Гомотопия

Непрерывная деформация между двумя непрерывными функциями

Два пунктирных пути, показанные выше, гомотопны относительно своих конечных точек. Анимация представляет собой одну из возможных гомотопий.

В топологии , разделе математики , две непрерывные функции из одного топологического пространства в другое называются гомотопными (от древнегреческого : ὁμός homós «одинаковый, подобный» и τόπος tópos «место»), если одна из них может «непрерывно деформироваться» в другую. , такая деформация называется гомотопией ( / h ə ˈ m ɒ t ə p iː / , [ ^1] hə- MO -tə-pee ; / ˈ h oʊ m oʊ ˌ t oʊ p iː / , ^[2] HOH - moh-toh-pee ) между двумя функциями. Заметным применением гомотопии является определение гомотопических групп и когомотопических групп , важных инвариантов в алгебраической топологии . ^[3]

На практике возникают технические трудности с использованием гомотопий с определенными пространствами. Алгебраические топологи работают с компактно сгенерированными пространствами , комплексами CW или спектрами .

Формальное определение

Гомотопия между двумя ^{вложениями} тора в R3 : как «поверхность пончика» и как «поверхность кофейной кружки» . Это также пример изотопии.

Формально гомотопия между двумя непрерывными функциями f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y определяется как непрерывная функция из произведения пространства X с единичным интервалом [0, 1] на Y такая, что и для все . ${\displaystyle H:X\times [0,1]\to Y}$ ${\displaystyle H(x,0)=f(x)}$ ${\displaystyle H(x,1)=g(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$

Если мы подумаем о втором параметре H как о времени, то H описывает непрерывную деформацию f в g : в момент 0 у нас есть функция f , а в момент 1 у нас есть функция g . Мы также можем думать о втором параметре как о «ползунке», который позволяет нам плавно переходить от f к g при перемещении ползунка от 0 к 1 и наоборот.

Альтернативное обозначение состоит в том, чтобы сказать, что гомотопия между двумя непрерывными функциями представляет собой семейство непрерывных функций для таких, что и , и отображение непрерывно от до . Две версии совпадают по настройке . Недостаточно требовать, чтобы каждое отображение было непрерывным. ^[4] ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ ${\displaystyle h_{t}:X\to Y}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle h_{0}=f}$ ${\displaystyle h_{1}=g}$ ${\displaystyle (x,t)\mapsto h_{t}(x)}$ ${\displaystyle X\times [0,1]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)}$ ${\displaystyle h_{t}(x)}$

^{Анимация} , зацикленная вверху справа , представляет собой пример гомотопии между двумя вложениями f и g тора в R3 . X — тор, Y — R ³ , f — некоторая непрерывная функция от тора до R ³ , которая переводит тор во встроенную форму поверхности бублика, с которой начинается анимация; g — некоторая непрерывная функция, которая переводит тор в форму вложенной поверхности кофейной кружки. Анимация показывает изображение h _t (X) как функцию параметра t , где t меняется со временем от 0 до 1 в каждом цикле цикла анимации. Он делает паузу, затем показывает изображение, когда t снова меняется от 1 до 0, делает паузу и повторяет этот цикл.

Характеристики

Непрерывные функции f и g называются гомотопными тогда и только тогда, когда существует гомотопия H , переводящая f в g , как описано выше. Гомотопность — это отношение эквивалентности на множестве всех непрерывных функций от X до Y. Это гомотопическое отношение совместимо с композицией функций в следующем смысле: если f ₁ , g ₁  : X → Y гомотопны и f ₂ , g ₂  : Y → Z гомотопны, то их композиции f ₂  ∘  f ₁ и g ₂  ∘  g ₁  : X → Z также гомотопны.

Примеры

• Если даны и , то отображение, заданное через , является гомотопией между ними. ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f(x):=\left(x,x^{3}\right)}$ ${\displaystyle g(x)=\left(x,e^{x}\right)}$ ${\displaystyle H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle H(x,t)=\left(x,(1-t)x^{3}+te^{x}\right)}$
• В более общем смысле, если это выпуклое подмножество евклидова пространства и пути с одинаковыми концами, то существует линейная гомотопия ^[5] (или гомотопия прямой ), заданная формулой ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f,g:[0,1]\to C}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}H:[0,1]\times [0,1]&\longrightarrow C\\(s,t)&\longmapsto (1-t)f(s)+tg(s).\end{aligned}}}$

• Пусть – тождественная функция на единичном n - диске ; то есть набор . Позвольте быть постоянной функцией , которая отправляет каждую точку в начало координат . Тогда гомотопией между ними является следующее: ${\displaystyle \operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}}$ ${\displaystyle B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}}$ ${\displaystyle c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}}$ ${\displaystyle c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}H:B^{n}\times [0,1]&\longrightarrow B^{n}\\(x,t)&\longmapsto (1-t)x.\end{aligned}}}$

