, основал магнитную обсерваторию в Петербурге по примеру обсерватории в Геттингене и аналогичной обсерватории Ивана Симонова в Казани . [170]
Открытия Ганса Христиана Эрстеда по электромагнетизму и Майкла Фарадея по электромагнитной индукции привлекли внимание Гаусса к этим вопросам. [172] Гаусс и Вебер нашли правила для разветвленных электрических цепей, позже названные законами цепи Кирхгофа , [173] и исследовали электромагнетизм. Они построили первый электромеханический телеграф в 1833 году, и сам Вебер соединил обсерваторию с физическим институтом в центре Геттингена, [y] , но они не заботились о дальнейшем развитии этого изобретения в коммерческих целях. [174] [175] [176]
Основные теоретические интересы Гаусса в области электромагнетизма нашли отражение в его попытках сформулировать количественные законы, управляющие электромагнитной индукцией. В своих записных книжках этих лет он записал несколько новаторских формулировок; он открыл идею векторной потенциальной функции (независимо переоткрытую Францем Эрнстом Нейманом в 1845 году), а в январе 1835 года записал «закон индукции», эквивалентный закону Фарадея , который гласил, что электродвижущая сила в данной точке пространства равна к мгновенной скорости изменения (по времени) этой функции.
В том же году Гауссу пришла в голову проницательная умозрительная мысль, согласно которой электромагнитное взаимодействие между двумя электрическими зарядами распространяется в пространстве с конечной скоростью, подобно свету, и что величина этого взаимодействия может зависеть от их относительной скорости. Таким образом, он опроверг идею немедленного действия на расстоянии . В неопубликованных фрагментах и в письме Веберу в 1845 году Гаусс попытался объединить электричество и магнетизм, сформировав единое выражение для взаимодействия двух зарядов в относительном движении, из которого можно было вывести как закон Кулона , так и эффекты магнетизма.
Его неопубликованные открытия в этих направлениях в конечном итоге слились в так называемую электродинамику Вебера — теорию, которая сегодня устарела из-за некоторых существенных трудностей, связанных с ее согласованием с неоспоримой теорией Максвелла . Оглядываясь назад, можно сказать, что, несмотря на свою некорректность, теория Гаусса-Вебера содержала в себе некоторые зародыши более поздних идей, таких как существование электромагнитного поля , которое в некотором смысле независимо от его точечных источников (точечная точка зрения Фарадея), а также понятие запоздалый потенциал .
В 1807 году производитель инструментов Иоганн Георг Репсольд из Гамбурга обратился к Гауссу за помощью в создании системы ахроматических линз. Основываясь на расчетах Гаусса, Репсольду удалось достичь новой цели в 1810 году. Основной проблемой, среди других трудностей, было неточное знание показателя преломления и дисперсии используемых типов стекла. В небольшой статье 1817 года Гаусс рассмотрел проблему устранения хроматической аберрации в двойных линзах и произвел расчеты по корректировке формы и коэффициентов преломления, необходимые для ее минимизации. Его работа была отмечена оптиком Карлом Августом фон Штайнхайлем , который в 1860 году представил ахроматический дублет Штайнхайля , частично основанный на расчетах Гаусса. [177] Многие результаты по геометрической оптике разбросаны по переписке и заметкам Гаусса.
В своих влиятельных «Диоптрических исследованиях» (1840 г.) Гаусс дал первый систематический анализ формирования изображений в параксиальном приближении ( гауссова оптика ). [178] Гаусс продемонстрировал, что в параксиальном приближении оптическая система может быть охарактеризована ее сторонами света , [179] и вывел формулу линзы Гаусса , применимую без ограничений по толщине линз. [180] [181]
Первое и последнее занятие Гаусса в механике касалось вращения Земли . Когда его университетский друг Бензенберг проводил эксперименты по определению отклонения падающих масс от перпендикуляра в 1802 году, что сегодня известно как эффект силы Кориолиса , он попросил Гаусса провести теоретический расчет значений для сравнения с экспериментальными. . Гаусс разработал систему основных уравнений движения, и его результаты достаточно соответствуют данным Бензенберга, который опубликовал соображения Гаусса в качестве приложения к своей книге об опытах с падением. [182]
После того, как Фуко публично продемонстрировал свой маятник в 1851 году, Герлинг допросил Гаусса для дальнейших объяснений. Это побудило Гаусса разработать новый демонстрационный аппарат с маятником гораздо меньшей длины, чем у Фуко. Колебания наблюдались в считывающую зрительную трубу с вертикальной шкалой и закрепленным на маятнике зеркалом; время колебаний составляло 3,1 секунды. Он описан в переписке Гаусса-Герлинга, и Вебер провел несколько экспериментов с этим явно работающим аппаратом в 1853 году, но никаких данных опубликовано не было. [183] [184]
Принцип наименьшего ограничения Гаусса 1829 года был установлен как общая концепция для преодоления разделения механики на статику и динамику, сочетая принцип Даламбера с принципом виртуальной работы Лагранжа и демонстрируя аналогии с методом наименьших квадратов . [185]
В 1828 году Гаусс был назначен главой Совета мер и весов Ганноверского королевства. Он обеспечил создание эталонов длины и мер. Гаусс сам взял на себя трудоемкие мероприятия и отдал подробные распоряжения по механической подготовке. [107] В переписке с Шумахером, который также работал над этим вопросом, он описал новые идеи весов высокой точности. [186] Свои окончательные отчеты о ганноверском футе и фунте он представил правительству в 1841 году. Эта работа получила более чем региональное значение по порядку закона 1836 года, который связал ганноверские меры с английскими. [107]
