Симплициальный комплекс

Математический набор

Симплициальный 3-комплекс.

В математике симплициальный комплекс — это множество , состоящее из точек , отрезков , треугольников и их n -мерных аналогов (см. иллюстрацию). Симплициальные комплексы не следует путать с более абстрактным понятием симплициального множества, появляющимся в современной теории симплициальной гомотопии . Чисто комбинаторным аналогом симплициального комплекса является абстрактный симплициальный комплекс . Чтобы отличить симплициальный комплекс от абстрактного симплициального комплекса, первый часто называют геометрическим симплициальным комплексом . ^{[1] : 7}

Определения

Симплициальный комплекс — это набор симплексов , удовлетворяющий следующим условиям: ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

1. Каждая грань симплекса из также принадлежит . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

2. Непустое пересечение любых двух симплексов является гранью как , так и . ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$

См. также определение абстрактного симплициального комплекса , который, грубо говоря, является симплициальным комплексом без связанной геометрии.

Симплициальный k -комплекс — это симплициальный комплекс , в котором наибольшая размерность любого симплекса равна k . Например, симплициальный 2-комплекс должен содержать по крайней мере один треугольник и не должен содержать тетраэдров или симплексов более высокой размерности. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Чистый или однородный симплициальный k -комплекс — это симплициальный комплекс, в котором каждый симплекс размерности меньше k является гранью некоторого симплекса размерности ровно k . Неформально, чистый 1-комплекс «выглядит» так, как будто он состоит из пучка прямых, 2-комплекс «выглядит» так, как будто он состоит из пучка треугольников и т. д. Примером неоднородного комплекса является треугольник с отрезком прямой, прикрепленным к одной из его вершин. Чистые симплициальные комплексы можно рассматривать как триангуляции и они дают определение многогранников . ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {K}}}$

Грань — это максимальный симплекс, т. е. любой симплекс в комплексе, который не является гранью какого-либо большего симплекса. ^[2] (Обратите внимание на отличие от «грани» симплекса ). Чистый симплициальный комплекс можно рассматривать как комплекс, в котором все грани имеют одинаковую размерность. Для (граничных комплексов) симплициальных многогранников это совпадает со значением из полиэдральной комбинаторики.

Иногда термин «грань» используется для обозначения симплекса комплекса, его не следует путать с гранью симплекса.

Для симплициального комплекса, вложенного в k -мерное пространство, k -грани иногда называют его ячейками . Термин ячейка иногда используется в более широком смысле для обозначения множества , гомеоморфного симплексу, что приводит к определению клеточного комплекса .

Базовое пространство , иногда называемое носителем симплициального комплекса, является объединением его симплексов. Обычно оно обозначается как или . ${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$ ${\displaystyle \|{\mathcal {K}}\|}$

Поддерживать

Относительные внутренности всех симплексов в образуют разбиение его базового пространства : для каждой точки существует ровно один симплекс в , содержащийся в его относительной внутренности. Этот симплекс называется носителем x и обозначается . [ 3 ] ^{: 9} ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$ ${\displaystyle x\in |{\mathcal {K}}|}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (x)}$

Закрытие, звезда и ссылка

• 
  Два симплекса и их замыкание .
• 
  Вершина и ее звезда .
• 
  Вершина и ее связь .

Пусть K — симплициальный комплекс, а S — набор симплексов в K.

Замыкание S (обозначается ) — это наименьший симплициальный подкомплекс K , содержащий каждый симплекс из S. получается путем многократного добавления к S каждой грани каждого симплекса из S. ${\displaystyle \mathrm {Cl} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} \ S}$

Звезда S (обозначается ) является объединением звезд каждого симплекса в S . Для одного симплекса s звезда s является множеством симплексов в K , имеющих s в качестве грани. Звезда S , как правило, сама по себе не является симплициальным комплексом, поэтому некоторые авторы определяют замкнутую звезду S (обозначается ) как замыкание звезды S. ${\displaystyle \mathrm {st} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {St} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} \ \mathrm {st} \ S}$

Связь S (обозначается ) равна . Это замкнутая звезда S минус звезды всех граней S . ${\displaystyle \mathrm {Lk} \ S}$ ${\displaystyle \mathrm {Cl} {\big (}\mathrm {st} (S){\big )}\setminus \mathrm {st} {\big (}\mathrm {Cl} (S){\big )}}$

Алгебраическая топология

В алгебраической топологии симплициальные комплексы часто полезны для конкретных вычислений. Для определения групп гомологии симплициального комплекса можно напрямую прочитать соответствующий цепной комплекс , при условии, что все симплексы имеют согласованную ориентацию. Требования теории гомотопий приводят к использованию более общих пространств, комплексов CW . Бесконечные комплексы являются техническим инструментом, базовым в алгебраической топологии. См. также обсуждение в Polytope of simplicial complexs as subspaces of Euclidean space consist up of subsets, each of which is a simplex . Это несколько более конкретное понятие там приписывается Александрову . Любой конечный симплициальный комплекс в том смысле, о котором здесь говорится, может быть вложен как политоп в этом смысле в некоторое большое число измерений. В алгебраической топологии компактное топологическое пространство , гомеоморфное геометрической реализации конечного симплициального комплекса, обычно называется многогранником ( см. Spanier 1966, Maunder 1996, Hilton & Wylie 1967).

