Гомотопическая группа

Алгебраическая конструкция, классифицирующая топологические пространства

В математике гомотопические группы используются в алгебраической топологии для классификации топологических пространств . Первой и простейшей гомотопической группой является фундаментальная группа , обозначаемая как запись информации о петлях в пространстве . Интуитивно понятно, что гомотопические группы записывают информацию об основной форме или дырах топологического пространства. ${\displaystyle \pi _{1}(X),}$

Чтобы определить n -ю гомотопическую группу, сохраняющие базовую точку отображения n -мерной сферы (с базовой точкой ) в заданное пространство (с базовой точкой) собираются в классы эквивалентности , называемые гомотопическими классами . Два отображения гомотопны, если одно непрерывно деформируется в другое. Эти гомотопические классы образуют группу , называемую n -й гомотопической группой данного пространства X с базовой точкой. Топологические пространства с разными гомотопическими группами никогда не являются гомеоморфными, но негомеоморфные топологические пространства могут иметь одни и те же гомотопические группы. ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$

Понятие гомотопии путей было введено Камиллой Жорданом . ^[1]

Введение

В современной математике принято изучать категорию , связывая с каждым объектом этой категории более простой объект, который все еще сохраняет достаточную информацию об интересующем объекте. Гомотопические группы — это такой способ ассоциирования групп с топологическими пространствами.

Тор _

Сфера _

Эта связь между топологией и группами позволяет математикам применять идеи теории групп к топологии . Например, если два топологических объекта имеют разные гомотопические группы, они не могут иметь одинаковую топологическую структуру — факт, который может быть трудно доказать, используя только топологические средства. Например, тор отличается от сферы : у тора есть «дырка»; сфера этого не делает. Однако, поскольку непрерывность (основное понятие топологии) имеет дело только с локальной структурой, формально определить очевидное глобальное различие может быть сложно. Однако гомотопические группы несут информацию о глобальной структуре.

Что касается примера: первая гомотопическая группа тора есть ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \pi _{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},}$$

универсальное накрытие ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$ ${\displaystyle S^{2}}$

$${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{2}\right)=0,}$$

групп см. Гомотопические группы сфергомеоморфен

Определение

В n -сфере выбираем базовую точку a . Для пространства X с базовой точкой b мы определяем множество гомотопических классов отображений ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$

$${\displaystyle f:S^{n}\to X\mid f(a)=b}$$

ab- кубаXграницу-b ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle g:[0,1]^{n}\to X}$

Состав в основной группе

Ибо гомотопические классы образуют группу . Чтобы определить групповую операцию, напомним, что в фундаментальной группе произведение двух циклов определяется установкой ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle f,g:[0,1]\to X}$

$${\displaystyle f*g={\begin{cases}f(2t)&t\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t-1)&t\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

Идея композиции фундаментальной группы заключается в последовательном прохождении первого пути и второго пути или, что то же самое, в соединении двух их областей вместе. Концепция композиции, которую мы хотим для n -й гомотопической группы, та же самая, за исключением того, что теперь области, которые мы склеиваем, представляют собой кубы, и мы должны склеить их вдоль грани. Поэтому мы определяем сумму отображений по формуле ${\displaystyle f,g:[0,1]^{n}\to X}$

$${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})={\begin{cases}f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

Для соответствующего определения в терминах сфер определите сумму карт, которые должны быть составлены с помощью h , где — это карта из клиновой суммы двух n -сфер, которая сжимает экватор, а h — это карта из клиновой суммы двух n -сферы к X , который определяется как f на первой сфере и g на второй. ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle S^{n}}$

Если то абелева . _ ^[2] Далее, подобно фундаментальной группе, для пространства линейной связности любые два выбора базовой точки приводят к изоморфизму ^[3] ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}.}$

Соблазнительно попытаться упростить определение гомотопических групп, опуская базовые точки, но это обычно не работает для неодносвязных пространств , даже для пространств линейной связности. Набор гомотопических классов отображений сферы в пространство линейной связности не является гомотопической группой, но по существу представляет собой набор орбит фундаментальной группы на гомотопической группе и, вообще говоря, не имеет естественной групповой структуры.

