Гомологии (математика)

Применение алгебраических структур к топологическим пространствам

В математике гомологии ^[1] — это общий способ связывания последовательности алгебраических объектов, таких как абелевы группы или модули , с другими математическими объектами, такими как топологические пространства . Группы гомологии первоначально были определены в алгебраической топологии . Подобные конструкции доступны в самых разных других контекстах, таких как абстрактная алгебра , группы , алгебры Ли , теория Галуа и алгебраическая геометрия .

Первоначальным мотивом для определения групп гомологии было наблюдение о том, что две формы можно различить, исследуя их отверстия. Например, круг не является диском, потому что в круге есть отверстие, в то время как диск твердый, а обычная сфера не является кругом, потому что сфера заключает в себе двумерное отверстие, а круг заключает в себе одномерное отверстие. Однако, поскольку дыры «нет», не сразу понятно, как ее определить или как различать разные виды дыр. Гомология изначально была строгим математическим методом определения и классификации дыр в многообразии . Грубо говоря, цикл — это замкнутое подмногообразие, граница — это цикл, который также является границей подмногообразия, а класс гомологий (который представляет дырку) — это класс эквивалентности циклов по модулю границ. Таким образом, класс гомологии представлен циклом, который не является границей какого-либо подмногообразия: цикл представляет собой дыру, а именно гипотетическое многообразие, границей которого был бы этот цикл, но которого «там нет».

Существует множество различных теорий гомологии. Определенный тип математического объекта, такой как топологическое пространство или группа , может иметь одну или несколько связанных теорий гомологии. Когда базовый объект имеет геометрическую интерпретацию, как это делают топологические пространства, n- я группа гомологии представляет поведение в измерении n . Большинство групп или модулей гомологии могут быть сформулированы как производные функторы на соответствующих абелевых категориях , точно измеряя несостоятельность функтора . С этой абстрактной точки зрения группы гомологии определяются объектами производной категории .

Фон

Происхождение

Можно сказать, что теория гомологии начинается с формулы многогранника Эйлера или характеристики Эйлера . ^[2] За этим последовало определение Риманом числовых инвариантов рода и n -кратной связности в 1857 году и доказательство Бетти в 1871 году независимости «чисел гомологий» от выбора базиса. ^[3]

Сама гомология была разработана как способ анализа и классификации многообразий в соответствии с их циклами – замкнутыми петлями (или, в более общем плане, подмногообразиями), которые можно нарисовать на данном n- мерном многообразии, но не деформировать непрерывно друг в друга. ^[4] Эти циклы также иногда рассматриваются как разрезы, которые можно склеить, или как молнии, которые можно застегивать и расстегивать. Циклы классифицируются по размерностям. Например, линия, проведенная на поверхности, представляет собой 1-цикл, замкнутый контур или (1-многообразие), а поверхность, проходящая через трехмерное многообразие, представляет собой 2-цикл. ${\displaystyle S^{1}}$

Поверхности

На обычной сфере цикл b на диаграмме можно сжать к полюсу, и даже большой экваториальный круг a можно сжать таким же образом. Теорема Жордана о кривой показывает, что любой произвольный цикл, такой как c , можно аналогичным образом сжать до точки. Таким образом, все циклы на сфере непрерывно преобразуются друг в друга и принадлежат к одному и тому же классу гомологий. Говорят, что они гомологичны нулю. Разрезание многообразия по циклу, гомологическому нулю, разделяет многообразие на две или более компоненты. Например, если разрезать сферу вдоль a, получится два полушария. ${\displaystyle S^{2}}$

Обычно это не относится к циклам на других поверхностях. Тор имеет циклы, которые не могут непрерывно деформироваться друг в друга, например, на диаграмме ни один из циклов a , b или c не может быть деформирован друг в друга. В частности, циклы a и b нельзя сжать до точки, тогда как цикл c можно, что делает его гомологичным нулю. ${\displaystyle T^{2}}$

Если поверхность тора разрезать вдоль a и b , ее можно развернуть и сплющить в прямоугольник или, что более удобно, в квадрат. Одна противоположная пара сторон представляет разрез по a , а другая противоположная пара представляет разрез по b .

Края квадрата затем можно склеить разными способами. Квадрат можно повернуть, чтобы края сходились в противоположном направлении, как показано стрелками на схеме. Различные способы склеивания сторон дают всего четыре топологически различные поверхности:

Четыре способа склеить квадрат, чтобы получилась замкнутая поверхность: склеить одиночные стрелки и склеить двойные стрелки так, чтобы наконечники стрел были направлены в одном направлении.

