Интегральная теорема Коши

Теорема комплексного анализа

В математике интегральная теорема Коши ( также известная как теорема Коши-Гурса ) в комплексном анализе , названная в честь Огюстена-Луи Коши (и Эдуарда Гурса ), является важным утверждением о линейных интегралах для голоморфных функций в комплексной плоскости . По сути, это говорит о том, что если он голоморфен в односвязной области Ω, то для любого просто замкнутого контура в Ω этот контурный интеграл равен нулю. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle C}$

$${\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=0.}$$

Заявление

Основная теорема для комплексных линейных интегралов

Если f ( z ) — голоморфная функция в открытой области U и является кривой в U от до , то, ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle z_{1}}$

$${\displaystyle \int _{\gamma }f'(z)\,dz=f(z_{1})-f(z_{0}).}$$

Кроме того, когда f ( z ) имеет однозначную первообразную в открытой области U , тогда интеграл по пути не зависит от пути для всех путей в U. ${\textstyle \int _{\gamma }f'(z)\,dz}$

Формулировка об односвязных областях.

Пусть – односвязное открытое множество и – голоморфная функция . Пусть – гладкая замкнутая кривая. Затем: ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}$

$${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$$

«тривиальна ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Общая формулировка

Пусть – открытое множество , и пусть – голоморфная функция . Пусть – гладкая замкнутая кривая. Если гомотопно постоянной кривой, то : ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to U}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=0.}$$

постояннойгомотопияодносвязномгомотопна ${\displaystyle U}$

Основной пример

В обоих случаях важно помнить, что кривая не окружает никаких «дыр» в области, иначе теорема не применима. Известным примером является следующая кривая: ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right],}$$

$${\displaystyle \int _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=2\pi i\neq 0,}$$

${\displaystyle f(z)=1/z}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \gamma }$

Обсуждение

Как показал Эдуард Гурса , интегральная теорема Коши может быть доказана только в предположении, что комплексная производная существует всюду в . Это важно, потому что тогда можно доказать интегральную формулу Коши для этих функций и из этого сделать вывод, что эти функции бесконечно дифференцируемы . ${\displaystyle f'(z)}$ ${\displaystyle U}$

Условие односвязности означает отсутствие «дырок» или, в терминах гомотопии , что фундаментальная группа тривиальна ; например, каждый открытый диск для соответствует требованиям. Условие имеет решающее значение; учитывать ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{z_{0}}=\{z:\left|z-z_{0}\right|<r\}}$ ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \gamma (t)=e^{it}\quad t\in \left[0,2\pi \right]}$$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {1}{z}}\,dz=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{e^{it}}}(ie^{it}\,dt)=\int _{0}^{2\pi }i\,dt=2\pi i}$$

${\displaystyle f(z)=1/z}$ ${\displaystyle z=0}$

Одним из важных следствий теоремы является то, что интегралы по путям голоморфных функций в односвязных областях могут быть вычислены способом, знакомым из фундаментальной теоремы исчисления : пусть — односвязное открытое подмножество , пусть — голоморфная функция, и пусть — кусочно-непрерывно дифференцируемый путь с начальной и конечной точками . Если – комплексная первообразная , то ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz=F(b)-F(a).}$$

Интегральная теорема Коши справедлива при более слабой гипотезе, чем приведенная выше, например, при наличии односвязного открытого подмножества в , мы можем ослабить предположения о голоморфности и непрерывности на и спрямляемой простой петле в . ^[1] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\textstyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\textstyle {\overline {U}}}$

Интегральная теорема Коши приводит к интегральной формуле Коши и теореме о вычетах .

Доказательство

Если предположить, что частные производные голоморфной функции непрерывны, интегральная теорема Коши может быть доказана как прямое следствие теоремы Грина и того факта, что действительная и мнимая части должны удовлетворять уравнениям Коши – Римана в области, ограниченной , причем в открытой окрестности U этой области. Коши предоставил это доказательство, но позже оно было доказано Гурса без использования методов векторного исчисления или непрерывности частных производных. ${\displaystyle f=u+iv}$ ${\displaystyle \gamma }$

Мы можем разбить подынтегральную функцию , а также дифференциал на их действительную и мнимую составляющие: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle dz}$

$${\displaystyle f=u+iv}$$

$${\displaystyle dz=dx+i\,dy}$$

В этом случае мы имеем

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=\oint _{\gamma }(u+iv)(dx+i\,dy)=\oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)+i\oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)}$$

По теореме Грина мы можем затем заменить интегралы по замкнутому контуру интегралом по площади по всей области , которая заключена следующим образом: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }(u\,dx-v\,dy)=\iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$$

$${\displaystyle \oint _{\gamma }(v\,dx+u\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$$

Но поскольку действительная и мнимая части функции голоморфны в области и должны удовлетворять там уравнениям Коши – Римана : ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$$

Таким образом, мы находим, что оба подынтегральных выражения (и, следовательно, их интегралы) равны нулю.

$${\displaystyle \iint _{D}\left(-{\frac {\partial v}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=0}$$

$${\displaystyle \iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\,dx\,dy=0}$$

Это дает желаемый результат

$${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=0}$$

Смотрите также

• Теорема Мореры
• Методы контурного интегрирования
• Звездный домен

Рекомендации

1. Уолш, Дж. Л. (1 мая 1933 г.). «Теорема Коши-Гурса для спрямляемых жордановых кривых». Труды Национальной академии наук . 19 (5): 540–541. дои : 10.1073/pnas.19.5.540 . ISSN  0027-8424. ПМК  1086062 . ПМИД  16587781.

• Кодайра, Кунихико (2007), Комплексный анализ , Кембриджский институт исследований. Адв. Матем., 107, CUP , ISBN 978-0-521-80937-5
• Альфорс, Ларс (2000), Комплексный анализ , серия McGraw-Hill по математике, McGraw-Hill , ISBN 0-07-000657-1
• Ланг, Серж (2003), Комплексный анализ , Springer Verlag GTM, Springer Verlag
• Рудин, Уолтер (2000), Реальный и комплексный анализ , серия McGraw-Hill по математике, McGraw-Hill

Внешние ссылки

• «Интегральная теорема Коши», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Интегральная теорема Коши». Математический мир .
• Джереми Орлофф, 18.04. Комплексные переменные в приложениях. Весна 2018 г. Массачусетский технологический институт: MIT OpenCourseWare Creative Commons.