Выход из этих трудностей был найден путем определения высших гомотопических группоидов фильтрованных пространств и n -кубов пространств. Они связаны с относительными гомотопическими группами и с n -адическими гомотопическими группами соответственно. Тогда высшая гомотопическая теорема Ван Кампена позволяет получить некоторую новую информацию о гомотопических группах и даже о гомотопических типах. Дополнительную информацию и ссылки см. в разделе «Теория групп многомерности» и ссылках ниже.

Гомотопические группы и дырки

Топологическое пространство имеет дыру с d -мерной границей тогда и только тогда, когда оно содержит d -мерную сферу, которую нельзя непрерывно сжать в одну точку. Это справедливо тогда и только тогда, когда существует отображение, не гомотопное постоянной функции . Это справедливо тогда и только тогда, когда d -я гомотопическая группа X нетривиальна. Короче говоря, X имеет дыру с d -мерной границей, если и только если . ${\textstyle S^{d}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{d}(X)\not \cong 0}$

Длинная точная последовательность расслоения

Пусть – расслоение Серра , сохраняющее базовую точку, со слоем , т. е. отображение, обладающее свойством гомотопического подъема относительно комплексов CW . Предположим, что B линейно связен. Тогда существует длинная точная последовательность гомотопических групп ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle F,}$

$${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to 0.}$$

Здесь задействованные отображения не являются гомоморфизмами групп , поскольку они не являются группами, но они точны в том смысле, что образ равен ядру . ${\displaystyle \pi _{0}}$ ${\displaystyle \pi _{0}}$

Пример: расслоение Хопфа . Пусть B равно и E равно. Пусть p — расслоение Хопфа , имеющее слой Из длинной точной последовательности ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}.}$ ${\displaystyle S^{1}.}$

$${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(S^{1})\to \pi _{n}(S^{3})\to \pi _{n}(S^{2})\to \pi _{n-1}(S^{1})\to \cdots }$$

и тот факт, что для мы находим, что для В частности, ${\displaystyle \pi _{n}(S^{1})=0}$ ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})}$ ${\displaystyle n\geq 3.}$ ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} .}$

В случае пространства накрытия, когда слой дискретен, мы имеем, что оно изоморфно для которое инъективно вкладывается в для всех положительных значений и что его подгруппа , соответствующая вложению, имеет смежные классы в биекции с элементами слоя. ${\displaystyle \pi _{n}(E)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(B)}$ ${\displaystyle n>1,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(E)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(B)}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(E)}$

Когда расслоение является слоем отображения или, двойственно, корасслоением является конус отображения , тогда результирующая точная (или дуально, коточная) последовательность задается последовательностью Пуппе .

Однородные пространства и сферы

Существует множество реализаций сфер как однородных пространств , которые предоставляют хорошие инструменты для вычисления гомотопических групп групп Ли и классификации главных расслоений в пространствах, состоящих из сфер.

Специальная ортогональная группа

Существует расслоение ^[4]

$${\displaystyle SO(n-1)\to SO(n)\to SO(n)/SO(n-1)\cong S^{n-1}}$$

давая длинную точную последовательность

$${\displaystyle \cdots \to \pi _{i}(SO(n-1))\to \pi _{i}(SO(n))\to \pi _{i}\left(S^{n-1}\right)\to \pi _{i-1}(SO(n-1))\to \cdots }$$

который вычисляет гомотопические группы низкого порядка для , поскольку -связен . В частности, существует расслоение ${\displaystyle \pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))}$ ${\displaystyle i<n-1,}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-2)}$

$${\displaystyle SO(3)\to SO(4)\to S^{3}}$$

нижние гомотопические группы которых можно вычислить явно. Поскольку и существует расслоение ${\displaystyle SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3},}$

$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}}$$

у нас есть для Используя это и то, что можно вычислить с помощью системы Постникова , мы имеем длинную точную последовательность ${\displaystyle \pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})}$ ${\displaystyle i>1.}$ ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \to {}&\pi _{4}(SO(3))\to \pi _{4}(SO(4))\to \pi _{4}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{3}(SO(3))\to \pi _{3}(SO(4))\to \pi _{3}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{2}(SO(3))\to \pi _{2}(SO(4))\to \pi _{2}(S^{3})\to \cdots \\\end{aligned}}}$$