${\displaystyle K^{2}}$— это бутылка Клейна , представляющая собой тор со скруткой внутри (на квадратной диаграмме скручивание можно рассматривать как разворот нижней стрелки). Это теорема о том, что переклеенная поверхность должна самопересекаться (при погружении в евклидово трехмерное пространство ). Как и тор, циклы a и b не могут быть сокращены, а циклы c можно. Но в отличие от тора, следование b вперед вправо по кругу и назад меняет местами влево и вправо, потому что b случайно пересекает поворот, заданный для одного соединения. Если сделан равноудаленный разрез на одной стороне b , он возвращается на другую сторону и второй раз огибает поверхность, прежде чем вернуться в исходную точку, вырезая скрученную ленту Мёбиуса . Поскольку таким образом локальные лево и право можно переориентировать произвольно, поверхность в целом называется неориентируемой.

Оба соединения проективной плоскости перекручены. Неразрезанная форма, обычно представленная как поверхность Боя , визуально сложна, поэтому на диаграмме показано полусферическое вложение, на котором противоположные точки вокруг обода, такие как A и A' , идентифицируются как одна и та же точка. Опять же, a является несжимаемым, а c — нет. Если бы b был намотан только один раз, он также был бы несжимаемым и менял бы направление влево и вправо. Однако он заводится во второй раз, при этом снова меняется право и лево; его можно сжать до точки, и он гомологичен c . ${\displaystyle P^{2}}$

Циклы могут быть объединены или сложены вместе, как это было с a и b на торе, когда он был разрезан и сплющен. На диаграмме бутылки Клейна a вращается в одну сторону, а − a вращается в противоположную сторону. Если a мыслить как разрез, то − a можно рассматривать как операцию склеивания. Разрез и последующая переклейка не меняют поверхность, поэтому a + (− a ) = 0.

Но теперь рассмотрим два a -цикла. Поскольку бутылка Клейна неориентируема, вы можете провезти один из них вокруг бутылки (вдоль b -цикла), и он вернется в виде − a . Это связано с тем, что бутылка Клейна сделана из цилиндра, концы a -цикла которого склеены в противоположных направлениях. Следовательно, 2 a = a + a = a + (− a ) = 0. Это явление называется кручением . Точно так же в проективной плоскости повторный обход несжимаемого цикла b дважды создает тривиальный цикл, который можно сжать до точки; то есть b + b = 0. Поскольку для достижения нулевого цикла необходимо повторить b дважды, говорят, что поверхность имеет коэффициент кручения, равный 2. Однако повторение b -цикла дважды в бутылке Клейна дает просто b + b = 2 b , поскольку этот цикл существует в классе гомологии без кручения. Это соответствует тому, что в фундаментальном многоугольнике бутылки Клейна склеена скруткой только одна пара сторон, тогда как в проективной плоскости скручены обе стороны.

Квадрат — это стягиваемое топологическое пространство , а это означает, что он имеет тривиальные гомологии. Следовательно, дополнительные разрезы отключают его. Квадрат — не единственная фигура на плоскости, которую можно приклеить к поверхности. Например, если склеить противоположные стороны восьмиугольника, получится поверхность с двумя отверстиями. Фактически, все замкнутые поверхности можно получить, склеив стороны некоторого многоугольника, а все многоугольники с четными сторонами (2 n -угольников) можно склеить, чтобы получить разные многообразия. И наоборот, замкнутую поверхность с n ненулевыми классами можно разрезать на 2 n -угольник. Возможны также вариации, например, шестиугольник можно склеить, чтобы получился тор. ^[5]

Первая известная теория гомологии была опубликована Анри Пуанкаре в его основополагающей статье « Анализ места », J. Ecole Polytech. (2) 1 . 1–121 (1895). В статье представлены классы и отношения гомологии. Возможные конфигурации ориентируемых циклов классифицируются числами Бетти многообразия (числа Бетти являются уточнением эйлеровой характеристики). Классификация неориентируемых циклов требует дополнительной информации о коэффициентах кручения. ^[4]

Полная классификация 1- и 2-многообразий приведена в таблице.