Сообщается несколько историй о его раннем гении. Мать Карла Фридриха Гаусса никогда не записывала дату его рождения, помня лишь, что он родился в среду, за восемь дней до праздника Вознесения , который наступает через 39 дней после Пасхи. [187] Позже Гаусс решил загадку о дате своего рождения в контексте определения даты Пасхи , выведя методы вычисления этой даты как в прошлые, так и в будущие годы. [188] Гауссу было жаль свою новорожденную дочь Вильгельмину, потому что она родилась в високосный день 1808 года и поэтому праздновала свой день рождения только раз в четыре года. [189]
В своем мемориале Гауссу Вольфганг Сарториус фон Вальтерсхаузен рассказывает историю о трехлетнем Гауссе, который исправил математическую ошибку, допущенную его отцом. Самая популярная история, рассказанная также Сарториусом, повествует о школьном упражнении: учитель Й. Г. Бюттнер и его помощник Мартин Бартельс приказали ученикам складывать арифметический ряд . Из примерно ста учеников Гаусс первым с большим отрывом правильно решил задачу. [190] Хотя (или потому что) Сарториус не сообщил подробностей, с течением времени было создано множество версий этой истории со все большим и большим количеством подробностей относительно характера сериала – наиболее частой из них является классическая задача сложения всех целые числа от 1 до 100 – и обстоятельства в классе. [191] [з]
Любимым английским писателем Гаусса был Вальтер Скотт, но когда он иногда читал слова «Луна встает широко на северо-западе», его это очень забавляло. [193]
Гаусс называл математику «королевой наук», а арифметику — «королевой математики» [194] и якобы однажды придерживался убеждения в необходимости немедленного понимания личности Эйлера как ориентира для того, чтобы стать первоклассным математиком. [195]
Первое членство в научном обществе было предоставлено Гауссу в 1802 Российской Академией наук . Дальнейшие членства (соответствующие, иностранные или полные) были у Академии наук в Геттингене (1802/1807), [196] Французской академии наук (1804/1820), [197] Лондонского королевского общества (1804), [196] Французской академии наук ( 1804/1820 ) . 198] Королевская прусская академия в Берлине (1810 г.), [199] Национальная академия наук в Вероне (1810 г.), [200] Эдинбургское королевское общество ( 1820 г.), [201] Баварская академия наук в Мюнхене (1820 г.) ), [202] Датская королевская академия в Копенгагене (1821 г.), Королевское астрономическое общество в Лондоне (1821 г.), [203] Шведская королевская академия наук ( 1821 г.), Американская академия искусств и наук в Бостоне (1822 г.) , [204] Королевское богемское общество наук в Праге (1833 г.), Королевская академия наук, литературы и изящных искусств Бельгии (1841/1845 г.), [205] Королевское общество наук в Уппсале (1843 г.), Королевский Ирландская академия в Дублине (1843), Королевский институт Нидерландов (1845/1851), [206] Испанская королевская академия наук в Мадриде (1850), [207] Русское географическое общество (1851), Императорская академия наук в Вене (1848 г.), Американское философское общество (1853 г.), [208] Кембриджское философское общество и Королевское голландское общество наук в Харлеме. [209]
Гаусс был почетным членом Казанского университета и философского факультета Пражского университета с 1849 года.
Гаусс получил премию Лаланда Французской академии наук в 1809 году за теорию планет и способы определения их орбит всего по трем наблюдениям, [210] премию Датской академии наук в 1823 году за «исследование карт, сохраняющих угол». и медалью Копли Королевского общества в 1838 году за «изобретения и математические исследования в области магнетизма». [209]
Гаусс был назначен кавалером французского Почетного легиона [211] в 1837 году и был одним из первых членов прусского ордена Pour le Merite (Гражданский класс), когда он был учрежден в 1842 году . [212] Кроме того, он получил орден Корона Вестфалии (1810 г.), Датский орден Даннеброга (1817 г.), Ганноверский королевский гвельфийский орден (1815 г.), Шведский орден Полярной звезды (1844 г.), Орден Генриха Льва (1849 г.) и Баварский Орден Максимилиана за науку и искусство (1853 г.). [209]
Короли Ганновера присвоили ему почетные титулы « Хофрат » (1816 г.) [64] и «Гехаймер Хофрат» [аа] (1845 г.). По случаю своего золотого юбилея со степенью доктора он получил почетное гражданство обоих городов Брауншвейг и Геттинген в 1849 году. Вскоре после его смерти по приказу короля Ганновера Георга V была выпущена медаль с надписью на оборотной стороне: GEORGIVS. V REX HANNOVERAE MATHEMATICORVM PRINCIPI и надпись: ACADEMIAE SVAE GEORGIAE AVGVSTAE DECORI AETERNO . [213]
″Gauss-Gesellschaft Göttingen″ ( Общество Гаусса ) было основано в 1964 году для исследований жизни и творчества Карла Фридриха Гаусса и связанных с ним лиц и редактирует ″Mitteilungen der Gauss-Gesellschaft″ ( Сообщения Общества Гаусса ). [214]
Геттингенская академия наук и гуманитарных наук представляет полную коллекцию известных писем Карла Фридриха Гаусса и к нему, доступную в Интернете. [56] Литературное наследие хранится и предоставляется Геттингенской государственной и университетской библиотекой . [215] Письменное наследие Карла Фридриха Гаусса и членов его семьи также можно найти в муниципальном архиве Брауншвейга. [216]
![{\displaystyle \mathbb {Z} [я]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
{{cite web}}: Внешняя ссылка |website={{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )п. 12{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка ){{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