Поскольку у нас есть Также, средняя строка дает, поскольку соединительная карта тривиальна. Также мы можем знать, что у него есть два торсиона. ${\displaystyle \pi _{2}\left(S^{3}\right)=0}$ ${\displaystyle \pi _{2}(SO(4))=0.}$ ${\displaystyle \pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)}$ ${\displaystyle \pi _{4}(SO(4))}$

Приложение к связкам сфер

Милнор ^[5] использовал этот факт для классификации расслоений трех сфер, в частности, он смог найти экзотические сферы , которые представляют собой гладкие многообразия , называемые сферами Милнора, только гомеоморфными или недиффеоморфными . Заметим, что любое расслоение сфер может быть построено из -векторного расслоения , которое имеет структурную группу, поскольку может иметь структуру ориентированного риманова многообразия . ${\displaystyle \pi _{3}(SO(4))=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{4},}$ ${\displaystyle S^{7},}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle SO(4)}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Комплексное проективное пространство

Существует расслоение

$${\displaystyle S^{1}\to S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}}$$

где единичная сфера в. Эту последовательность можно использовать, чтобы показать односвязность для всех ${\displaystyle S^{2n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Методы расчета

Вычисление гомотопических групп, как правило, намного сложнее, чем вычисление некоторых других гомотопических инвариантов , изучаемых в алгебраической топологии. В отличие от теоремы Зейферта-Ван Кампена для фундаментальной группы и теоремы об исключении сингулярных гомологии и когомологии , не существует простого известного способа вычисления гомотопических групп пространства путем разбиения его на более мелкие пространства. Однако методы, разработанные в 1980-х годах с использованием теоремы Ван Кампена о типе для высших гомотопических группоидов, позволили провести новые расчеты гомотопических типов и, следовательно, гомотопических групп. Пример результата см. в статье Эллиса и Михайлова за 2010 год. ^[6]

Для некоторых пространств, таких как торы , все высшие гомотопические группы (то есть вторые и высшие гомотопические группы) тривиальны . Это так называемые асферические пространства . Однако, несмотря на интенсивные исследования по вычислению гомотопических групп сфер, даже в двух измерениях полный список не известен. Чтобы вычислить даже четвертую гомотопическую группу, нужны гораздо более сложные методы, чем можно предположить из определений. В частности, именно для этой цели была построена спектральная последовательность Серра . ${\displaystyle S^{2}}$

Некоторые гомотопические группы n -связных пространств можно вычислить путем сравнения с группами гомологий с помощью теоремы Гуревича .

Список методов вычисления гомотопических групп

• Длинная точная последовательность гомотопических групп расслоения.
• Теорема Гуревича , имеющая несколько версий.
• Теорема Блейкера–Мэсси , также известная как вырезание гомотопических групп.
• Теорема Фрейденталя о подвеске , следствие вырезания гомотопических групп.

Относительные гомотопические группы

Существует также полезное обобщение гомотопических групп, называемое относительными гомотопическими группами для пары , где A — подпространство ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$ ${\displaystyle (X,A),}$ ${\displaystyle X.}$

Конструкция мотивирована тем наблюдением, что для включения существует индуцированное отображение на каждой гомотопической группе , которое, вообще говоря, не является инъекцией. Действительно, элементы ядра известны, если рассмотреть представителя и взять базовую гомотопию к постоянному отображению , или, другими словами, пока ограничение на любую другую граничную компоненту тривиально. Таким образом, мы имеем следующую конструкцию: ${\displaystyle i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),}$ ${\displaystyle i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle f:I^{n}\to X}$ ${\displaystyle F:I^{n}\times I\to X}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle H_{I^{n}\times 1}=f,}$ ${\displaystyle I^{n+1}}$