Примечания

1. Для неориентируемой поверхности отверстие эквивалентно двум перемычкам.
2. Любое 2-многообразие представляет собой связную сумму g торов и c проективных плоскостей. Для сферы g = c = 0. ${\displaystyle S^{2}}$

Обобщение

Многообразие с краем или открытое многообразие топологически отличается от закрытого многообразия и может быть создано путем разрезания любого подходящего закрытого многообразия. Например, диск или 2-шар ограничен кругом . ^{[ нужна цитата ]} Его можно создать, разрезав тривиальный цикл в любом двумерном многообразии и оставив его удаленным, проткнув сферу и растянув прокол в ширину, или разрезав проективную плоскость. Это также можно рассматривать как заполнение круга на плоскости. ${\displaystyle B^{2}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

Когда два цикла могут непрерывно деформироваться друг в друга, то разрезание по одному дает ту же форму, что и разрезание по другому, вплоть до некоторого изгиба и растяжения. В этом случае говорят, что два цикла гомологичны или принадлежат одному и тому же классу гомологии . Кроме того, если один цикл можно непрерывно деформировать в комбинацию других циклов, то резка по начальному циклу аналогична резке по комбинации других циклов. Например, разрез по восьмерке эквивалентен разрезу по двум ее лепесткам. В этом случае говорят, что цифра 8 гомологична сумме своих долей.

Два открытых многообразия с одинаковыми границами (с точностью до некоторого изгиба и растяжения) можно склеить вместе, чтобы образовать новое многообразие, которое является их связной суммой.

Этот геометрический анализ многообразий не является строгим. В поисках большей строгости Пуанкаре разработал симплициальные гомологии триангулированного многообразия и создал то, что сейчас называется цепным комплексом . ^{[7] [8]} Эти цепные комплексы (поскольку они сильно обобщены) составляют основу большинства современных трактовок гомологии.

В таких обработках цикл не обязательно должен быть непрерывным: 0-цикл представляет собой набор точек, и разрезание по этому циклу соответствует прокалыванию многообразия. 1-цикл соответствует набору замкнутых петель (образ 1-многообразия ). На поверхности резка по 1-циклу дает либо несвязные куски, либо более простую форму. 2-цикл соответствует набору вложенных поверхностей, таких как сфера или тор и т. д. ${\displaystyle S^{1}}$

Эмми Нётер и независимо Леопольд Виеторис и Вальтер Майер развили теорию алгебраических групп гомологий в период 1925–28. ^{[9] [10] [11]} Новая комбинаторная топология формально рассматривала топологические классы как абелевы группы . Группы гомологий — это конечно порожденные абелевы группы, а классы гомологий — элементы этих групп. Числа Бетти многообразия представляют собой ранг свободной части группы гомологий, а неориентируемые циклы описываются периодической частью.

Последующее распространение групп гомологии привело к изменению терминологии и точки зрения от «комбинаторной топологии» к « алгебраической топологии ». ^[12] Алгебраические гомологии остаются основным методом классификации многообразий. ^[13]

Неофициальные примеры

Гомологии топологического пространства X - это набор топологических инвариантов X , представленных его группами гомологии.

$${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$$

дырXkкомпонентамиX^[14] ${\displaystyle k^{\rm {th}}}$ ${\displaystyle H_{k}(X)}$ ${\displaystyle H_{0}(X)}$

Одномерная сфера — это круг . Он имеет единственный связный компонент и дырку с одномерной границей, но не имеет дыр более высокой размерности. Соответствующие группы гомологии имеют вид ${\displaystyle S^{1}}$

$${\displaystyle H_{k}\left(S^{1}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

тривиальная группаконечно порожденную абелеву группугенератором^[15] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle H_{1}\left(S^{1}\right)=\mathbb {Z} }$

Двумерная сфера имеет единственный связный компонент, не имеет одномерных граничных дыр, двумерных граничных дыр и не имеет дыр более высокой размерности. Соответствующие группы гомологий: ^{[15] [16]} ${\displaystyle S^{2}}$

$${\displaystyle H_{k}\left(S^{2}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

В общем случае для n -мерной сферы группами гомологий являются ${\displaystyle S^{n},}$

$${\displaystyle H_{k}\left(S^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Двумерный шар представляет собой сплошной диск. Он имеет единственный компонент, связанный по траектории, но, в отличие от круга, не имеет отверстий более высокой размерности. Все соответствующие группы гомологии тривиальны, за исключением . В общем случае для n -мерного шара ^[15] ${\displaystyle B^{2}}$ ${\displaystyle H_{0}\left(B^{2}\right)=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle B^{n},}$

$${\displaystyle H_{k}\left(B^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Тор определяется как произведение двух окружностей . Тор имеет единственную компоненту связности путей, две независимые одномерные дыры (обозначены красными и синими кружками) и одну двумерную дыру, служащую внутренней частью тора. Соответствующими группами гомологий являются ^[17] ${\displaystyle T^{2}=S^{1}\times S^{1}}$

$${\displaystyle H_{k}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Если n произведений топологического пространства X записать как , то, вообще говоря, для n -мерного тора ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle T^{n}=(S^{1})^{n}}$

$${\displaystyle H_{k}(T^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}&0\leq k\leq n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

( более подробную информацию см. в разделе Тор#n-мерный тор и число Бетти#Больше примеров ).