Гомотопическая эквивалентность

Учитывая два топологических пространства X и Y , гомотопическая эквивалентность между X и Y представляет собой пару непрерывных отображений f  : X → Y и g  : Y → X , таких, что g  ∘  f гомотопно тождественному отображению id _X и f  ∘  g. гомотопен id _Y . Если такая пара существует, то X и Y называются гомотопически эквивалентными или принадлежащими к одному и тому же гомотопическому типу . Интуитивно понятно, что два пространства X и Y гомотопически эквивалентны, если их можно преобразовать друг в друга посредством операций изгиба, сжатия и расширения. Пространства, гомотопически эквивалентные точке, называются стягиваемыми .

Гомотопическая эквивалентность против гомеоморфизма

Гомеоморфизм — это частный случай гомотопической эквивалентности, в котором g ∘  f  равно тождественному отображению id _X (не только гомотопно ему), а f ∘  g  равно id _Y . ^{[6] : 0:53:00} Следовательно, если X и Y гомеоморфны, то они гомотопически эквивалентны, но обратное неверно. Некоторые примеры:

• Сплошной диск гомотопически эквивалентен одной точке, поскольку вы можете непрерывно деформировать диск вдоль радиальных линий до одной точки. Однако они не гомеоморфны, поскольку между ними нет биекции (поскольку одно — бесконечное множество, а другое — конечное).
• Лента Мёбиуса и раскрученная (замкнутая) лента гомотопически эквивалентны, поскольку обе ленты можно непрерывно деформировать в окружность. Но они не гомеоморфны.

Примеры

• Первый пример гомотопической эквивалентности связан с точкой, обозначенной . Часть, которую необходимо проверить, — это существование гомотопии между и , проекции на начало координат. Это можно описать как . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}}$ ${\displaystyle H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$
• Существует гомотопическая эквивалентность между ( 1-сферой ) и . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{0\}}$
  • В более общем смысле, . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}}$
• Любое расслоение , слои которого гомотопически эквивалентны точке, имеет гомотопически эквивалентные тотальные и базовые пространства. Это обобщает два предыдущих примера, поскольку представляет собой расслоение с Fibre . ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$
• Каждое векторное расслоение представляет собой расслоение с гомотопией слоя, эквивалентной точке.
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}}$для любого , записав как полное пространство расслоения , а затем применив приведенные выше гомотопические эквивалентности. ${\displaystyle 0\leq k<n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})}$
• Если подкомплекс комплекса CW стягиваем, то фактор-пространство гомотопически эквивалентно . ^[7] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/A}$ ${\displaystyle X}$
• Деформационная ретракция является гомотопической эквивалентностью.

Нуль-гомотопия

Функция называется нуль-гомотопной. ${\displaystyle f}$ если она гомотопна постоянной функции. (Гомотопию от к постоянной функции иногда называют нуль-гомотопией .) Например, отображение единичного круга в любое пространство является нуль-гомотопным именно тогда, когда оно может быть непрерывно продолжено до отображения единичного круга в это пространство. согласен с по поводу границы. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Из этих определений следует, что пространство стягиваемо тогда и только тогда, когда тождественное отображение из в себя, которое всегда является гомотопической эквивалентностью, является нуль-гомотопным. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Инвариантность

Гомотопическая эквивалентность важна, поскольку в алгебраической топологии многие понятия гомотопически инвариантны , то есть соблюдают отношение гомотопической эквивалентности. Например, если X и Y — гомотопически эквивалентные пространства, то:

• X линейно связен тогда и только тогда, когда Y таков.
• X односвязен тогда и только тогда, когда Y односвязен.
• ( Особые) группы гомологий и когомологий X и Y изоморфны .
• Если X и Y линейно связны, то фундаментальные группы X и Y изоморфны, как и высшие гомотопические группы . (Без предположения о линейной связности имеем π ₁ ( X ,  x ₀ ) изоморфно π ₁ ( Y , f ( x ₀ )), где f  : X → Y — гомотопическая эквивалентность и x ₀ ∈ X .)

Примером алгебраического инварианта топологических пространств, который не является гомотопически-инвариантным, являются гомологии с компактным носителем (которые, грубо говоря, являются гомологиями компактификации , а компактификация не гомотопически-инвариантна).

