Расслоение

Концепция алгебраической топологии

Понятие расслоения обобщает понятие расслоения и играет важную роль в алгебраической топологии — разделе математики.

Расслоения используются, например, в системах Постникова или теории препятствий .

В этой статье все отображения являются непрерывными отображениями между топологическими пространствами .

Формальные определения

Свойство гомотопического подъема

Отображение удовлетворяет свойству гомотопического подъема пространства, если: ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle X}$

• для каждой гомотопии и ${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B}$
• для каждого отображения (также называемого лифтом) подъема (т.е. ) ${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E}$ ${\displaystyle h|_{X\times 0}=h_{0}}$ ${\displaystyle h_{0}=p\circ {\tilde {h}}_{0}}$

существует (не обязательно единственный) гомотопический подъем (т.е. ) с ${\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h=p\circ {\tilde {h}}}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}={\tilde {h}}|_{X\times 0}.}$

Следующая коммутативная диаграмма показывает ситуацию: ^{[1] : 66}

Расслоение

Расслоение (также называемое расслоением Гуревича) — это отображение, удовлетворяющее свойству гомотопического подъема для всех пространств. Пространство называется базовым пространством , а пространство называется полным пространством . Слой над — это подпространство ^{[1] : 66} ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle F_{b}=p^{-1}(b)\subseteq E.}$

Расслоение Серра

Расслоение Серра (также называемое слабым расслоением) — это отображение, удовлетворяющее свойству гомотопического подъема для всех CW-комплексов . ^{[2] : 375-376} ${\displaystyle p\colon E\to B}$

Каждое расслоение Гуревича является расслоением Серра.

Квазифибрация

Отображение называется квазирасслоением , если для любого и выполнено, что индуцированное отображение является изоморфизмом . ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle b\in B,}$ ${\displaystyle e\in p^{-1}(b)}$ ${\displaystyle i\geq 0}$ ${\displaystyle p_{*}\colon \pi _{i}(E,p^{-1}(b),e)\to \pi _{i}(B,b)}$

Каждое расслоение Серра является квазирасслоением. ^{[3] : 241-242}

Примеры

• Проекция на первый сомножитель является расслоением. То есть тривиальные расслоения являются расслоениями. ${\displaystyle p\colon B\times F\to B}$
• Всякое покрытие является расслоением. В частности, для каждой гомотопии и каждого лифта существует однозначно определенный лифт с ^{[4] : 159  [5] : 50} ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle h\colon X\times [0,1]\to B}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}_{0}\colon X\to E}$ ${\displaystyle {\tilde {h}}\colon X\times [0,1]\to E}$ ${\displaystyle p\circ {\tilde {h}}=h.}$
• Каждое расслоение обладает свойством гомотопического подъема для любого CW-комплекса. ^{[2] : 379} ${\displaystyle p\colon E\to B}$
• Расслоение с паракомпактным и хаусдорфовым базовым пространством удовлетворяет свойству гомотопического подъема для всех пространств. ^{[2] : 379}
• Примером расслоения, не являющегося расслоением, является отображение, индуцированное включением где топологическое пространство и пространство всех непрерывных отображений с компактно-открытой топологией . ^{[4] : 198} ${\displaystyle i^{*}\colon X^{I^{k}}\to X^{\partial I^{k}}}$ ${\displaystyle i\colon \partial I^{k}\to I^{k}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{A}=\{f\colon A\to X\}}$
• Расслоение Хопфа — это нетривиальное расслоение и, в частности, расслоение Серра. ${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}}$

Базовые концепты

Гомотопическая эквивалентность слоев

Отображение между тотальными пространствами двух расслоений и с одним и тем же базовым пространством является гомоморфизмом расслоений , если следующая диаграмма коммутирует: ${\displaystyle f\colon E_{1}\to E_{2}}$ ${\displaystyle p_{1}\colon E_{1}\to B}$ ${\displaystyle p_{2}\colon E_{2}\to B}$

Отображение является послойной гомотопической эквивалентностью, если, кроме того, существует гомоморфизм расслоений , такой, что отображения и гомотопны посредством гомоморфизмов расслоений тождествам и ^{[2] : 405-406} ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g\colon E_{2}\to E_{1}}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle Id_{E_{2}}}$ ${\displaystyle Id_{E_{1}}.}$