Две независимые одномерные дыры образуют независимые генераторы в конечно порожденной абелевой группе, выраженной как группа произведений ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

Для проективной плоскости P простое вычисление показывает (где – циклическая группа порядка 2): ^[18] ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

$${\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

${\displaystyle H_{0}(P)=\mathbb {Z} }$соответствует, как и в предыдущих примерах, тому факту, что имеется единственная компонента связности. — это новый феномен: интуитивно он соответствует тому факту, что существует единственная несжимаемая «петля», но если мы проделаем цикл дважды, она станет сжимаемой до нуля. Это явление называется кручением . ${\displaystyle H_{1}(P)=\mathbb {Z} _{2}}$

Построение групп гомологий

Следующий текст описывает общий алгоритм построения групп гомологий. Возможно, читателю будет проще сначала рассмотреть несколько простых примеров: гомологии графов и симплициальные гомологии .

Общая конструкция начинается с такого объекта, как топологическое пространство X , на котором сначала определяется цепной комплекс C ( X ), кодирующий информацию о X. Цепной комплекс — это последовательность абелевых групп или модулей . связаны гомоморфизмами , которые называются граничными операторами . ^[17] То есть ${\displaystyle C_{0},C_{1},C_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

где 0 обозначает тривиальную группу и при i < 0. Требуется также, чтобы композиция любых двух последовательных граничных операторов была тривиальной. То есть для всех n ${\displaystyle C_{i}\equiv 0}$

${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0_{n+1,n-1},}$

т. е. постоянная карта, отправляющая каждый элемент в групповую идентичность в ${\displaystyle C_{n+1}}$ ${\displaystyle C_{n-1}.}$

Утверждение о тривиальности границы границы эквивалентно утверждению, что , где обозначает образ граничного оператора и его ядра . Элементы называются границами , а элементы называются циклами . ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle B_{n}(X)=\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$

Поскольку каждая цепная группа Cn абелева _, все ее подгруппы нормальны. Тогда поскольку является подгруппой C _n , она абелева и, следовательно, является нормальной подгруппой группы . Тогда можно создать факторгруппу ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$ ${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$

${\displaystyle H_{n}(X):=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})=Z_{n}(X)/B_{n}(X),}$

называется n- й группой гомологии X . Элементы Hn ₍ X ) называются классами гомологий . Каждый класс гомологии является классом эквивалентности над циклами, и два цикла в одном классе гомологии называются гомологичными . ^[19]

Цепной комплекс называется точным , если образ ( n +1)-го отображения всегда равен ядру n -го отображения. Таким образом, группы гомологий X измеряют, «насколько далек» цепной комплекс, связанный с X , от точности. ^[20]

Приведенные группы гомологии цепного комплекса C ( X ) определяются как гомологии расширенного цепного комплекса ^[21]

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0}$

где граничный оператор ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$

для комбинации точек , которые являются фиксированными образующими C ₀ . Приведенные группы гомологии совпадают с для Дополнительный в цепном комплексе представляет собой уникальное отображение пустого симплекса в X . ${\displaystyle \sum n_{i}\sigma _{i},}$ ${\displaystyle \sigma _{i},}$ ${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$ ${\displaystyle H_{i}(X)}$ ${\displaystyle i\neq 0.}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle [\emptyset ]\longrightarrow X}$

Вычисление групп циклов и границ обычно представляет собой довольно сложную задачу, поскольку они имеют очень большое количество образующих. С другой стороны, есть инструменты, которые облегчают задачу. ${\displaystyle Z_{n}(X)}$ ${\displaystyle B_{n}(X)}$

Группы симплициальных гомологий H _n ( X ) симплициального комплекса X определяются с использованием симплициального цепного комплекса C ( X ) , где C _n ( X ) — свободная абелева группа , порожденная n -симплексами X. Подробности см. в симплициальной гомологии .