Варианты

Относительная гомотопия

Чтобы определить фундаментальную группу , необходимо понятие гомотопии относительно подпространства . Это гомотопии, которые сохраняют элементы подпространства фиксированными. Формально: если f и g — непрерывные отображения из X в Y , а K — подмножество X , то мы говорим, что f и g гомотопны относительно K , если существует гомотопия H  : X × [0, 1] → Y между f и g такие, что H ( k ,  t ) = f ( k ) = g ( k ) для всех k ∈ K и t ∈ [0, 1]. Кроме того, если g — ретракция от X к K , а f — тождественное отображение, это называется ретрактом сильной деформации X к K. Когда K — точка, используется термин «точечная гомотопия» .

изотопия

Неузел не эквивалентен узлу- трилистнику , поскольку один из них не может быть деформирован в другой посредством непрерывного пути гомеоморфизмов объемлющего пространства. Таким образом, они не являются изотопными.

Когда две данные непрерывные функции f и g из топологического пространства X в топологическое пространство Y являются вложениями , можно задаться вопросом, можно ли их соединить «через вложения». Это порождает концепцию изотопии , которая является гомотопией H в использованных ранее обозначениях, такой, что для каждого фиксированного t H ( x , t  ) дает вложение. ^[8]

Близкая, но другая концепция — это концепция изотопии окружающей среды .

Требование изотопности двух вложений является более сильным требованием, чем их гомотопность. Например, отображение интервала [−1, 1] в действительные числа, определяемые формулой f ( x ) = − x , не изотопно тождеству g ( x ) = x . Любая гомотопия от f до тождества должна была бы поменять местами конечные точки, а это означало бы, что им придется «проходить» друг через друга. Более того, f изменил ориентацию интервала, а g — нет, что невозможно при изотопии. Однако отображения гомотопны; одна гомотопия от f до единицы равна H : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1], заданная формулой H ( x ,  y ) = 2 yx  −  x .

Два гомеоморфизма (которые являются частными случаями вложений) единичного шара, которые совпадают на границе, можно показать как изотопные, используя прием Александера . По этой причине карта единичного диска в R ² , определенная формулой f ( x ,  y ) = (− x , − y ), изотопна повороту на 180 градусов вокруг начала координат, и поэтому тождественная карта и f являются изотопными. потому что их можно соединить поворотами.

В геометрической топологии — например, в теории узлов — идея изотопии используется для построения отношений эквивалентности. Например, когда два узла следует считать одинаковыми? Возьмем два узла К ₁ и К ₂ в трехмерном пространстве . Узел — это вложение одномерного пространства, «петли струны» (или круга) в это пространство, и это вложение дает гомеоморфизм между кругом и его образом в пространстве вложения. Интуитивная идея, лежащая в основе понятия эквивалентности узла, заключается в том, что можно деформировать одно вложение в другое через путь вложений: непрерывная функция, начинающаяся в момент t  = 0, дающая вложение K ₁ , заканчивающаяся в момент t  = 1, давая вложение K ₂ , с все промежуточные значения, соответствующие вложениям. Это соответствует определению изотопии. Окружающая изотопия , изучаемая в этом контексте, представляет собой изотопию большего пространства, рассматриваемую в свете ее воздействия на вложенное подмногообразие. Узлы K ₁ и K ₂ считаются эквивалентными, когда существует объемлющая изотопия, которая перемещает K ₁ в K ₂ . Это подходящее определение в топологической категории.

Похожий язык используется для эквивалентного понятия в контекстах, где существует более строгое понятие эквивалентности. Например, путь между двумя гладкими вложениями является гладкой изотопией .

Времениподобная гомотопия

На лоренцевом многообразии некоторые кривые выделяются как времениподобные (представляющие что-то, что движется только вперед, а не назад, во времени, в каждой локальной системе отсчета). Времениподобная гомотопия между двумя времениподобными кривыми — это гомотопия, в которой кривая остается времениподобной при непрерывном переходе от одной кривой к другой. Никакая замкнутая времяподобная кривая (CTC) на лоренцевом многообразии не является времениподобной гомотопной точке (т. е. нулевой времениподобной гомотопной); поэтому такое многообразие называется многосвязным времениподобными кривыми. Многообразие, такое как 3-сфера, может быть просто связным (кривой любого типа), но при этом быть времениподобным многосвязным . ^[9]

Характеристики

Свойства подъема и расширения

Если у нас есть гомотопия H  : X × [0,1] → Y и покрытие p  : Y → Y и дано отображение h ₀  : X → Y такое, что H ₀ = p ○ h ₀ ( h ₀ называется подъем h ₀ ), то мы можем поднять все H до отображения H  : X × [0, 1] → Y такого , что p ○ H = H . Свойство гомотопического подъема используется для характеристики расслоений .

Еще одним полезным свойством, связанным с гомотопией, является свойство расширения гомотопии , которое характеризует расширение гомотопии между двумя функциями из подмножества некоторого множества до самого этого множества. Это полезно при работе с кофибрациями .