Расслоение обратного движения

Учитывая расслоение и отображение , отображение является расслоением, где - обратный образ и проекции на и дают следующую коммутативную диаграмму: ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle p_{f}\colon f^{*}(E)\to A}$ ${\displaystyle f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E|f(a)=p(e)\}}$ ${\displaystyle f^{*}(E)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E}$

Расслоение называется расслоением обратного расслоения или индуцированным расслоением. ^{[2] : 405-406} ${\displaystyle p_{f}}$

Расслоение пространства путей

С помощью конструкции пространства путей любое непрерывное отображение можно расширить до расслоения, расширив его область определения до гомотопически эквивалентного пространства. Это расслоение называется расслоением пространства путей .

Полное пространство расслоения пространства путей для непрерывного отображения между топологическими пространствами состоит из пар с и путей с начальной точкой где - единичный интервал . Пространство несет топологию подпространства где описывает пространство всех отображений и несет компактно - открытую топологию . ${\displaystyle E_{f}}$ ${\displaystyle f\colon A\to B}$ ${\displaystyle (a,\gamma )}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \gamma \colon I\to B}$ ${\displaystyle \gamma (0)=f(a),}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle E_{f}=\{(a,\gamma )\in A\times B^{I}|\gamma (0)=f(a)\}}$ ${\displaystyle A\times B^{I},}$ ${\displaystyle B^{I}}$ ${\displaystyle I\to B}$

Расслоение пространства путей задается отображением с . Слой также называется гомотопическим слоем и состоит из пар с и путей, где и выполняется. ${\displaystyle p\colon E_{f}\to B}$ ${\displaystyle p(a,\gamma )=\gamma (1).}$ ${\displaystyle F_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,\gamma )}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to B,}$ ${\displaystyle \gamma (0)=f(a)}$ ${\displaystyle \gamma (1)=b_{0}\in B}$

В частном случае включения базовой точки возникает важный пример расслоения пространства путей. Общее пространство состоит из всех путей, которые начинаются с. Это пространство обозначается и называется пространством пути. Расслоение пространства путей отображает каждый путь в его конечную точку, следовательно, слой состоит из всех замкнутых путей. Слой обозначается и называется пространством петель . ^{[2] : 407-408} ${\displaystyle i\colon b_{0}\to B}$ ${\displaystyle E_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b_{0}.}$ ${\displaystyle PB}$ ${\displaystyle p\colon PB\to B}$ ${\displaystyle p^{-1}(b_{0})}$ ${\displaystyle \Omega B}$

Характеристики

• Слои над гомотопически эквивалентны для каждой компоненты пути из ^{[2] : 405} ${\displaystyle p^{-1}(b)}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle B.}$
• Для гомотопии расслоения обратного образа и гомотопически эквивалентны слоям. ^{[2] : 406} ${\displaystyle f\colon [0,1]\times A\to B}$ ${\displaystyle f_{0}^{*}(E)\to A}$ ${\displaystyle f_{1}^{*}(E)\to A}$
• Если базовое пространство сжимаемо , то расслоение является гомотопически эквивалентным расслоению произведения ^{[2] : 406} . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle B\times F\to B.}$
• Расслоение пространства путей расслоения очень похоже на само себя. Точнее, включение представляет собой послойную гомотопическую эквивалентность. ^{[2] : 408} ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle E\hookrightarrow E_{p}}$
• Для расслоения со слоем и стягиваемым тотальным пространством существует слабая гомотопическая эквивалентность ^{[2] : 408} ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F\to \Omega B.}$

Кукольная последовательность

Для расслоения со слоем и базовой точкой включение слоя в гомотопический слой является гомотопической эквивалентностью . Отображение с , где и путь от до в базовом пространстве, является расслоением. В частности, это обратное расслоение расслоения пространства путей . Теперь эту процедуру можно снова применить к расслоению и так далее. Это приводит к длинной последовательности: ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle b_{0}\in B}$ ${\displaystyle F\hookrightarrow F_{p}}$ ${\displaystyle i\colon F_{p}\to E}$ ${\displaystyle i(e,\gamma )=e}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle \gamma \colon I\to B}$ ${\displaystyle p(e)}$ ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle PB\to B}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \cdots \to F_{j}\to F_{i}\xrightarrow {j} F_{p}\xrightarrow {i} E\xrightarrow {p} B.}$