Сингулярные группы гомологий H _n ( X ) определены для любого топологического пространства X и согласуются с симплициальными группами гомологий для симплициального комплекса.

Группы когомологий формально подобны группам гомологий: каждый начинает с коцепного комплекса , который аналогичен цепному комплексу, но стрелки которого теперь обозначаются как точки в направлении увеличения n , а не уменьшения n ; тогда группы коциклов и кограниц следуют из того же описания . Тогда n - я группа когомологий X является факторгруппой ${\displaystyle d_{n},}$ ${\displaystyle \ker \left(d^{n}\right)=Z^{n}(X)}$ ${\displaystyle \mathrm {im} \left(d^{n-1}\right)=B^{n}(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X)=Z^{n}(X)/B^{n}(X),}$

по аналогии с n- й группой гомологии.

Гомология против гомотопии

Гомотопические группы подобны группам гомологий в том, что они могут представлять «дыры» в топологическом пространстве. Между первой гомотопической группой и первой группой гомологий существует тесная связь : последняя есть абелианизация первой. Следовательно, говорят, что «гомология является коммутативной альтернативой гомотопии». ^{[22] : 4:00} Высшие гомотопические группы абелевы и связаны с группами гомологий теоремой Гуревича , но могут быть значительно более сложными. Например, гомотопические группы сфер плохо изучены и вообще не известны, в отличие от прямого описания групп гомологий, данного выше. ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$

Например, пусть X — восьмерка . Его первая гомотопическая группа — это группа направленных петель, начинающихся и заканчивающихся в заданной точке (например, в ее центре). Это эквивалентно свободной группе ранга 2, которая не является коммутативной: цикл вокруг самого левого цикла, а затем вокруг самого правого цикла отличается от цикла вокруг самого правого цикла, а затем вокруг самого левого цикла. Напротив, его первая группа гомологий — это группа разрезов, сделанных на поверхности. Эта группа коммутативна, поскольку (неформально) разрезание самого левого цикла, а затем самого правого цикла приводит к тому же результату, что и разрезание самого правого цикла, а затем самого левого цикла. ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle H_{1}(X)}$

Виды гомологии

Различные типы теории гомологии возникают в результате отображения функторов различных категорий математических объектов в категорию цепных комплексов. В каждом случае композиция функтора от объектов к цепным комплексам и функтора от цепных комплексов к группам гомологий определяет общий функтор гомологий теории. ^[23]

Симплициальная гомология

Мотивирующий пример взят из алгебраической топологии : симплициальные гомологии симплициального комплекса X. Здесь цепная группа Cn — это свободная абелева группа или модуль, генераторами которого являются n - _мерные ориентированные симплексы X. Ориентация определяется путем упорядочивания вершин комплекса и выражения ориентированного симплекса в виде n -кортежа его вершин, перечисленных в порядке возрастания (т.е. в порядке упорядочения вершин комплекса, где в кортеже появляется четвертая вершина). Отображение из C _n в C _n−1 называется граничным отображением и отправляет симплекс ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$ ${\displaystyle \sigma [0]<\sigma [1]<\cdots <\sigma [n]}$ ${\displaystyle \sigma [i]}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \partial _{n}}$

${\displaystyle \sigma =(\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$

к формальной сумме

${\displaystyle \partial _{n}(\sigma )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(\sigma [0],\dots ,\sigma [i-1],\sigma [i+1],\dots ,\sigma [n]\right),}$

который считается равным 0, если такое поведение генераторов индуцирует гомоморфизм на всем C _n следующим образом. Учитывая элемент , запишите его как сумму образующих, где - набор n -симплексов в X , а m _i - коэффициенты из кольца C _n , определенного над (обычно целыми числами, если не указано иное). Затем определите ${\displaystyle n=0.}$ ${\displaystyle c\in C_{n}}$ ${\textstyle c=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\sigma _{i},}$ ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle \partial _{n}(c)=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\partial _{n}(\sigma _{i}).}$

Размерность n -й гомологии X оказывается числом «дырок» в X в размерности n . Его можно вычислить, приведя матричные представления этих граничных отображений в нормальную форму Смита .

Особые гомологии

Используя пример симплициальной гомологии в качестве модели, можно определить сингулярную гомологию для любого топологического пространства X . Цепной комплекс для X определяется путем взятия C _n в качестве свободной абелевой группы (или свободного модуля), все генераторы которой являются непрерывными отображениями n -мерных симплексов в X . Гомоморфизмы ∂ _n возникают из граничных отображений симплексов.