Комбинаторика

Комбинаторики часто изучают f -вектор симплициального d-комплекса Δ, который является целочисленной последовательностью , где f _i - число ( i −1)-мерных граней Δ (по соглашению f ₀  = 1, если Δ не является пустым комплексом). Например, если Δ - граница октаэдра , то его f -вектор равен (1, 6, 12, 8), а если Δ - первый симплициальный комплекс, изображенный выше, то его f -вектор равен (1, 18, 23, 8, 1). Полная характеристика возможных f -векторов симплициальных комплексов дается теоремой Крускала–Катоны . ${\displaystyle (f_{0},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{d+1})}$

Используя f -вектор симплициального d -комплекса Δ в качестве коэффициентов многочлена ( записанного в порядке убывания показателей), мы получаем f -многочлен Δ. В наших двух примерах выше f -многочлены будут и , соответственно. ${\displaystyle x^{3}+6x^{2}+12x+8}$ ${\displaystyle x^{4}+18x^{3}+23x^{2}+8x+1}$

Комбинатористы часто интересуются h-вектором симплициального комплекса Δ, который является последовательностью коэффициентов многочлена, который получается в результате подстановки x  − 1 в f -многочлен Δ. Формально, если мы пишем F _Δ ( x ) для обозначения f -многочлена Δ, то h-многочлен Δ равен

${\displaystyle F_{\Delta }(x-1)=h_{0}x^{d+1}+h_{1}x^{d}+h_{2}x^{d-1}+\cdots +h_{d}x+h_{d+1}}$

и h -вектор Δ равен

${\displaystyle (h_{0},h_{1},h_{2},\cdots ,h_{d+1}).}$

Мы вычисляем h-вектор границы октаэдра (наш первый пример) следующим образом:

${\displaystyle F(x-1)=(x-1)^{3}+6(x-1)^{2}+12(x-1)+8=x^{3}+3x^{2}+3x+1.}$

Итак, h -вектор границы октаэдра равен (1, 3, 3, 1). Не случайно этот h -вектор симметричен. Фактически, это происходит всякий раз, когда Δ является границей симплициального многогранника (это уравнения Дена–Соммервилля ). Однако, в общем случае, h -вектор симплициального комплекса не обязательно даже положителен. Например, если мы возьмем Δ как 2-комплекс, заданный двумя треугольниками, пересекающимися только в общей вершине, то результирующий h -вектор будет равен (1, 3, −2).

Полная характеристика всех h -векторов симплициального многогранника дается знаменитой g -теоремой Стэнли , Биллеры и Ли.

Симплициальные комплексы, как можно видеть, имеют ту же геометрическую структуру, что и контактный граф упаковки сфер (граф, в котором вершины являются центрами сфер, а ребра существуют, если соответствующие элементы упаковки касаются друг друга), и, как таковые, могут использоваться для определения комбинаторики упаковок сфер , такой как количество соприкасающихся пар (1-симплексов), соприкасающихся троек (2-симплексов) и соприкасающихся четверок (3-симплексов) в упаковке сфер.

Вычислительные проблемы

Проблема распознавания симплициального комплекса : для заданного конечного симплициального комплекса решить, гомеоморфен ли он заданному геометрическому объекту. Эта проблема неразрешима для любых d -мерных многообразий при d ≥ 5.

Смотрите также

• Абстрактный симплициальный комплекс
• Барицентрическое подразделение
• Причинно-следственная динамическая триангуляция
• Дельта-набор
• Петлевая квантовая гравитация
• Полигональная цепь  – одномерный симплициальный комплекс
• Лемма Такера
• Симплексное дерево

Ссылки

1. Матоушек, Йиржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером., Раздел 4.3
2. Де Лоэра, Хесус А .; Рамбау, Йорг; Сантос, Франциско (2010), Триангуляции: структуры для алгоритмов и приложений, алгоритмы и вычисления в математике, том. 25, Спрингер, с. 493, ISBN 9783642129711.
3. Матоушек, Йиржи (2007). Использование теоремы Борсука-Улама : Лекции по топологическим методам в комбинаторике и геометрии (2-е изд.). Берлин-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Написано в сотрудничестве с Андерсом Бьёрнером и Гюнтером М. Циглером., Раздел 4.3

• Спаниер, Эдвин Х. (1966), Алгебраическая топология , Springer, ISBN 0-387-94426-5
• Маундер, Чарльз РФ (1996), Алгебраическая топология (переиздание издания 1980 г.), Минеола, Нью-Йорк: Довер, ISBN 0-486-69131-4, г-н  1402473
• Хилтон, Питер Дж.; Уайли , Шон (1967), Теория гомологии , Нью-Йорк: Cambridge University Press , ISBN 0-521-09422-4, МР  0115161

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Симплициальный комплекс». MathWorld .
• Норман Дж. Вайлдбергер. "Симплексы и симплициальные комплексы". Лекция на Youtube..