Группы

Поскольку отношение двух функций, гомотопных относительно подпространства, является отношением эквивалентности, мы можем рассмотреть классы эквивалентности отображений между фиксированными X и Y . Если мы зафиксируем единичный интервал [0, 1] пересеченный сам с собой n раз, и возьмем его границу как подпространство, то классы эквивалентности образуют группу, обозначаемую , где находится в образе подпространства . ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X=[0,1]^{n}}$ ${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$ ${\displaystyle \pi _{n}(Y,y_{0})}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$

Мы можем определить действие одного класса эквивалентности на другой, и таким образом мы получим группу. Эти группы называются гомотопическими группами . В этом случае ее еще называют фундаментальной группой . ${\displaystyle n=1}$

Гомотопическая категория

Идею гомотопии можно превратить в формальную категорию теории категорий . Гомотопическая категория — это категория, объектами которой являются топологические пространства, а морфизмами — классы гомотопической эквивалентности непрерывных отображений. Два топологических пространства X и Y изоморфны в этой категории тогда и только тогда, когда они гомотопически эквивалентны. Тогда функтор в категории топологических пространств гомотопически инвариантен, если его можно выразить как функтор в гомотопической категории.

Например, группы гомологий являются функториальными гомотопическими инвариантами: это означает, что если f и g из X в Y гомотопны, то групповые гомоморфизмы, индуцированные f и g на уровне групп гомологий , одинаковы: H _n ( f ) = ЧАС _п ( г ) : ЧАС _п ( Икс ) → ЧАС _п ( Y ) для всех n . Аналогично, если X и Y дополнительно связаны путями и гомотопия между f и g указана, то групповые гомоморфизмы, индуцированные f и g на уровне гомотопических групп , также одинаковы: π _n ( f ) = π _n ( г ) : π _п ( Икс ) → π _п ( Y ).

Приложения

На основе концепции гомотопии разработаны методы вычисления алгебраических и дифференциальных уравнений . К методам решения алгебраических уравнений относятся метод гомотопического продолжения ^[10] и метод продолжения (см . численное продолжение ). К методам дифференциальных уравнений относится метод гомотопического анализа .

Теорию гомотопии можно использовать в качестве основы теории гомологии : можно представить функтор когомологий в пространстве X путем отображения X в подходящее фиксированное пространство с точностью до гомотопической эквивалентности. Например, для любой абелевой группы G и любого базового CW-комплекса X множество базовых гомотопических классов базовых отображений из X в  пространство Эйленберга – Маклейна находится в естественной биекции с n -й сингулярной группой когомологий  пространства X. . Говорят, что омега-спектры пространств Эйленберга-Маклейна представляют собой пространства сингулярных когомологий с коэффициентами из G . ${\displaystyle [X,K(G,n)]}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle H^{n}(X,G)}$

Смотрите также

• Слоистая гомотопическая эквивалентность (относительная версия гомотопической эквивалентности)
• Гомеотопия
• Теория гомотопических типов
• Группа классов сопоставления
• Гипотеза Пуанкаре
• Регулярная гомотопия

Рекомендации

1. «Определение и значение гомотопии» . Проверено 22 апреля 2022 г.
2. «Обсуждается теория гомотопических типов - компьютерфил» . YouTube . Проверено 22 апреля 2022 г.
3. «Гомотопия | математика». Британская энциклопедия . Проверено 17 августа 2019 г.
4. «Алгебраическая топология - гомотопия путей и отдельно непрерывные функции». Математический обмен стеками .
5. Аллен., Хэтчер (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 185. ИСБН 9780521795401. ОСЛК  45420394.
6. Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Альбин, Пьер (2019). «История алгебраической топологии». YouTube .
7. Аллен., Хэтчер (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 11. ISBN 9780521795401. ОСЛК  45420394.
8. Вайсштейн, Эрик В. «Изотопия». Математический мир .
9. Монро, Хантер (1 ноября 2008 г.). «Нежелательны ли нарушения причинно-следственной связи?». Основы физики . 38 (11): 1065–1069. arXiv : gr-qc/0609054 . Бибкод : 2008FoPh...38.1065M. дои : 10.1007/s10701-008-9254-9. ISSN  0015-9018. S2CID  119707350.
10. Аллговер, EL (2003). Введение в методы численного продолжения. Курт Георг. Филадельфия: СИАМ. ISBN 0-89871-544-Х. OCLC  52377653.

Источники

• Армстронг, Массачусетс (1979). Базовая топология . Спрингер. ISBN 978-0-387-90839-7.
• «Гомотопия», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Изотопия (в топологии)», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Спаниер, Эдвин (декабрь 1994 г.). Алгебраическая топология . Спрингер. ISBN 978-0-387-94426-5.