Групповая гомология

В абстрактной алгебре гомологии используются для определения производных функторов , например функторов Tor . Здесь мы начинаем с некоторого ковариантного аддитивного функтора F и некоторого модуля X. Цепной комплекс для X определяется следующим образом: сначала находят свободный модуль и сюръективный гомоморфизм. Затем находят свободный модуль и сюръективный гомоморфизм. Продолжая таким же образом, можно определить последовательность свободных модулей и гомоморфизмов . Применяя к этой последовательности функтор F , получаем цепной комплекс; гомологии этого комплекса зависят только от F и X и по определению являются n -м производным функтором F , примененным к X. ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle p_{1}:F_{1}\to X.}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle p_{2}:F_{2}\to \ker \left(p_{1}\right).}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}}$

Обычно групповые (ко)гомологии используются для классификации возможных групп расширения E , которые содержат данный G -модуль M как нормальную подгруппу и имеют данную факторгруппу G , так что ${\displaystyle H^{2}(G,M)}$ ${\displaystyle G=E/M.}$

Другие теории гомологии

• Гомологии Бореля – Мура
• Клеточная гомология
• Циклическая гомология
• гомологии Хохшильда
• Гомологии Флоера
• Гомология пересечения
• K-гомология
• гомологии Хованова
• Гомологии Морса
• Стойкая гомология
• Гомологии Стинрода

Функторы гомологии

Цепные комплексы образуют категорию : Морфизм цепного комплекса ( ) в цепной комплекс ( ) представляет собой последовательность гомоморфизмов такую, что для всех n . n - ю гомологии H _n можно рассматривать как ковариантный функтор из категории цепных комплексов в категорию абелевых групп (или модулей). ${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$ ${\displaystyle e_{n}:B_{n}\to B_{n-1}}$ ${\displaystyle f_{n}:A_{n}\to B_{n}}$ ${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}}$

Если цепной комплекс зависит от объекта X ковариантным образом (это означает, что любой морфизм индуцирует морфизм цепного комплекса X в цепной комплекс Y ), то H n _{являются} ковариантными функторами из категории, которой принадлежит X , в категория абелевых групп (или модулей). ${\displaystyle X\to Y}$

Единственное различие между гомологиями и когомологиями состоит в том, что в когомологиях цепные комплексы контравариантно зависят от X , и поэтому группы гомологий (которые в этом контексте называются группами когомологий и обозначаются H ⁿ ) образуют контравариантные функторы из категории, X принадлежит к категории абелевых групп или модулей.

Характеристики

Если ( ) — цепной комплекс такой, что все An , кроме конечного числа _, равны нулю, а остальные являются конечно порожденными абелевыми группами (или конечномерными векторными пространствами), то мы можем определить эйлерову характеристику ${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$

(с использованием ранга в случае абелевых групп и размерности Гамеля в случае векторных пространств). Оказывается, эйлерову характеристику можно вычислить и на уровне гомологии:

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

и, особенно в алгебраической топологии, это дает два способа вычисления важного инварианта объекта X , который привел к возникновению цепного комплекса. ${\displaystyle \chi }$

Каждая короткая точная последовательность

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

цепных комплексов дает длинную точную последовательность групп гомологии

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(B)\to H_{n-1}(C)\to H_{n-2}(A)\to \cdots }$

Все отображения в этой длинной точной последовательности индуцируются отображениями между цепными комплексами, за исключением отображений. Последние называются связующими гомоморфизмами и обеспечиваются леммой о зигзаге . Эту лемму можно применять к гомологии множеством способов, которые помогают вычислить группы гомологии, например теории относительной гомологии и последовательности Майера-Виеториса . ${\displaystyle H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)}$

Приложения

Применение в чистой математике

Известные теоремы, доказанные с использованием гомологии, включают следующее:

• Теорема Брауэра о неподвижной точке : если f — любое непрерывное отображение шара B ⁿ в себя, то существует неподвижная точка с ${\displaystyle a\in B^{n}}$ ${\displaystyle f(a)=a.}$
• Инвариантность области : Если U является открытым подмножеством и является инъективным непрерывным отображением , то оно открыто и f является гомеоморфизмом между U и V. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V=f(U)}$
• Теорема о волосатом шаре : любое непрерывное векторное поле на 2-сфере (или, в более общем смысле, на 2 k -сфере для любого ) исчезает в некоторой точке. ${\displaystyle k\geq 1}$
• Теорема Борсука -Улама : любая непрерывная функция из n -сферы в евклидово n -пространство отображает некоторую пару противоположных точек в одну и ту же точку. (Две точки на сфере называются антиподальными, если они расположены точно в противоположных направлениях от центра сферы.)
• Инвариантность размерности: если непустые открытые подмножества и гомеоморфны, то ^[24] ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle m=n.}$