Элементами такой группы являются гомотопические классы базовых отображений , переносящих границу в A . Два отображения называются гомотопными относительно A , если они гомотопны по гомотопии, сохраняющей базовую точку, такой, что для каждого p in и t в элементе находится в A . Обратите внимание, что обычные гомотопические группы восстанавливаются для частного случая, когда одноэлементный элемент содержит базовую точку. ${\displaystyle D^{n}\to X}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle F:D_{n}\times [0,1]\to X}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle F(p,t)}$ ${\displaystyle A=\{x_{0}\}}$

Эти группы абелевы, но образуют верхнюю группу скрещенного модуля с нижней группой ${\displaystyle n\geq 3(E)}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A).}$

Существует также длинная точная последовательность относительных гомотопических групп, которую можно получить с помощью последовательности Пуппе :

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)\to \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n-1}(A)\to \cdots }$

Связанные понятия

Гомотопические группы играют фундаментальную роль в теории гомотопий , что, в свою очередь, стимулировало развитие модельных категорий . Для симплициальных множеств можно определить абстрактные гомотопические группы .

Группы гомологий подобны группам гомотопий в том, что они могут представлять «дыры» в топологическом пространстве. Однако гомотопические группы часто очень сложны и их трудно вычислить. Напротив, группы гомологий коммутативны (как и высшие гомотопические группы). Поэтому иногда говорят, что «гомология является коммутативной альтернативой гомотопии». ^[7] В топологическом пространстве его n -я гомотопическая группа обычно обозначается через, а n -я группа гомологий обычно обозначается через ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$ ${\displaystyle H_{n}(X).}$

Смотрите также

• Расслоение
• расслоение Хопфа
• инвариант Хопфа
• Теория узлов
• Гомотопический класс
• Гомотопические группы сфер
• Топологический инвариант
• Гомотопическая группа с коэффициентами
• Остроконечный набор

Примечания

1. Мари Эннемон Камилла Джордан
2. Для доказательства этого обратите внимание, что в двух измерениях или больше две гомотопии могут «вращаться» друг вокруг друга. См. аргумент Экмана–Хилтона .
3. см. раздел 4.1 Аллена Хэтчера#Книги .
4. Хуземоллер, Дейл (1994). Пучки волокон . Тексты для аспирантов по математике. Том. 20. Спрингер. п. 89. дои : 10.1007/978-1-4757-2261-1 .
5. Милнор, Джон (1956). «О многообразиях, гомеоморфных 7-сфере». Анналы математики . 64 : 399–405.
6. Эллис, Грэм Дж.; Михайлов, Роман (2010). «Копредел классифицирующих пространств». Достижения в математике . 223 (6): 2097–2113. arXiv : 0804.3581 . дои : 10.1016/j.aim.2009.11.003 . МР  2601009.
7. Вильдбергер, Нью-Джерси (2012). «Введение в гомологию». Архивировано из оригинала 12 декабря 2021 г.

Рекомендации

• Рональд Браун , `Группоиды и скрещенные объекты в алгебраической топологии', Гомологии, гомотопии и приложения , 1 (1999) 1–78.
• Рональд Браун , Филип Дж. Хиггинс, Рафаэль Сивера, Нонабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды, Трактаты EMS по математике, том. 15 703 страницы, Европейская математика. Общество, Цюрих, 2011. doi : 10.4171/083 MR 2841564.
• Чех, Эдуард (1932), «Höhersizede Homotopiegruppen», Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Цюрих.
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-79540-1
• «Гомотопическая группа», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Хопф, Хайнц (1931), «Über die Abbildungen der drei Dimensionen Sphäre auf die Kugelfläche», Mathematische Annalen , 104 (1): 637–665, doi : 10.1007/BF01457962.
• Кампс, Клаус Х.; Портер, Тимоти (1997). Абстрактная гомотопия и простая теория гомотопии . Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing. дои : 10.1142/9789812831989. ISBN 981-02-1602-5. МР  1464944.
• Тода, Хироши (1962). Методы композиции в гомотопических группах сфер . Анналы математических исследований. Том. 49. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-09586-8. МР  0143217.
• Уайтхед, Джордж Уильям (1978). Элементы теории гомотопий. Тексты для аспирантов по математике. Том. 61 (3-е изд.). Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. стр. XXI+744. ISBN 978-0-387-90336-1. МР  0516508.