Слой над точкой состоит из пар с замкнутыми путями и начальной точкой , т.е. пространством петель . Включение является гомотопической эквивалентностью, и итерация дает последовательность: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle e_{0}\in p^{-1}(b_{0})}$ ${\displaystyle (e_{0},\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle b_{0}}$ ${\displaystyle \Omega B}$ ${\displaystyle \Omega B\to F}$

${\displaystyle \cdots \Omega ^{2}B\to \Omega F\to \Omega E\to \Omega B\to F\to E\to B.}$

Ввиду двойственности расслоения и корасслоения существует также последовательность корасслоений. Эти две последовательности известны как последовательности Пуппе или последовательности расслоений и кофибраций. ^{[2] : 407-409}

Основное расслоение

Расслоение со слоем называется главным , если существует коммутативная диаграмма: ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F}$

Нижняя строка представляет собой последовательность расслоений, а вертикальные отображения являются слабой гомотопической эквивалентностью. Главные расслоения играют важную роль в башнях Постникова . ^{[2] : 412}

Длинная точная последовательность гомотопических групп

Для расслоения Серра существует длинная точная последовательность гомотопических групп . Для базовых точек это определяется следующим образом: ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle b_{0}\in B}$ ${\displaystyle x_{0}\in F=p^{-1}(b_{0})}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(F,x_{0})\rightarrow }$ ${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{0}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{0}(E,x_{0}).}$

Гомоморфизмы и являются индуцированными гомоморфизмами включения и проекции ^[2] : ³⁷⁶ ${\displaystyle \pi _{n}(F,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(E,x_{0})}$ ${\displaystyle \pi _{n}(E,x_{0})\rightarrow \pi _{n}(B,b_{0})}$ ${\displaystyle i\colon F\hookrightarrow E}$ ${\displaystyle p\colon E\rightarrow B.}$

расслоение Хопфа

Расслоения Хопфа — это семейство расслоений, слой, полное пространство и базовое пространство которого представляют собой сферы :

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1},}$

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2},}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4},}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}.}$

Длинная точная последовательность гомотопических групп расслоения Хопфа дает: ${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}}$

${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{n}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{n}(S^{2},b_{0})\rightarrow \pi _{n-1}(S^{1},x_{0})\rightarrow }$ ${\displaystyle \cdots \rightarrow \pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{3},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(S^{2},b_{0}).}$

Эта последовательность разбивается на короткие точные последовательности, поскольку слой в стягивается до точки: ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle 0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.}$

Эта короткая точная последовательность расщепляется из-за гомоморфизма надстройки , и существуют изоморфизмы : ${\displaystyle \phi \colon \pi _{i-1}(S^{1})\to \pi _{i}(S^{2})}$

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})\cong \pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).}$

Гомотопические группы тривиальны, поэтому существуют изоморфизмы между и для ${\displaystyle \pi _{i-1}(S^{1})}$ ${\displaystyle i\geq 3,}$ ${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})}$ ${\displaystyle \pi _{i}(S^{3})}$ ${\displaystyle i\geq 3.}$

Аналогично волокна в и в сокращаются до точки. Далее короткие точные последовательности распадаются и возникают семейства изоморфизмов: ^{[6] : 111} ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{7}}$ ${\displaystyle S^{7}}$ ${\displaystyle S^{15}}$

${\displaystyle \pi _{i}(S^{4})\cong \pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3})}$и ${\displaystyle \pi _{i}(S^{8})\cong \pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).}$

Спектральная последовательность

Спектральные последовательности являются важными инструментами алгебраической топологии для вычисления групп (ко) гомологий.