Применение в науке и технике

В топологическом анализе данных наборы данных рассматриваются как выборка облака точек многообразия или алгебраического многообразия, встроенная в евклидово пространство . Связывая точки ближайших соседей в облаке в триангуляцию, создается симплициальная аппроксимация многообразия и можно вычислить его симплициальные гомологии. Поиск методов надежного расчета гомологии с использованием различных стратегий триангуляции в нескольких масштабах длины является темой устойчивой гомологии . ^[25]

В сенсорных сетях датчики могут передавать информацию через специальную сеть, которая динамически меняется во времени. Чтобы понять глобальный контекст этого набора локальных измерений и путей связи, полезно вычислить гомологию топологии сети , чтобы оценить, например, дыры в покрытии. ^[26]

В теории динамических систем в физике Пуанкаре был одним из первых, кто рассмотрел взаимодействие между инвариантным многообразием динамической системы и ее топологическими инвариантами. Теория Морса связывает динамику градиентного потока на многообразии, например, с его гомологиями. Гомологии Флоера распространили это на бесконечномерные многообразия. Теорема КАМ установила, что периодические орбиты могут следовать по сложным траекториям; в частности, они могут образовывать косы , которые можно исследовать с помощью гомологии Флоера. ^[27]

В одном классе методов конечных элементов может потребоваться решение краевых задач для дифференциальных уравнений, включающих оператор Ходжа-Лапласа , в топологически нетривиальных областях, например, в электромагнитном моделировании . В этих симуляциях решению помогает фиксация класса когомологий решения на основе выбранных граничных условий и гомологии области. Домены FEM можно триангулировать, на основе чего можно рассчитать симплициальную гомологию. ^{[28] [29]}

Программное обеспечение

Для расчета групп гомологии конечных клеточных комплексов были разработаны различные пакеты программного обеспечения. Linbox — библиотека C++ для выполнения быстрых матричных операций, включая нормальную форму Смита ; он взаимодействует как с Gap, так и с Maple. Chomp, CAPD::Redhom и Perseus также написаны на C++. Все три реализуют алгоритмы предварительной обработки, основанные на простой гомотопической эквивалентности и дискретной теории Морса, для выполнения сохраняющих гомологию сокращений входных комплексов ячеек, прежде чем прибегать к матричной алгебре. Kenzo написан на Лиспе, и помимо гомологии его также можно использовать для генерации представлений гомотопических групп конечных симплициальных комплексов. Gmsh включает в себя решатель гомологии для сеток конечных элементов, который может генерировать базы когомологий , которые можно напрямую использовать в программном обеспечении конечных элементов. ^[28]

Смотрите также

• Математический портал

• Число Бетти
• Велосипедное пространство
• Когомологии Де Рама
• Аксиомы Эйленберга – Стинрода
• Чрезвычайная теория гомологии
• Гомологическая алгебра
• Гомологические гипотезы в коммутативной алгебре
• Гомологическая связность
• Гомологическое измерение
• Гомотопическая группа
• Теорема Кюннета
• Список теорий гомологии - также есть список теорий гомологии.
• Двойственность Пуанкаре

Примечания

1. частично от греческого ὁμός homos «идентичный»
2. Стиллвелл 1993, с. 170
3. Weibel 1999, стр. 2–3 (в PDF)
4. Richeson 2008, с. 254
5. Weeks, Джеффри Р. (2001). Форма пространства. ЦРК Пресс. ISBN 978-0-203-91266-9.
6. Ричесон 2008
7. Ричесон 2008, с. 258
8. Вайбель 1999, стр. 4
9. Хилтон 1988, с. 284
10. Например, L'émergence de la notion de groupe d'homologie, Николя Басбуа (PDF) на французском языке, примечание 41, прямо называет Нётер изобретателем группы гомологии.
11. Хирцебрух, Фридрих, Эмми Нётер и топология в Teicher 1999, стр. 61–63.
12. Бурбаки и алгебраическая топология Джона Макклири (PDF). Архивировано 23 июля 2008 г. в Wayback Machine, содержит документацию (переведенную на английский язык с французских оригиналов).
13. Ричесон 2008, с. 264
14. Спаниер 1966, с. 155
15. Gowers, Barrow-Green & Leader 2010, стр. 390–391.
16. Вильдбергер, Норман Дж. (2012). «Больше вычислений гомологии». YouTube . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г.
17. Хэтчер 2002, с. 106
18. Вильдбергер, Норман Дж. (2012). «Дельта-комплексы, числа Бетти и кручение». YouTube . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г.
19. Хэтчер 2002, стр. 105–106.
20. Хэтчер 2002, с. 113
21. Хэтчер 2002, с. 110
22. Вильдбергер, Нью-Джерси (2012). «Введение в гомологию». YouTube . Архивировано из оригинала 11 декабря 2021 г.
23. Спаниер 1966, с. 156
24. Хэтчер 2002, с. 126.
25. «Обзор CompTop» . Проверено 16 марта 2014 г.
26. «Роберт Грист: прикладная топология» . Проверено 16 марта 2014 г.
27. ван ден Берг, JB; Грист, Р.; Вандерворст, Колорадо; Войчик, В. (2015). «Гомология Брейда Флоера» (PDF) . Журнал дифференциальных уравнений . 259 (5): 1663–1721. Бибкод : 2015JDE...259.1663V. дои : 10.1016/j.jde.2015.03.022 . S2CID  16865053.
28. Пелликка, М; С. Сууриниеми; Л. Кеттунен; К. Гезен (2013). «Вычисление гомологии и когомологии при моделировании методом конечных элементов» (PDF) . СИАМ J. Sci. Вычислить . 35 (5): Б1195–Б1214. Бибкод : 2013SJSC...35B1195P. CiteSeerX 10.1.1.716.3210 . дои : 10.1137/130906556. 
29. Арнольд, Дуглас Н.; Ричард С. Фальк; Рагнар Винтер (16 мая 2006 г.). «Внешнее исчисление конечных элементов, гомологические методы и приложения». Акта Нумерика . 15 :1–155. Бибкод : 2006AcNum..15....1A. дои : 10.1017/S0962492906210018. S2CID  122763537.

Рекомендации

• Картан, Анри Поль ; Эйленберг, Сэмюэл (1956). Гомологическая алгебра . Принстонский математический ряд. Том. 19. Издательство Принстонского университета. ISBN 9780674079779. ОСЛК  529171.
• Эйленберг, Сэмюэл; Мур, Дж. К. (1965). Основы относительной гомологической алгебры . Мемуары Американского математического общества. Том. 55. Американское математическое общество. ISBN 9780821812556. ОСЛК  1361982.
• Гауэрс, Тимоти ; Барроу-Грин, июнь ; Лидер, Имре, ред. (2010), Принстонский спутник математики , Princeton University Press, ISBN 9781400830398.
• Хэтчер, А. (2002), Алгебраическая топология, издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0. Подробное обсуждение теорий гомологии симплициальных комплексов и многообразий, сингулярных гомологии и т. д.
• Хилтон, Питер (1988), «Краткая субъективная история гомологии и теории гомотопии в этом столетии», Mathematics Magazine , Mathematical Association of America, 60 (5): 282–291, doi : 10.1080/0025570X.1988.11977391, JSTOR  2689545
• Ричесон, Д. (2008), Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топологии , Принстонский университет..
• Спэньер, Эдвин Х. (1966), Алгебраическая топология , Спрингер, стр. 155, ISBN 0-387-90646-0.
• Стиллвелл, Джон (1993), «Теория гомологии и абелианизация», Классическая топология и комбинаторная теория групп , Тексты для аспирантов по математике, том. 72, Спрингер, стр. 169–184, номер документа : 10.1007/978-1-4612-4372-4_6, ISBN. 978-0-387-97970-0.
• Тейчер, М. , изд. (1999), Наследие Эмми Нётер , Материалы Израильской математической конференции, Университет Бар-Илан / Американское математическое общество / Oxford University Press , ISBN 978-0-19-851045-1, OCLC  223099225
• Вейбель, Чарльз А. (1999), «28. История гомологической алгебры» (PDF) , в Джеймсе, IM (ред.), История топологии , Elsevier, ISBN 9780080534077.

Внешние ссылки

• Группа гомологии в Математической энциклопедии
• [1] Н. Дж. Виндбергер: введение в алгебраическую топологию, последние шесть лекций с простым введением в гомологию.
• [2] Алгебраическая топология Аллен Хэтчер - Глава 2 о гомологии