Спектральная последовательность Лере-Серра соединяет (ко)гомологии тотального пространства и слоя с (ко)гомологиями базового пространства расслоения. Для расслоения со слоем , где базовым пространством является линейно связный CW-комплекс, и аддитивной теории гомологий существует спектральная последовательность: ^{[7] : 242} ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle G_{*}}$

${\displaystyle H_{k}(B;G_{q}(F))\cong E_{k,q}^{2}\implies G_{k+q}(E).}$

Расслоения не дают длинных точных последовательностей в гомологии, как в гомотопии. Но при определенных условиях расслоения обеспечивают точные гомологические последовательности. Для расслоения со слоем , где базовое пространство и слой соединены путями , фундаментальная группа действует тривиально , и, кроме условий для и для удержания, существует точная последовательность (также известная под названием точная последовательность Серра): ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$ ${\displaystyle H_{*}(F)}$ ${\displaystyle H_{p}(B)=0}$ ${\displaystyle 0<p<m}$ ${\displaystyle H_{q}(F)=0}$ ${\displaystyle 0<q<n}$

${\displaystyle H_{m+n-1}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{m+n-1}(E)\xrightarrow {f_{*}} H_{m+n-1}(B)\xrightarrow {\tau } H_{m+n-2}(F)\xrightarrow {i^{*}} \cdots \xrightarrow {f_{*}} H_{1}(B)\to 0.}$^{[7] : 250}

Эту последовательность можно использовать, например, для доказательства теоремы Гуревича или для вычисления гомологии пространств петель вида ^{[8] : 162} ${\displaystyle \Omega S^{n}:}$

${\displaystyle H_{k}(\Omega S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &\exists q\in \mathbb {Z} \colon k=q(n-1)\\0&else\end{cases}}.}$

Для частного случая расслоения , где базовым пространством является -сфера со слоем, существуют точные последовательности (также называемые последовательностями Ванга ) для гомологии и когомологии: ^{[1] : 456} ${\displaystyle p\colon E\to S^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F,}$

${\displaystyle \cdots \to H_{q}(F)\xrightarrow {i_{*}} H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to H_{q-1}(F)\to \cdots }$ ${\displaystyle \cdots \to H^{q}(E)\xrightarrow {i^{*}} H^{q}(F)\to H^{q-n+1}(F)\to H^{q+1}(E)\to \cdots }$

Ориентируемость

Для расслоения со слоем и фиксированного коммуативного кольца с единицей существует контравариантный функтор из фундаментального группоида в категорию градуированных -модулей, который сопоставляет модулю и классу путей гомоморфизм где - гомотопический класс в ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle H_{*}(F_{b},R)}$ ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle h[\omega ]_{*}\colon H_{*}(F_{\omega (0)},R)\to H_{*}(F_{\omega (1)},R),}$ ${\displaystyle h[\omega ]}$ ${\displaystyle [F_{\omega (0)},F_{\omega (1)}].}$

Расслоение называется ориентируемым , если для любого замкнутого пути выполнено следующее: ^{[1] : 476} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle h[\omega ]_{*}=1.}$

Эйлерова характеристика

Для ориентируемого расслоения над полем со слоями и путями, связанными базовым пространством, эйлерова характеристика полного пространства определяется выражением: ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \chi (E)=\chi (B)\chi (F).}$

Здесь над полем определены эйлеровы характеристики базового пространства и слоя . ^{[1] : 481} ${\displaystyle \mathbb {K} }$

Смотрите также

• Приблизительное расслоение

Рекомендации

1. Spanier, Эдвин Х. (1966). Алгебраическая топология . Книжная компания МакГроу-Хилл . ISBN 978-0-387-90646-1.
2. Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79160-Х.
3. Дольд, Альбрехт ; Том, Рене (1958). «Quasifaserungen und Unendliche Symmetrische Produkte». Анналы математики . 67 (2): 239–281. дои : 10.2307/1970005. JSTOR  1970005.
4. Лаур, Герд; Шимик, Маркус (2014). Grundkurs Topologie (на немецком языке) (2-е изд.). Спрингер Спектр. дои : 10.1007/978-3-662-45953-9. ISBN 978-3-662-45952-2.
5. Мэй, JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-51182-0. ОСЛК  41266205.
6. Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-08055-0.
7. Дэвис, Джеймс Ф.; Кирк, Пол (1991). Конспекты лекций по алгебраической топологии (PDF) . Департамент математики Университета Индианы.
8. Коэн, Ральф Л. (1998). Конспект лекций по топологии пучков волокон (PDF) . Стэндфордский Университет.